Как определить жёсткость вала: прогиб и угол поворота

Дано: стальной вал постоянного сечения диаметром $d = 50$ мм лежит на двух опорах с пролётом $l = 360$ мм; сила от зубчатого колеса $F = 4$ кН приложена посередине пролёта, передаваемый крутящий момент $T = 250$ Н·м, модуль упругости $E = 2{,}1 \cdot 10^5$ МПа, модуль сдвига $G = 8 \cdot 10^4$ МПа. Найти: жёсткость вала и проверить её при допускаемом прогибе $[y] = 0{,}0002\,l$, допускаемом угле поворота в коническом роликоподшипнике $[\theta] = 0{,}0016$ рад и допускаемом относительном угле закручивания $[\theta_{\text{кр}}] = 0{,}5$ град/м.

Жёсткость вала определяют не одним числом, а тремя: прогибом под нагрузкой, углом поворота сечения в опоре и углом закручивания. Все три получаются из моментов инерции сечения, и каждый сравнивают со своей нормой. Ответ: коэффициент жёсткости на изгиб $c = 66{,}3$ кН/мм, прогиб $y = 0{,}060$ мм против допускаемых 0,072 мм, угол поворота в опоре 0,50 мрад против 1,6 мрад, относительный угол закручивания 0,292 град/м против 0,5 град/м: жёсткость вала обеспечена по всем трём проверкам. Калькулятор сверху открыт ровно на этих числах: синяя кривая показывает изогнутую ось вала и не достаёт до пунктира допускаемого прогиба, а штриховая кривая угла поворота обращается в ноль там, где прогиб наибольший.

Решение по шагам

Дано. Сведём условие в таблицу и сразу переведём всё в ньютоны и миллиметры: модуль упругости в мегапаскалях означает ньютоны на квадратный миллиметр, поэтому метры в расчёт пускать нельзя.

Шаг 1. Моменты инерции сечения. Для круга осевой момент инерции равен $I = \pi d^4/64$, а полярный ровно вдвое больше:

$$I = \frac{\pi \cdot 50^4}{64} = 3{,}068 \cdot 10^5\ \text{мм}^4, \qquad I_p = 2I = 6{,}136 \cdot 10^5\ \text{мм}^4.$$

Произведение $EI = 2{,}1 \cdot 10^5 \cdot 3{,}068 \cdot 10^5 = 6{,}443 \cdot 10^{10}$ Н·мм$^2$ называют жёсткостью сечения при изгибе. Это ещё не жёсткость вала: она зависит и от того, как вал оперт.

Шаг 2. Прогиб под силой. Схема стандартная: две опоры, сосредоточенная сила посередине. Наибольший прогиб приходится на точку приложения силы:

$$y = \frac{F l^3}{48 EI} = \frac{4000 \cdot 360^3}{48 \cdot 6{,}443 \cdot 10^{10}} = \frac{1{,}866 \cdot 10^{11}}{3{,}093 \cdot 10^{12}} = 0{,}0603\ \text{мм}.$$

Шаг 3. Коэффициент жёсткости на изгиб. Жёсткость как характеристика вала это отношение силы к вызванному ею перемещению:

$$c = \frac{F}{y} = \frac{48 EI}{l^3} = \frac{4000}{0{,}0603} = 66\,283\ \text{Н/мм} \approx 66{,}3\ \text{кН/мм}.$$

Число читается так: каждый килоньютон нагрузки опускает середину вала на 0,015 мм.

Шаг 4. Угол поворота сечения в опоре. В подшипник упирается не прогиб, а наклон сечения, и для этой схемы он равен

$$\theta = \frac{F l^2}{16 EI} = \frac{4000 \cdot 360^2}{16 \cdot 6{,}443 \cdot 10^{10}} = 5{,}03 \cdot 10^{-4}\ \text{рад} = 0{,}50\ \text{мрад},$$

то есть около 1,7 угловой минуты. Посередине пролёта угол нулевой, в опорах наибольший, поэтому проверяют именно опорные сечения.

