Как определить параметры резьбы: разбор M20x1,5

Дано: болт с метрической резьбой, на 10 витках штангенциркуль показал 15 мм, наружный диаметр близок к 20 мм. Найти: шаг, средний и внутренний диаметры, высоту профиля, угол подъёма.

Все параметры метрической резьбы считаются от двух чисел: номинального диаметра $d$ и шага $P$. Ответ: $P = 1{,}5$ мм, $d = 20$ мм, $d_2 = 19{,}026$ мм, $d_1 = 18{,}376$ мм, рабочая высота $H_1 = 0{,}812$ мм, угол подъёма $\psi = 1^\circ 26'$, обозначение M20x1,5. Калькулятор сверху пересчитает профиль и диаметры под любой диаметр и шаг из рядов ГОСТ 8724.

Решение по шагам

Дано. Наружный диаметр $d \approx 20$ мм; длина 10 витков $L = 15$ мм; профиль треугольный с углом $\alpha = 60^\circ$.

Шаг 1. Шаг резьбы. Шаг - это расстояние между соседними витками, и мерить один виток штангенциркулем бессмысленно: погрешность будет больше самого шага. Замеряем сразу несколько витков и делим:

$$P = \frac{L}{n} = \frac{15}{10} = 1{,}5 \text{ мм}.$$

Шаг 2. Номинальный диаметр. Измеренный наружный диаметр всегда чуть меньше номинального: резьба нарезается с минусовым отклонением, чтобы гайка навинчивалась. Замер 19,8-19,95 мм означает номинал $d = 20$ мм - ближайшее значение стандартного ряда. Пара 20 и 1,5 в ряды ГОСТ 8724 входит, значит резьба реальная, а не самодельная.

Шаг 3. Высота исходного треугольника. Профиль метрической резьбы - равносторонний треугольник с углом при вершине $60^\circ$ и основанием $P$. Его высота:

$$H = \frac{\sqrt{3}}{2} P = 0{,}866 \cdot 1{,}5 = 1{,}299 \text{ мм}.$$

Шаг 4. Средний диаметр. Средний диаметр проходит там, где ширина витка равна ширине впадины. От номинального диаметра он отстоит на $0{,}75H$ по диаметру:

$$d_2 = d - 0{,}6495 P = 20 - 0{,}6495 \cdot 1{,}5 = 20 - 0{,}974 = 19{,}026 \text{ мм}.$$

Шаг 5. Внутренний диаметр. Он же диаметр отверстия гайки $D_1$, по нему подбирают сверло под резьбу:

$$d_1 = d - 1{,}0825 P = 20 - 1{,}0825 \cdot 1{,}5 = 20 - 1{,}624 = 18{,}376 \text{ мм}.$$

У болта впадина срезается глубже, до $d_3 = d - 1{,}2268 P = 18{,}160$ мм, - это опасное сечение стержня.

Шаг 6. Высота профиля. Рабочая (несущая) высота, которой виток болта опирается на виток гайки:

$$H_1 = \frac{5}{8} H = 0{,}5413 P = 0{,}812 \text{ мм}.$$

Шаг 7. Угол подъёма витка. Разверните средний диаметр в прямую: виток превращается в наклонную линию с подъёмом $P$ на длину $\pi d_2$:

$$\operatorname{tg} \psi = \frac{P}{\pi d_2} = \frac{1{,}5}{3{,}1416 \cdot 19{,}026} = \frac{1{,}5}{59{,}77} = 0{,}0251,$$ $$\psi = \arctan 0{,}0251 = 1{,}44^\circ = 1^\circ 26'.$$

Ответ: $P = 1{,}5$ мм, $d = 20$ мм, $d_2 = 19{,}026$ мм, $d_1 = 18{,}376$ мм, $H_1 = 0{,}812$ мм, $\psi = 1^\circ 26'$; запись резьбы - M20x1,5.

