Как рассчитать червячную передачу: КПД и нагрев

Дано: червячный редуктор в приводе конвейера, мощность на валу червяка $P_1 = 3$ кВт, частота вращения червяка $n_1 = 1440$ об/мин, передаточное число $u = 20$, червяк стальной шлифованный (от 45 HRC), венец колеса бронзовый, корпус закрытый на металлической раме, температура воздуха $t_{\text{в}} = 20$ °C. Найти: числа заходов и зубьев, модуль и коэффициент диаметра червяка, диаметры и межосевое расстояние, угол подъёма витка, скорость скольжения, КПД, самоторможение и температуру масла.

Геометрия червячной передачи держится на двух параметрах сразу - на модуле $m$ и на коэффициенте диаметра червяка $q = d_1/m$, который назначают отдельно от числа зубьев. А определяющей проверкой оказывается не прочность зуба, а трение: витки скользят вдоль зубьев, и всё потерянное остаётся теплом в закрытом картере. Ответ: $z_1 = 2$, $z_2 = 40$, $m = 5$ мм, $q = 10$, $d_1 = 50$ мм, $d_2 = 200$ мм, $a_w = 125$ мм, $\gamma = 11^\circ 19'$, $v_s = 3{,}84$ м/с, $\eta = 0{,}83$, самоторможения нет, температура масла 67 °C при допускаемых 95 °C. Калькулятор сверху открыт ровно на этих числах, и на его графике видно, во что обходится каждый шаг по ряду $q$ и что даёт второй заход червяка.

Решение по шагам

Дано.

Шаг 1. Число заходов червяка и число зубьев колеса. Число заходов назначают по передаточному числу: при $u$ от 8 до 14 берут четыре захода, при $u$ от 14 до 30 - два, свыше 30 - один. Наше $u = 20$ даёт $z_1 = 2$, а число зубьев колеса получается прямым умножением:

$$z_2 = u z_1 = 20 \cdot 2 = 40.$$

Результат проверяют по двум границам: $z_2 \ge 28$, иначе червячная фреза подрезает ножку зуба, и $z_2 \le 80$, иначе зуб при большом колесе теряет прочность на изгиб. Передаточное число здесь выходит точным - в отличие от многоступенчатого редуктора, где фактическое значение почти всегда отличается от желаемого.

Шаг 2. Коэффициент диаметра червяка и модуль. Диаметр червяка задать произвольно нельзя: это вал, работающий на изгиб между опорами. Стандарт связывает его с модулем отношением $q = d_1/m$, а минимум задаёт условие жёсткости:

$$q \ge 0{,}212 z_2 = 0{,}212 \cdot 40 = 8{,}48.$$

Ближайшее большее значение ряда - $q = 10$. Модуль подбирают так, чтобы межосевое расстояние попало в ряд ГОСТ 2144: для $a_w = 125$ мм это $m = 2a_w/(q + z_2) = 250/50 = 5$ мм, тоже значение стандартного ряда ГОСТ 19672.

Шаг 3. Диаметры и межосевое расстояние. Вся геометрия раскрывается из $m$ и $q$ в две строки:

$$d_1 = mq = 5 \cdot 10 = 50 \ \text{мм}, \qquad d_2 = m z_2 = 5 \cdot 40 = 200 \ \text{мм},$$ $$a_w = 0{,}5 m (q + z_2) = 0{,}5 \cdot 5 \cdot (10 + 40) = 125 \ \text{мм}.$$

Остальные размеры считают через модуль, как у обычного зацепления.

Шаг 4. Угол подъёма витка и скорость скольжения. Виток - винтовая линия, её наклон задают только число заходов и коэффициент диаметра:

$$\gamma = \arctan \frac{z_1}{q} = \arctan 0{,}2 = 11^\circ 19'.$$

Окружная скорость червяка $v_1 = \pi d_1 n_1 / 60\,000 = 3{,}77$ м/с. Но зуб колеса движется поперёк витка, а не вместе с ним, поэтому в контакте важна скорость скольжения:

$$v_s = \frac{v_1}{\cos \gamma} = \frac{3{,}77}{0{,}981} = 3{,}84 \ \text{м/с}.$$

По ней выбирают материал венца: диапазон от 2 до 5 м/с закрывают безоловянные бронзы, принимаем БрА9Ж4Л. Выше 5 м/с нужна оловянная бронза, ниже 2 м/с хватило бы чугуна.

