Как рассчитать момент затяжки болта: формула и пример

Дано: болт М12 с крупным шагом $P = 1{,}75$ мм, класс прочности 8.8, усилие затяжки принимают равным 70 % от усилия текучести, резьба и торец гайки сухие, без покрытия, коэффициент затяжки $K = 0{,}2$. Найти: усилие затяжки $F_{\text{зат}}$ и момент на ключе $T$.

Момент затяжки считают в два хода: сначала по классу прочности находят, какое усилие болт выдержит, затем формула $T = K F d$ переводит это усилие в момент на ключе. Ответ: усилие затяжки 37,8 кН, момент затяжки 90,6 Н·м; эквивалентное напряжение с учётом кручения при этом составляет 91 % от предела текучести, то есть болт затянут плотно, но не течёт. Калькулятор сверху открыт ровно на этих числах: переключи смазку резьбы и посмотри, какое усилие даст тот же момент.

Решение по шагам

Дано.

Найти: $F_{\text{зат}}$ и $T$.

Шаг 1. Предел текучести по классу прочности. Маркировка на головке болта уже содержит оба нужных напряжения. Первое число, умноженное на 100, даёт временное сопротивление, а произведение двух чисел, умноженное на 10, даёт предел текучести:

$$\sigma_{\text{в}} = 8 \cdot 100 = 800\ \text{МПа}, \qquad \sigma_{\text{т}} = 8 \cdot 8 \cdot 10 = 640\ \text{МПа}$$

Вторая цифра 8 означает, что предел текучести составляет 80 % от временного сопротивления.

Шаг 2. Площадь сечения по резьбе. Болт рвётся не по гладкому стержню, а по резьбе, поэтому в расчёт идёт расчётная площадь $A_s$. Её берут из таблицы или считают по диаметру, среднему между средним $d_2$ и внутренним $d_3$ диаметрами резьбы:

$$\begin{aligned} d_3 &= d - 1{,}2269\,P = 12 - 1{,}2269 \cdot 1{,}75 = 9{,}853\ \text{мм}, \\ A_s &= \frac{\pi}{4}\left(\frac{d_2 + d_3}{2}\right)^2 = \frac{\pi}{4}\left(\frac{10{,}863 + 9{,}853}{2}\right)^2 = 84{,}3\ \text{мм}^2 \end{aligned}$$

Для сравнения, площадь гладкого стержня М12 равна 113 мм². Взять её вместо $A_s$ значит завысить прочность болта на треть.

Шаг 3. Усилие затяжки. Сначала находим усилие, при котором болт начал бы течь при чистом растяжении, затем берём от него 70 %:

$$\begin{aligned} F_{\text{т}} &= \sigma_{\text{т}} A_s = 640 \cdot 84{,}3 = 53\,952\ \text{Н}, \\ F_{\text{зат}} &= \nu\,F_{\text{т}} = 0{,}7 \cdot 53\,952 = 37\,766\ \text{Н} \approx 37{,}8\ \text{кН} \end{aligned}$$

Шаг 4. Момент затяжки. Подставляем усилие и номинальный диаметр в формулу с коэффициентом затяжки. Диаметр удобно оставить в миллиметрах, тогда момент получится в Н·мм:

$$T = K\,F_{\text{зат}}\,d = 0{,}2 \cdot 37\,766 \cdot 12 = 90\,639\ \text{Н} \cdot \text{мм} \approx 90{,}6\ \text{Н} \cdot \text{м}$$

Шаг 5. Проверка на текучесть с учётом кручения. Пока ключ поворачивает гайку, трение в резьбе закручивает стержень, и болт работает не на чистое растяжение, а на растяжение с кручением. Для стандартной метрической резьбы это учитывают множителем 1,3:

$$\sigma = \frac{F_{\text{зат}}}{A_s} = \frac{37\,766}{84{,}3} = 448\ \text{МПа}, \qquad \sigma_{\text{экв}} \approx 1{,}3\,\sigma = 582\ \text{МПа} = 0{,}91\,\sigma_{\text{т}}$$

Запас до текучести около 9 %: болт затянут плотно и остаётся упругим.

Ответ. Усилие затяжки $F_{\text{зат}} = 37{,}8$ кН, момент затяжки $T = 90{,}6$ Н·м. На ключе длиной 300 мм это сила около 302 Н на рукоятке, примерно 31 кгс.