Формула и откуда она берётся

Коэффициенты 0,6495 и 1,0825 не подбирались экспериментально - они выводятся из геометрии профиля за две строки. Исходный треугольник равносторонний, его высота равна $H = P \sqrt{3} / 2 \approx 0{,}866 P$. Вершину треугольника срезают на $H/8$, а впадину - на $H/4$, чтобы острые кромки не крошились и оставалось место под скругление.

Средний диаметр делит профиль пополам по высоте, и от вершины до него ровно $3H/8$. По диаметру это удвоенная величина:

$$d - d_2 = 2 \cdot \frac{3}{8} H = \frac{3}{4} \cdot 0{,}866 P = 0{,}6495 P.$$

Так же получается и внутренний диаметр: от вершины до впадины гайки $5H/8$, значит $d - d_1 = 2 \cdot \frac{5}{8} H = 1{,}25 \cdot 0{,}866 P = 1{,}0825 P$. Все три диаметра отличаются только множителем при шаге, поэтому мелкая резьба на том же стержне «съедает» меньше металла.

Ещё одна величина, которая нужна в прочностных расчётах, - расчётная площадь сечения. Её берут не по $d_1$ и не по $d_3$, а по среднему из них, потому что разрушение идёт по винтовой поверхности между впадиной и средним диаметром:

$$A_s = \frac{\pi}{4} \left( \frac{d_2 + d_3}{2} \right)^2 = \frac{\pi}{4} \cdot 18{,}593^2 = 271{,}5 \approx 272 \text{ мм}^2.$$

Именно это число подставляется в проверку болта на растяжение и в расчёт момента затяжки, а не площадь по номинальному диаметру: разница для M20x1,5 составляет почти 14 процентов.

Как измерить резьбу в металле

Порядок замера обратный порядку расчёта: сначала то, что доступно инструменту, потом вычисленное.

Наружный диаметр меряют штангенциркулем по вершинам витков, по двум-трём местам и в разных плоскостях: изношенный или вытянутый болт даст разброс. Полученное число округляют до ближайшего из стандартного ряда 6, 8, 10, 12, 16, 20, 24 мм, а не принимают буквально.

Шаг определяют резьбомером - набором пластин с готовыми гребёнками: та, что села во впадины без просвета, и показывает шаг. Резьбомера нет - считают витки на известной длине. Приложите губку к вершине первого витка, отсчитайте десять шагов и разделите длину на их число, как в шаге 1. Заодно эта проверка отличает метрическую резьбу от дюймовой: у дюймовой шаг выражается числом ниток на дюйм и в миллиметрах выходит некруглым, вроде 1,814 мм.

Угол профиля проверяют тем же резьбомером или шаблоном: у метрической резьбы он $60^\circ$, у трубной дюймовой $55^\circ$, у трапецеидальной ходовой $30^\circ$. Средний диаметр в цеху измеряют резьбовым микрометром со вставками или методом трёх проволочек, но в учебной задаче его всегда считают по формуле.

Крупный и мелкий шаг: что меняется в числах

Для каждого номинального диаметра стандарт даёт один крупный шаг и несколько мелких. Для двадцатки это 2,5 мм (крупный) и 2; 1,5; 1 мм (мелкие). Сравним крайние варианты:

Мелкий шаг подрезает стержень слабее, поэтому болт держит на 11 процентов большую нагрузку, и меньший угол подъёма надёжнее защищает от самоотвинчивания при вибрации. Платой идёт хрупкость: витки ниже, их легче сорвать при перетяжке, а грязь и забоины мешают навинчиванию. Поэтому мелкую резьбу ставят на тонкостенные детали, регулировочные узлы и валы, а крупную - на обычный крепёж.

Обозначение на чертеже и что в нём зашито

Запись M20x1,5-6g расшифровывается слева направо: M - метрическая резьба с углом $60^\circ$, 20 - номинальный диаметр в миллиметрах, 1,5 - шаг, 6g - поле допуска среднего и наружного диаметров для наружной резьбы. Строчная буква означает болт, прописная (6H) - гайку.