Шаг 5. КПД передачи. Приведённый угол трения берут по таблице от скорости скольжения: при $v_s = 3{,}84$ м/с и шлифованном червяке это $\rho' = 1^\circ 33'$. КПД зацепления считают как для винтовой пары:

$$\eta_{\text{з}} = \frac{\tan \gamma}{\tan (\gamma + \rho')} = \frac{\tan 11^\circ 19'}{\tan 12^\circ 52'} = \frac{0{,}200}{0{,}228} = 0{,}876.$$

Подшипники и размешивание масла съедают ещё пять процентов, поэтому общий КПД $\eta = 0{,}876 \cdot 0{,}95 = 0{,}83$. Отсюда выходной вал: $n_2 = n_1/u = 72$ об/мин, $T_2 = T_1 u \eta = 331$ Н·м.

Шаг 6. Проверка самоторможения. Передача самотормозящая, когда угол подъёма витка не превышает угла трения покоя, а он около $3^\circ 30'$. У нас $\gamma = 11^\circ 19'$ - втрое больше, значит самоторможения нет: колесо способно раскрутить червяк обратно.

Шаг 7. Тепловой расчёт. Мощность потерь $P_{\text{пот}} = P_1 (1 - \eta) = 503$ Вт, площадь охлаждения корпуса оценивают по межосевому расстоянию в метрах: $A = 20 a_w^{1{,}7} = 0{,}58$ м². Температура масла:

$$t_{\text{м}} = t_{\text{в}} + \frac{P_{\text{пот}}}{K_t A (1 + \psi)} = 20 + \frac{503}{14 \cdot 0{,}58 \cdot 1{,}3} = 20 + 47 = 67 \ ^\circ\text{C}.$$

Ответ: $z_1 = 2$, $z_2 = 40$, $m = 5$ мм, $q = 10$, $d_1 = 50$ мм, $d_2 = 200$ мм, $a_w = 125$ мм, $\gamma = 11^\circ 19'$, $v_s = 3{,}84$ м/с, $\eta = 0{,}83$, самоторможения нет, масло 67 °C против допускаемых 95 °C - охлаждение не требуется.

Формула КПД и откуда она берётся

Червячное зацепление механически эквивалентно винту и гайке: виток играет роль резьбы, зуб колеса - роль гайки. Поэтому КПД берут из задачи о теле на наклонной плоскости, где угол наклона равен углу подъёма винтовой линии: полезная работа пропорциональна $\tan \gamma$, полная - $\tan(\gamma + \rho')$, отношение и есть КПД.

Отсюда видно поведение передачи. При малом $\gamma$ тангенсы почти равны аргументам, и КПД стремится к отношению $\gamma/(\gamma + \rho')$: при $\gamma = 2^\circ$ и $\rho' = 2^\circ$ он падает до 0,5. С ростом угла подъёма добавка $\rho'$ значит всё меньше, но угол свыше 25 градусов требует многозаходного червяка большого диаметра.

Сам $\rho'$ - не константа, а функция скорости скольжения: чем быстрее скользит виток, тем лучше затягивается масляный клин, и угол падает с пяти градусов до одного. Поэтому у червячного редуктора КПД с оборотами растёт, а не падает.

Коэффициент диаметра червяка: за что его выбирают

Коэффициент $q$ - единственный параметр передачи, который не диктуется кинематикой: его назначают между двумя противоположными требованиями. Маленькое $q$ означает тонкий червяк, крутую винтовую линию и высокий КПД: на графике калькулятора кривая для двух заходов идёт от 83,8 процента при $q = 8$ до 75,9 процента при $q = 25$.

Против этого работает жёсткость. Червяк - длинный вал, нагруженный в середине пролёта, и его прогиб растёт обратно пропорционально четвёртой степени диаметра. Прогиб уводит витки из плоскости зацепления, пятно контакта уезжает на край зуба, и бронза выкрашивается. Отсюда условие $q \ge 0{,}212 z_2$: чем больше колесо, тем длиннее червяк и тем он толще. Это тот же расчёт, что при подборе диаметра вала, только спрятанный в эмпирический коэффициент. Мешают тонкому червяку и посадочные размеры: диаметр впадин $d_{f1} = 38$ мм - предел для вала под подшипники, а при $q = 8$ он упал бы до 28 мм.

Самоторможение: когда оно есть и чем за него платят

Ради самоторможения червячную передачу и ставят в подъёмниках и запорной арматуре: груз не должен опускаться сам при обесточенном двигателе. Условие простое: при $\gamma \le \rho'$ обратный ход невозможен, потому что трение превышает скатывающую составляющую.

Но угол трения при обратном ходе берут не рабочий, а для покоя, и он больше - порядка $3^\circ 30'$. Такой малый угол подъёма даёт только однозаходный червяк с большим $q$: при $z_1 = 1$ и $q = 20$ получается $\gamma = 2^\circ 52'$. Платой становится КПД: на рабочем ходу это нижняя кривая графика, около 66 процентов при 1440 об/мин, а на тихом ходу, где угол трения доходит до трёх-пяти градусов, он падает ниже 0,5.