Шаг 5. Жёсткость при кручении. Относительный угол закручивания и полный угол на длине пролёта считают через полярный момент инерции:

$$\theta_{\text{кр}} = \frac{T}{G I_p} = \frac{250\,000}{8 \cdot 10^4 \cdot 6{,}136 \cdot 10^5} = 5{,}09 \cdot 10^{-6}\ \text{рад/мм} = 0{,}292\ \text{град/м},$$ $$\varphi = \theta_{\text{кр}} \, l = 1{,}83 \cdot 10^{-3}\ \text{рад} = 0{,}105^{\circ}, \qquad c_{\text{кр}} = \frac{T}{\varphi} = \frac{G I_p}{l} = 136\ \text{кН} \cdot \text{м/рад}.$$

Шаг 6. Три сравнения. Допускаемый прогиб $[y] = 0{,}0002 \cdot 360 = 0{,}072$ мм, допускаемые угол поворота и угол закручивания взяты из условия.

Ответ: жёсткость вала на изгиб $c = 66{,}3$ кН/мм, крутильная жёсткость $c_{\text{кр}} = 136$ кН·м/рад; все три проверки выполнены, самая напряжённая из них по прогибу, запас всего 16 %.

Формула и откуда она берётся

Все формулы этого разбора выросли из одного уравнения изогнутой оси $EI\,y'' = M(x)$. Для вала с силой посередине момент растёт линейно от опоры, двойное интегрирование даёт кубическую параболу, а постоянные находят из нулевых прогибов на опорах. Подробный вывод с интегрированием разобран в задаче про прогиб балки и здесь не повторяется: вал в этом расчёте и есть балка круглого сечения на двух опорах.

Важнее понимать, что означает каждая из двух жёсткостей. Произведение $EI$ характеризует сечение и материал, а коэффициент $c = 48EI/l^3$ характеризует уже конструкцию целиком, вместе со схемой опирания. Поменяйте опоры на заделки, и при том же сечении вал станет вчетверо жёстче, потому что коэффициент 48 превратится в 192.

Диаметр входит в момент инерции в четвёртой степени, и это главный рычаг конструктора. Увеличение диаметра всего на 20 % уменьшает прогиб в $1{,}2^4 = 2{,}07$ раза, то есть вдвое. Пролёт работает в обратную сторону в третьей степени: если раздвинуть опоры с 360 до 450 мм, прогиб вырастет в $(450/360)^3 = 1{,}95$ раза и норму 0,09 мм уже не пройдёт. Отсюда правило компоновки редуктора: подшипники сдвигают к колесу, а не разносят по краям корпуса.

Кручение устроено проще: угол закручивания линеен по длине, поэтому нормируют не полный угол, а относительный, в градусах на метр. Касательные напряжения при этом считают отдельно через полярный момент сопротивления, и как это делается, показано в статье про кручение круглого вала.

Допускаемые значения: откуда берутся нормы

Числа $[y]$ и $[\theta]$ не выводятся, их берут из справочника по типу узла. Ориентиры такие.

За каждой строкой стоит своя причина отказа. Прогиб под колесом перекашивает зубья: контакт уходит на край зуба, нагрузка концентрируется на меньшей длине, и передача выходит из строя раньше расчётного срока. Угол поворота в опоре перекашивает кольца подшипника, дорожка качения нагружается кромкой, ресурс падает в разы. Угол закручивания критичен там, где валом передают не только мощность, но и движение: в делительных цепях станков и в приводах позиционирования лишние угловые минуты превращаются в ошибку положения.

Проверим наш вал по второй строке таблицы. Если колесо на нём имеет модуль $m = 3$ мм, то коридор допускаемых прогибов составляет от 0,03 до 0,09 мм. Наши 0,060 мм в коридор попадают, но лежат ближе к верхней границе: для точной передачи, где норма 0,01 модуля, такой вал пришлось бы утолщать. Это обычная ситуация, когда одна и та же конструкция проходит по одному критерию и не проходит по более строгому.

Ступенчатый вал и нагрузка в двух плоскостях

Реальный вал редуктора ступенчатый, и постоянного $I$ у него нет. В учебных расчётах поступают одним из двух способов. Первый: ведут расчёт по приведённому диаметру, усреднённому по длинам участков, и получают оценку с погрешностью порядка 10 %. Второй, точный: считают перемещения методом начальных параметров или интегралом Мора по участкам, где $I$ постоянен. Диаметр каждой ступени при этом обычно уже назначен по прочности, и как это делается, разобрано в задаче про подбор диаметра вала.

