Как рассчитать предложение денег: решение по шагам

Дано: денежная база 800 млрд руб., норма обязательных резервов 5 %, коэффициент депонирования наличности 0,2. Найти: денежный мультипликатор и предложение денег, а также изменение предложения, если норма резервов вырастет до 10 %.

Предложение денег создаёт не один центральный банк: он выпускает базу, а коммерческие банки размножают её кредитами. Во сколько раз - показывает денежный мультипликатор, и с учётом наличности на руках он равен отношению $(1 + cr)$ к $(cr + rr)$. Ответ: мультипликатор 4,8, предложение денег 3840 млрд руб. При норме резервов 10 % мультипликатор опускается до 4,0, а денежная масса - до 3200 млрд руб., то есть на 640 млрд руб. меньше. Калькулятор сверху проходит ту же цепочку и показывает, по какой кривой едет ответ при других нормах.

Решение по шагам

Дано. Исходные данные задачи:

Шаг 1. Понимаем, что задано. Денежная база - это обязательства центрального банка: наличные деньги вне банков $C$ плюс резервы коммерческих банков $R$ на счетах в ЦБ. Её ещё называют деньгами повышенной силы, потому что каждый её рубль порождает несколько рублей денежной массы.

$H = C + R = 800\ \text{млрд руб.}$

Коэффициент депонирования $cr = C/D = 0{,}2$ означает, что на каждый рубль, лежащий на счёте, население держит 20 копеек в кармане. Норма резервирования $rr = R/D = 0{,}05$ означает, что с каждого рубля депозитов банк обязан отложить 5 копеек и не может выдать их в кредит.

Шаг 2. Считаем мультипликатор. Обе доли берутся от одной и той же величины - объёма депозитов, поэтому мультипликатор выражается только через $cr$ и $rr$:

$m = \frac{1 + cr}{cr + rr} = \frac{1 + 0{,}2}{0{,}2 + 0{,}05} = \frac{1{,}2}{0{,}25} = 4{,}8.$

Шаг 3. Умножаем базу на мультипликатор. Это и есть искомое предложение денег:

$M = m \cdot H = 4{,}8 \cdot 800 = 3840\ \text{млрд руб.}$

Шаг 4. Раскладываем ответ на составные части. Полезно довести расчёт до депозитов, наличности и резервов: почти всегда их просят отдельным пунктом, а заодно это проверка.

$$\begin{aligned} D &= \frac{H}{cr + rr} = \frac{800}{0{,}25} = 3200\ \text{млрд руб.}, \\ C &= cr \cdot D = 0{,}2 \cdot 3200 = 640\ \text{млрд руб.}, \\ R &= rr \cdot D = 0{,}05 \cdot 3200 = 160\ \text{млрд руб.} \end{aligned}$$

Проверяем сходимость по двум тождествам: база $640 + 160 = 800$ млрд руб. сошлась с условием, а денежная масса $640 + 3200 = 3840$ млрд руб. - с результатом шага 3. Если хотя бы одно равенство не выполняется, ошибка сидит в долях, а не в арифметике.

Шаг 5. Повышаем норму резервов до 10 %. База не меняется - центральный банк не изымал и не печатал деньги, он лишь ужесточил норматив. Меняется только множитель:

$m' = \frac{1{,}2}{0{,}2 + 0{,}10} = \frac{1{,}2}{0{,}30} = 4{,}0, \qquad M' = 4{,}0 \cdot 800 = 3200\ \text{млрд руб.}$

$\Delta M = 3200 - 3840 = -640\ \text{млрд руб.}, \qquad \frac{-640}{3840} = -0{,}167.$

Норма резервов выросла вдвое, а денежная масса сжалась лишь на 16,7 % - ровно потому, что в знаменателе мультипликатора сидит ещё и наличность, которая от норматива не зависит.

Ответ. Денежный мультипликатор 4,8, предложение денег 3840 млрд руб. Структура массы: наличность 640, депозиты 3200 млрд руб. При норме резервирования 10 % мультипликатор равен 4,0, а предложение денег - 3200 млрд руб., то есть на 640 млрд руб. (16,7 %) меньше.