Формула и откуда она берётся

Формула $T = K F d$ - сжатая запись суммы трёх слагаемых. Момент на ключе тратится на подъём гайки по винтовой линии резьбы, на трение в витках и на трение опорного торца гайки о деталь:

$$T = F\left(\frac{P}{2\pi} + \frac{\mu\,d_2}{2\cos 30^\circ} + \frac{\mu\,D_{\text{ср}}}{2}\right) \approx F\left(0{,}16\,P + 0{,}58\,\mu\,d_2 + \frac{\mu\,D_{\text{ср}}}{2}\right)$$

Первое слагаемое - полезная работа: гайка поднимается по наклонной плоскости резьбы и растягивает болт. Второе - трение в витках. Косинус половины угла профиля 60° появляется потому, что витки прижаты друг к другу под углом, и нормальная сила в них больше осевой; это тот же приём, что и приведённый угол трения на наклонной плоскости.

Третье слагаемое - трение торца гайки на среднем диаметре опорного кольца. Для гайки М12 под ключ 18 мм и отверстия 13 мм он равен $D_{\text{ср}} = (18 + 13)/2 = 15{,}5$ мм. Подставим коэффициент трения $\mu = 0{,}15$, типичный для сухой стали без покрытия:

$$K d = 0{,}16 \cdot 1{,}75 + 0{,}58 \cdot 0{,}15 \cdot 10{,}863 + \frac{0{,}15 \cdot 15{,}5}{2} = 0{,}280 + 0{,}945 + 1{,}163 = 2{,}388\ \text{мм}$$

Отсюда $K = 2{,}388 / 12 = 0{,}199 \approx 0{,}2$, ровно то значение, что стоит в условии. Главный вывод из этой раскладки: на растяжение болта уходит всего $0{,}280 / 2{,}388 = 11{,}7$ % момента, около 10,6 Н·м из 90,6. Остальное съедает трение: 39,6 % в резьбе и 48,7 % под гайкой. Поэтому любое изменение трения сильнее всего бьёт именно по усилию затяжки.

Множитель 1,3 в проверке тоже выводится. Момент трения в резьбе создаёт в стержне касательное напряжение, примерно равное половине нормального, и по четвёртой теории прочности

$$\sigma_{\text{экв}} = \sqrt{\sigma^2 + 3\tau^2} = \sigma\sqrt{1 + 3 \cdot 0{,}5^2} \approx 1{,}32\,\sigma$$

Отсюда и выбор доли 0,7: при ней эквивалентное напряжение выходит около 0,9 предела текучести. Как касательные напряжения распределяются по сечению закрученного стержня, разобрано в статье про кручение круглого вала.

Как выбрать коэффициент затяжки K

Коэффициент затяжки задаёт не болт, а состояние трущихся поверхностей. Ориентиры для стальных болтов с метрической резьбой:

Самая опасная ошибка - посчитать момент для сухой резьбы, а затянуть болт, смазанный маслом. Прямые на графике калькулятора показывают, что получится. Момент 90,6 Н·м при $K = 0{,}16$ даст

$$F = \frac{T}{K d} = \frac{90\,639}{0{,}16 \cdot 12} = 47\,208\ \text{Н}, \qquad \sigma_{\text{экв}} = 1{,}3 \cdot \frac{47\,208}{84{,}3} = 728\ \text{МПа} > 640\ \text{МПа}$$

Болт потечёт уже при затяжке. С пастой MoS2 при $K = 0{,}12$ тот же момент даст 62,9 кН, что больше даже усилия текучести при чистом растяжении 53,95 кН: такой болт, скорее всего, оборвётся под ключом. Обратная ситуация тоже плоха: момент, посчитанный для смазанной резьбы, на сухом болте недотянет соединение, и его со временем раскрутит вибрация.

Класс прочности меняет момент пропорционально пределу текучести. Для того же М12 при $K = 0{,}2$ и доле 0,7:

Размер резьбы влияет сильнее: момент растёт примерно как куб диаметра, потому что и площадь, и плечо в формуле растут вместе с ним. Для класса 8.8 при тех же условиях:

Если усилие затяжки задано нагрузкой

Доля от предела текучести - это затяжка «на полную», как её назначают для ответственных соединений. В задачах по деталям машин усилие чаще находят из условия работы. Классический случай: болт поставлен в отверстие с зазором, а сдвигающую силу держит трение между деталями. Пусть сдвигающая сила $Q = 3$ кН, коэффициент трения стыка $f = 0{,}15$, одна плоскость стыка $i = 1$, коэффициент запаса от сдвига $k = 1{,}5$:

$$F_{\text{зат}} = \frac{k\,Q}{f\,i} = \frac{1{,}5 \cdot 3000}{0{,}15 \cdot 1} = 30\,000\ \text{Н}, \qquad T = 0{,}2 \cdot 30\,000 \cdot 12 = 72\,000\ \text{Н} \cdot \text{мм} = 72\ \text{Н} \cdot \text{м}$$

Проверка болта М12 класса 8.8 даёт $\sigma_{\text{экв}} = 1{,}3 \cdot 30\,000 / 84{,}3 = 463$ МПа, это 72 % предела текучести, запас есть. Если в соединении несколько болтов и нужно найти их число и шаг, это уже задача расчёта болтового соединения; момент для каждого болта в нём считается так же, как здесь.