И второе: самоторможение не равно тормозу. При вибрации трение покоя падает, и самотормозящая в статике передача начинает проворачиваться, поэтому в грузоподъёмных механизмах его считают подстраховкой, а не заменой колодочному тормозу.

Тепловой расчёт: почему без него расчёт не закончен

У зубчатого редуктора потери составляют два-три процента, и тепловой расчёт делают редко. У червячного теряется 17 процентов мощности, здесь это полкиловатта - обогреватель внутри закрытого чугунного ящика. Уйти тепло может только через стенки, поэтому расчёт сводится к балансу: сколько ватт выделилось, столько должно уйти в воздух.

Отсюда структура формулы: в числителе мощность потерь, в знаменателе - теплоотдача, умноженная на площадь корпуса и на поправку $\psi$ за тепло, уходящее в раму через лапы. Показатель 1,7 отражает то, что поверхность растёт медленнее объёма: удвоение $a_w$ даёт площадь втрое, а допустимую мощность - примерно в шесть-восемь раз. Поэтому крупные редукторы оребряют, а самые нагруженные снабжают вентилятором на валу червяка, поднимающим $K_t$ с 14 до 25 Вт на квадратный метр и градус. Выше 95 °C вязкость масла падает, плёнка в контакте рвётся, и бронзовый венец схватывается со сталью.

Частые ошибки

• Считают передаточное число как отношение диаметров. У зубчатой пары $u = d_2/d_1$, здесь это даёт 4 вместо 20: диаметр червяка с кинематикой не связан, его задаёт коэффициент $q$, а $u = z_2/z_1$.
• Путают окружную скорость червяка со скоростью скольжения. Разница кажется мелкой (3,77 против 3,84 м/с), но по скольжению выбирают и угол трения, и материал венца, а при больших углах подъёма расхождение доходит до десятков процентов.
• Берут КПД из справочника одним числом. Значение 0,8 верно только для своей пары «число заходов - $q$»: с однозаходным червяком выйдет 0,74, а при $q = 25$ - 0,63, и тепловой расчёт разойдётся вдвое.
• Подставляют в формулу площади межосевое расстояние в миллиметрах. $A = 20 a_w^{1{,}7}$ требует метров: 125 вместо 0,125 даёт три тысячи квадратных метров и перегрев в сотые доли градуса.
• Считают самоторможение гарантией удержания груза. Оно работает только в покое и без вибрации, а его цена - КПД ниже 0,5 и вдвое больший нагрев.

FAQ

Почему у червячной передачи КПД настолько ниже, чем у зубчатой? В зубчатом зацеплении профили в основном перекатываются, в червячном виток скользит вдоль зуба, а трение скольжения на порядок затратнее. Поэтому цилиндрическая зубчатая передача отдаёт 97...99 процентов мощности, а червячная - от 50 до 90.

Зачем тогда вообще ставят червячную передачу? Ради передаточного числа в одной ступени: $u = 20$ зубчатой парой требует колеса вчетверо больше шестерни, а здесь хватает колеса 200 мм при червяке 50 мм. Плюс плавность хода, перекрещивающиеся валы и самоторможение - за это и платят КПД.

Что делать, если масло перегревается? Работать со знаменателем формулы: оребрить корпус, поставить вентилятор на вал червяка или змеевик с водой. Второй путь - уменьшить числитель, подняв КПД числом заходов и меньшим $q$. Крайняя мера - увеличить межосевое расстояние на ступень ряда.

Коротко

1. Число заходов назначают по передаточному числу ($u = 20 \Rightarrow z_1 = 2$), число зубьев колеса $z_2 = u z_1 = 40$ с проверкой $28 \le z_2 \le 80$.
2. Коэффициент диаметра червяка проверяют по жёсткости: $q \ge 0{,}212 z_2 = 8{,}48$, берут $q = 10$; модуль $m = 2a_w/(q + z_2) = 5$ мм по ГОСТ 19672.
3. Геометрия: $d_1 = mq = 50$ мм, $d_2 = m z_2 = 200$ мм, $a_w = 0{,}5m(q + z_2) = 125$ мм, диаметры вершин 60 и 210 мм.
4. Трение: $\gamma = \arctan(z_1/q) = 11^\circ 19'$, $v_s = v_1/\cos\gamma = 3{,}84$ м/с, $\rho' = 1^\circ 33'$, $\eta_{\text{з}} = \tan\gamma/\tan(\gamma + \rho') = 0{,}876$, общий $\eta = 0{,}83$.
5. Проверки: самоторможения нет ($11^\circ 19' > 3^\circ 30'$), потери 503 Вт, площадь охлаждения 0,58 м², температура масла 67 °C при допускаемых 95 °C.