Формула и откуда она берётся

Формулу мультипликатора не нужно запоминать: она выводится за три строки из двух определений. Предложение денег - это то, чем расплачиваются: наличность плюс депозиты. База - это то, что выпустил центральный банк: наличность плюс резервы.

$M = C + D, \qquad H = C + R.$

Мультипликатор по определению равен отношению одного к другому. Выразим наличность и резервы через депозиты: $C = cr \cdot D$ и $R = rr \cdot D$. Тогда депозиты сокращаются:

$m = \frac{M}{H} = \frac{C + D}{C + R} = \frac{cr \cdot D + D}{cr \cdot D + rr \cdot D} = \frac{cr + 1}{cr + rr}.$

Смысл дроби прост. В числителе - сколько платёжных средств приходится на рубль депозитов, в знаменателе - сколько базовых денег этот рубль депозитов связывает. Чем больше утечек из кредитного процесса, тем меньше множитель, а утечек ровно две: население уносит часть суммы наличными, и банк откладывает часть в резервы. Управляет второй утечкой центральный банк, и норма резервирования - один из его классических инструментов наряду с ключевой ставкой и операциями на открытом рынке; их сравнение разобрано в статье про виды монетарной политики.

Важно, что мультипликатор - потолок, а не гарантия. Он показывает, сколько денег создаст система, если банки выдают в кредит все избыточные резервы, а заёмщики находятся. В кризис банки держат избыточные резервы сверх норматива, фактический множитель падает, и одна и та же база даёт меньшую денежную массу.

Упрощённый мультипликатор без наличности и почему он завышает ответ

В учебниках сначала дают простой банковский мультипликатор, равный единице, делённой на норму резервов. Он получается из общей формулы при $cr = 0$, то есть в мире, где все деньги лежат на счетах и никто не снимает наличных:

$m_{\text{прост}} = \frac{1 + 0}{0 + rr} = \frac{1}{rr} = \frac{1}{0{,}05} = 20.$

Двадцать против 4,8 - разница в четыре с лишним раза, а предложение денег вышло бы 16 000 вместо 3840 млрд руб. Поэтому в задаче с заданным коэффициентом депонирования пользоваться простой формулой нельзя: она не для этого условия. Переключатель в калькуляторе сверху сравнивает обе модели на одних и тех же числах.

Простая формула уместна ровно в двух случаях: когда в условии о наличности нет ни слова либо когда спрашивают не всю денежную массу, а максимальный объём депозитов, который банковская система построит на избыточных резервах.

Денежные агрегаты: что считать предложением денег

Прежде чем считать, надо понять, какой именно агрегат требуется. Агрегаты вложены друг в друга и различаются ликвидностью: каждый следующий добавляет активы, которыми труднее расплатиться прямо сейчас.

Мультипликатор из шага 2 построен на депозитах до востребования, поэтому его результат - это $M_1$. Если в условии дополнительно указаны срочные вклады, скажем 1500 млрд руб., их прибавляют отдельной строкой: $3840 + 1500 = 5340$ млрд руб. Доля наличности в $M_2$ тогда равна $640 : 5340 = 0{,}120$, то есть 12,0 %.

Отдельно стоит помнить: предложение денег - запас на дату, а не поток за год. Его нельзя складывать с ВВП или доходами, которые измеряются за период; разница между запасами и потоками хорошо видна на фоне задачи про личный доход. Сопоставляют их иначе - через скорость обращения в уравнении обмена, а сколько денег экономике вообще требуется, объясняет количественная теория денег.

Если меняется не норма резервов, а сама база

Второй типовой вопрос: центральный банк покупает на открытом рынке государственные облигации на 50 млрд руб. Покупка оплачивается вновь созданными резервами, поэтому растёт база, а мультипликатор остаётся прежним:

$\Delta M = m \cdot \Delta H = 4{,}8 \cdot 50 = 240\ \text{млрд руб.}$

Новое предложение денег - $3840 + 240 = 4080$ млрд руб. Тот же множитель работает и в обратную сторону: продажа облигаций на 50 млрд руб. изымает из обращения 240 млрд руб.