Второе отличие вала от балки в том, что силы в зацеплении действуют сразу в двух плоскостях. Прогибы считают отдельно в вертикальной и горизонтальной плоскости, а затем складывают геометрически. Пусть к нашей окружной силе 4 кН добавилась радиальная $F_r = F \operatorname{tg} 20^{\circ} = 1{,}46$ кН. Прогиб в горизонтальной плоскости пропорционален силе, то есть 0,022 мм, а суммарный равен

$$y_{\Sigma} = \sqrt{0{,}0603^2 + 0{,}022^2} = 0{,}064\ \text{мм},$$

и это уже 89 % допускаемого вместо 84 %. Запас, который казался комфортным, съедается почти целиком, поэтому радиальную составляющую не отбрасывают.

Наконец, схема нагружения бывает несимметричной. Если сила стоит не посередине, а на расстояниях $a$ и $b$ от опор, прогиб под ней равен $y = F a^2 b^2 / (3 EI l)$, и при $a = b = l/2$ формула сворачивается в знакомую $F l^3/(48EI)$. Сдвиг колеса к опоре уменьшает прогиб: при $a = 0{,}25\,l$ он падает до 0,56 от серединного значения, а при $a = 0{,}2\,l$ до 0,41.

Частые ошибки

• Жёсткость сечения путают с жёсткостью вала. $EI$ измеряется в Н·мм$^2$ и относится к сечению, $c = F/y$ измеряется в Н/мм и относится к конструкции. В ответе на вопрос про жёсткость вала нужно второе.
• Момент сопротивления вместо момента инерции. В формулы перемещений входит только $I = \pi d^4/64$; $W = \pi d^3/32$ нужен для напряжений, и подстановка его в прогиб даёт результат неверной размерности.
• Полярный момент считают как осевой. $I_p = \pi d^4/32$, ровно вдвое больше осевого. Ошибка удваивает угол закручивания.
• Метры рядом с мегапаскалями. Если пролёт оставить в метрах, а $E$ взять в МПа, прогиб получится в миллиард раз меньше. Всё переводится в ньютоны и миллиметры до подстановки.
• Градусы сравнивают с радианами. Угол поворота выходит в радианах, а допускаемое значение иногда дано в угловых минутах: 0,0016 рад это 5,5 минуты.
• Проверяют только прогиб. Вал, прошедший по прогибу, может не пройти по углу поворота в опоре, особенно с коническими роликоподшипниками, у которых норма самая жёсткая.

FAQ

Чем проверка на жёсткость отличается от проверки на прочность? Прочность ограничивает напряжения и отвечает за то, чтобы вал не сломался. Жёсткость ограничивает перемещения и отвечает за то, чтобы работали соседние детали: зубья зацеплялись всей длиной, а подшипники не перекашивались. Вал может иметь трёхкратный запас прочности и при этом не проходить по прогибу.

Какой диаметр подставлять, если вал ступенчатый? Для оценки берут приведённый диаметр, усреднённый по длинам участков между опорами, причём усреднять нужно с учётом длин, а не как среднее арифметическое крайних значений. Если запас по прогибу меньше 20 %, оценки мало и расчёт ведут по участкам методом Мора.

Нужно ли учитывать податливость опор? В учебной задаче опоры считают абсолютно жёсткими. В точных расчётах к прогибу вала добавляют радиальное перемещение самих подшипников и деформацию корпуса, и суммарное смещение колеса оказывается на 20 ... 40 % больше расчётного.

Что делать, если жёсткость не обеспечена? Сначала сокращают пролёт: он входит в куб и дешевле всего. Затем увеличивают диаметр, помня про четвёртую степень. Замена стали на другую марку не помогает: модуль упругости у всех сталей практически одинаков, около $2{,}1 \cdot 10^5$ МПа, в отличие от предела текучести.

Коротко

1. Переведи всё в ньютоны и миллиметры и посчитай моменты инерции круга: $I = \pi d^4/64 = 3{,}07 \cdot 10^5$ мм$^4$, $I_p = 2I = 6{,}14 \cdot 10^5$ мм$^4$.
2. Найди прогиб по формуле своей схемы: для силы посередине $y = F l^3/(48EI) = 0{,}060$ мм.
3. Раздели силу на прогиб и получи жёсткость вала: $c = 48EI/l^3 = 66{,}3$ кН/мм; при кручении аналогично $c_{\text{кр}} = G I_p/l = 136$ кН·м/рад.
4. Посчитай угол поворота сечения в опоре $\theta = F l^2/(16EI) = 0{,}50$ мрад и относительный угол закручивания $\theta_{\text{кр}} = T/(G I_p) = 0{,}292$ град/м.
5. Сравни каждую величину со своей нормой: 84 %, 31 % и 58 % от допускаемых значений, жёсткость вала обеспечена.