Крупный шаг в обозначении не пишут: M20 - это автоматически резьба с шагом 2,5 мм. Отсюда частая путаница в чертежах, когда M20 и M20x2,5 считают разными резьбами. Левую резьбу помечают буквами LH, многозаходную записывают через ход: M20x3(P1,5) означает два захода с ходом 3 мм при шаге 1,5 мм - в таком соединении угол подъёма вдвое больше и самоторможение уже под вопросом.

Частые ошибки

• Шаг меряют по одному витку. Погрешность штангенциркуля 0,1 мм на шаге 1,5 мм даёт ошибку в 7 процентов; надо брать не меньше десяти витков и делить.
• Наружный диаметр принимают буквально: замер 19,87 мм записывают как есть и ищут резьбу M19,87. Номинал всегда округляется до ближайшего стандартного, отклонение внизу заложено допуском.
• Коэффициенты 0,6495 и 1,0825 умножают на диаметр вместо шага. Проверка простая: поправка всегда меньше двух шагов, а для M20x1,5 она порядка одного миллиметра.
• Внутренний диаметр болта $d_3$ путают с внутренним диаметром гайки $D_1$: числа разные (18,160 против 18,376), и сверло под гайку подбирают именно по $D_1$.
• В прочностном расчёте подставляют площадь по номинальному диаметру $d$. Для M20x1,5 это 314 мм² вместо 272 мм², то есть запас прочности завышен на 15 процентов.
• Забывают, что угол подъёма считается по среднему диаметру, а не по наружному: в знаменателе стоит $\pi d_2$.

FAQ

Как понять, метрическая резьба или дюймовая? Сравните угол профиля и шаг. У метрической угол $60^\circ$ и шаг круглый в миллиметрах (1; 1,25; 1,5; 2). У трубной дюймовой угол $55^\circ$, витки скруглены, а шаг в пересчёте некруглый: 14 ниток на дюйм дают 1,814 мм. Резьбомер с обоими наборами пластин решает вопрос за полминуты.

Какое сверло взять под резьбу M20x1,5? Диаметр сверла принимают равным внутреннему диаметру гайки: $D_1 = 18{,}376$ мм, на практике берут 18,5 мм. Упрощённое правило $d_{\text{св}} = d - P$ даёт те же 18,5 мм и работает для любого шага.

Зачем нужен средний диаметр, если деталь меряют по наружному? По среднему диаметру идёт контроль точности резьбы и по нему же считают момент трения при затяжке и угол подъёма витка. Наружный диаметр на несущую способность почти не влияет: в расчёте болтового соединения участвуют $d_2$ и $d_3$.

Почему резьба не откручивается сама? Угол подъёма $1^\circ 26'$ меньше угла трения стальной пары без смазки (около $6^\circ$), поэтому соединение самотормозящее. Условие самоторможения $\psi < \rho'$ выполняется для всех крепёжных метрических резьб, а вот многозаходные ходовые винты ему уже не подчиняются.

Коротко

1. Шаг определяют замером нескольких витков: $P = L / n = 15 / 10 = 1{,}5$ мм, наружный диаметр округляют до стандартного ряда, получая $d = 20$ мм.
2. Высота исходного треугольника $H = 0{,}866 P = 1{,}299$ мм, угол профиля метрической резьбы всегда $60^\circ$.
3. Средний диаметр $d_2 = d - 0{,}6495 P = 19{,}026$ мм, внутренний $d_1 = d - 1{,}0825 P = 18{,}376$ мм, диаметр впадины болта $d_3 = 18{,}160$ мм.
4. Рабочая высота профиля $H_1 = 0{,}5413 P = 0{,}812$ мм, расчётная площадь сечения $A_s = 272$ мм², угол подъёма $\psi = 1^\circ 26'$.
5. Итоговая запись резьбы - M20x1,5; крупный шаг 2,5 мм в обозначении не указывают, поэтому M20 и M20x1,5 - разные резьбы на одном диаметре.