Третий вариант условия - меняется поведение населения. Если в кризис люди начинают снимать наличные и $cr$ растёт с 0,2 до 0,3, мультипликатор становится $1{,}3 : 0{,}35 = 3{,}71$, а денежная масса - 2971 млрд руб., хотя центральный банк не сделал ничего. Именно поэтому денежную массу считают лишь промежуточным ориентиром, а цель формулируют по инфляции: подробности - в разборе таргетирования инфляции.

Частые ошибки

• Простая формула при заданном коэффициенте депонирования. Расчёт $1 : 0{,}05 = 20$ вместо 4,8 завышает ответ в четыре раза. Как только в условии есть наличность или $cr$, работает только полная формула.
• Норма резервов подставлена в процентах. В знаменателе стоит доля: 0,05, а не 5. Подстановка $1{,}2 : (0{,}2 + 5)$ даёт мультипликатор 0,23, то есть денег меньше, чем базы, чего быть не может.
• Мультипликатор умножен на депозиты. Множитель применяется к базе, а не к $D$: $4{,}8 \cdot 3200$ - это 15 360 млрд руб. из воздуха. Проверка простая: $M$ обязано равняться $C + D$.
• База перепутана с денежной массой. Резервы банков входят в базу, но не входят в $M$: ими нельзя расплатиться в магазине. И наоборот, депозиты входят в массу, но не в базу.
• При изменении нормы резервов пересчитана база. Норматив не меняет обязательств центрального банка: $H$ остаётся 800 млрд руб., меняется только множитель.
• Сложены запас и поток. Денежная масса 3840 млрд руб. на дату и ВВП за год - величины разной природы; чтобы сравнить их, нужна скорость обращения.

FAQ

Чем денежная база отличается от денежной массы? База - это деньги, выпущенные центральным банком: наличность вне банков плюс резервы банков. Масса - деньги, которыми расплачивается экономика: наличность плюс депозиты. Пересечение у них только по наличности, а связывает их мультипликатор. В нашей задаче база 800 млрд руб., масса 3840 млрд руб.

Может ли мультипликатор быть меньше единицы? По формуле - нет: числитель $1 + cr$ всегда больше знаменателя $cr + rr$, пока норма резервирования не достигла 100 %. При полном резервировании ($rr = 1$) множитель равен единице, и банки перестают создавать деньги. Значение меньше единицы в ответе означает арифметическую ошибку, чаще всего проценты вместо долей.

Почему фактический мультипликатор в статистике ниже расчётного? Формула предполагает, что банки выдают в кредит всё, кроме обязательных резервов. На практике они держат избыточные резервы, часть кредитов не находит заёмщика, а часть выданных денег уходит в срочные вклады. Поэтому отношение $M_2$ к базе в реальной статистике почти всегда меньше теоретического потолка.

Как перейти от номинальной денежной массы к реальной? Разделить на индекс цен: реальное предложение денег равно $M/P$. При массе 3840 млрд руб. и росте цен на 20 % реальная масса падает до 3200 млрд руб., хотя номинально не изменилась. Сам индекс считается в задаче про индекс потребительских цен.

Коротко

1. Выписать базу $H$, норму резервирования $rr$ и коэффициент депонирования $cr$, переведя проценты в доли.
2. Посчитать мультипликатор по полной формуле: $m = (1 + cr) : (cr + rr) = 1{,}2 : 0{,}25 = 4{,}8$. Упрощённое $1 : rr$ годится только при $cr = 0$.
3. Умножить базу на мультипликатор: $M = 4{,}8 \cdot 800 = 3840$ млрд руб. - это ответ.
4. Разложить массу на части и проверить: $D = 3200$, $C = 640$, $R = 160$; при этом $C + R = H$ и $C + D = M$.
5. Для нового норматива пересчитать только множитель: при 10 % получается $m' = 4{,}0$ и $M' = 3200$ млрд руб., то есть на 640 млрд руб. (16,7 %) меньше.