Обратная задача встречается не реже: известен момент на динамометрическом ключе, нужно проверить болт. Например, болт М10 класса 8.8 с сухой резьбой затянули на 60 Н·м:

$$F = \frac{T}{K d} = \frac{60\,000}{0{,}2 \cdot 10} = 30\,000\ \text{Н}, \qquad \sigma_{\text{экв}} = 1{,}3 \cdot \frac{30\,000}{58} = 672\ \text{МПа} > 640\ \text{МПа}$$

Болт перетянут: для М10 класса 8.8 расчётный момент при доле 0,7 равен 52 Н·м, и лишние 8 Н·м уже выводят стержень за предел текучести.

Частые ошибки

• Берут площадь гладкого стержня. Для М12 это 113 мм² вместо 84,3 мм², и усилие затяжки получается завышенным на треть: болт перетягивают ещё на бумаге.
• Путают коэффициент затяжки с коэффициентом трения. $K = 0{,}2$ и $\mu = 0{,}15$ - разные величины. Подставив 0,15 в $T = K F d$, получишь момент на четверть меньше нужного.
• Теряют порядок единиц. Сила в ньютонах и диаметр в миллиметрах дают Н·мм: 90 639 Н·мм - это 90,6 Н·м, а не 90 639 и не 906.
• Берут долю 0,8-0,9 от предела текучести без проверки кручения. При доле 0,8 эквивалентное напряжение $1{,}3 \cdot 0{,}8 = 1{,}04\,\sigma_{\text{т}}$, и болт течёт ещё на ключе.
• Считают момент для сухой резьбы, а затягивают смазанную. Для масла тот же момент даёт на 25 % большее усилие, для пасты MoS2 - на 67 % большее.
• Подставляют в формулу средний диаметр резьбы. Табличные значения $K$ отнесены к номинальному диаметру $d$; с $d_2$ момент окажется заниженным почти на 10 %.

FAQ

Почему момент затяжки считают по пределу текучести, а не по нагрузке? Затяжка сжимает детали, не даёт стыку раскрыться и удерживает гайку от самоотвинчивания. Чем сильнее болт затянут в пределах упругости, тем меньшая доля внешней нагрузки до него доходит и тем выше его усталостная прочность. Поэтому для ответственных соединений назначают максимально допустимую затяжку, 0,6-0,75 от предела текучести, а внешнюю нагрузку проверяют отдельно.

Откуда берутся табличные моменты затяжки? Из той же формулы $T = K F d$ при определённом коэффициенте трения, обычно 0,12-0,15. Поэтому таблицы разных производителей для М12 класса 8.8 дают около 80-90 Н·м: различаются принятые трение и доля от предела текучести, а не методика.

Насколько точно момент задаёт усилие затяжки? Не очень: при одном и том же моменте разброс трения даёт разброс усилия порядка ±25 %. Для точных соединений, например шатунных болтов, затягивают на угол поворота гайки после предварительного момента или контролируют удлинение болта.

Какой предел текучести брать, если он есть в стандарте? Правило «произведение цифр на 10» даёт номинальное значение. ГОСТ ISO 898-1 для некоторых размеров задаёт чуть больший минимум, например 660 МПа для класса 8.8 при диаметре больше 16 мм. В учебной задаче берут значение по маркировке, если в условии не сказано иначе: ошибка при этом идёт в запас.

Коротко

1. По маркировке класса прочности найди предел текучести: для 8.8 это $\sigma_{\text{т}} = 8 \cdot 8 \cdot 10 = 640$ МПа.
2. Возьми площадь сечения по резьбе, а не по стержню: для М12 $A_s = 84{,}3$ мм².
3. Найди усилие затяжки как долю от усилия текучести: $F_{\text{зат}} = 0{,}7 \cdot 640 \cdot 84{,}3 = 37\,766$ Н $\approx 37{,}8$ кН.
4. Выбери $K$ по состоянию резьбы и посчитай момент: $T = 0{,}2 \cdot 37\,766 \cdot 12 = 90\,639$ Н·мм $\approx 90{,}6$ Н·м.
5. Проверь болт с учётом кручения: $\sigma_{\text{экв}} \approx 1{,}3 \cdot 448 = 582$ МПа, это 91 % от $\sigma_{\text{т}}$, болт не течёт.