Как рассчитать индекс потребительских цен: решение

Дано: стоимость одной и той же потребительской корзины по годам: 2021 год - 20 000 руб., 2022 - 23 000 руб., 2023 - 25 300 руб., 2024 - 26 565 руб. Найти: индекс потребительских цен к базовому 2021 году и темп инфляции за каждый год.

Метод прямой: ИПЦ - это отношение стоимости неизменного набора товаров в ценах текущего года к его стоимости в ценах базового года, а годовая инфляция - прирост этого индекса за год. Ответ: ИПЦ равен 115,0%, 126,5% и 132,8%, инфляция составила 15,0%, 10,0% и 5,0%, накопленный рост цен за три года - 32,8%. Калькулятор сверху пересчитает тот же ряд под другие суммы и другой базовый год.

Решение по шагам

Дано. Набор товаров и услуг зафиксирован: каждый год берётся одно и то же количество одних и тех же благ, меняются только цены. Стоимость корзины $C_t$:

Шаг 1. Назначить базовый год. Базовым объявляем 2021 год, его индекс по определению равен 100%. Все остальные годы сравниваются именно с ним, поэтому получившийся ряд индексов называют базисным.

Шаг 2. Индекс потребительских цен по каждому году. Стоимость корзины текущего года делится на стоимость корзины базового года:

$\text{ИПЦ}_t = \frac{C_t}{C_0} \cdot 100\%.$

Подставляем суммы из таблицы:

$$\begin{aligned} \text{ИПЦ}_{2022} &= \frac{23\,000}{20\,000} \cdot 100\% = 115{,}0\%, \\ \text{ИПЦ}_{2023} &= \frac{25\,300}{20\,000} \cdot 100\% = 126{,}5\%, \\ \text{ИПЦ}_{2024} &= \frac{26\,565}{20\,000} \cdot 100\% = 132{,}8\%. \end{aligned}$$

Каждое число отвечает на вопрос «сколько процентов от цен 2021 года составляют цены этого года». К 2024 году та же корзина стоит 132,8% от прежней суммы.

Шаг 3. Годовой темп инфляции. Инфляция за год - это относительный прирост индекса по сравнению с предыдущим годом, а не разность индексов в процентных пунктах:

$\pi_t = \frac{\text{ИПЦ}_t - \text{ИПЦ}_{t-1}}{\text{ИПЦ}_{t-1}} \cdot 100\%.$

Считаем по годам:

$$\begin{aligned} \pi_{2022} &= \frac{115{,}0 - 100}{100} \cdot 100\% = 15{,}0\%, \\ \pi_{2023} &= \frac{126{,}5 - 115{,}0}{115{,}0} \cdot 100\% = 10{,}0\%, \\ \pi_{2024} &= \frac{132{,}8 - 126{,}5}{126{,}5} \cdot 100\% = 5{,}0\%. \end{aligned}$$

Инфляция затухает: 15%, 10%, 5%. При этом цены не падают - падает скорость их роста, и это принципиально разные вещи.

Шаг 4. Накопленная и средняя годовая инфляция. За весь период рост цен равен индексу последнего года минус 100%:

$\pi_{\text{накоп}} = 132{,}8\% - 100\% = 32{,}8\%.$

Проверка через произведение годовых коэффициентов: $1{,}15 \cdot 1{,}10 \cdot 1{,}05 = 1{,}32825$, то есть те же 132,8%. Средняя годовая инфляция считается через среднюю геометрическую, а не через арифметическое среднее:

$\bar{\pi} = \left( \sqrt[3]{1{,}32825} - 1 \right) \cdot 100\% = (1{,}0992 - 1) \cdot 100\% = 9{,}9\%.$

Ответ. ИПЦ к базе 2021 года: 115,0% в 2022 году, 126,5% в 2023 году, 132,8% в 2024 году. Годовая инфляция: 15,0%, 10,0% и 5,0%. Накопленная инфляция за три года - 32,8%, средняя годовая - 9,9%. Покупательная способность рубля упала до $100 : 1{,}32825 = 75{,}3\%$ от уровня 2021 года, то есть деньги обесценились почти на четверть.

Формула ИПЦ и откуда она берётся

В развёрнутом виде стоимость корзины - это сумма произведений цен на неизменные количества, поэтому индекс записывается через цены и объёмы базового года:

$\text{ИПЦ}_t = \frac{\sum p_t q_0}{\sum p_0 q_0} \cdot 100\%.$

Это формула Ласпейреса: веса $q_0$ взяты из базового периода и не пересчитываются. Именно поэтому корзину и называют фиксированной - статистическому ведомству достаточно раз в несколько лет обследовать бюджеты домохозяйств, а дальше каждый месяц собирать только цены. Вывод агрегатных индексов и сравнение Ласпейреса с Пааше и Фишером разобраны отдельно в задаче про расчёт индекса цен по корзине товаров, здесь они не повторяются.

Из этой конструкции следуют два свойства, которыми задачи и проверяют понимание. Первое: индекс безразмерен, единицы измерения товаров и валюта сокращаются. Второе: ряд ИПЦ мультипликативен, коэффициенты за соседние годы перемножаются, а не складываются - на этом и держалась проверка в шаге 4.

Смена базового года и пересчёт ряда

Базовый год выбирается произвольно, и от его выбора темпы инфляции не меняются. Если объявить базовым 2022 год, индексы пересчитываются делением всего ряда на его значение: 86,96%, 100%, 110,0% и 115,5%. Годовые темпы остаются прежними: $110{,}0 : 100 = 1{,}10$ и $115{,}5 : 110{,}0 = 1{,}05$, то есть те же 10% и 5%. Переключатель базового года в калькуляторе сверху показывает это на графике.

Отсюда правило пересчёта: чтобы перевести индекс с одной базы на другую, ряд делится на индекс нового базового года. Обратная задача - восстановить стоимость корзины по готовому ряду ИПЦ - решается умножением: $C_{2023} = 20\,000 \cdot 1{,}265 = 25\,300$ руб.

Тем же индексом дефлируют денежные показатели. Если номинальная зарплата выросла с 45 000 руб. в 2021 году до 55 000 руб. в 2024-м, то в ценах базового года это $55\,000 : 1{,}32825 = 41\,408$ руб. Реальный доход не вырос, а упал примерно на 8%: номинальный прирост в 22% съеден накопленной инфляцией в 32,8%. Логика деления на индекс здесь та же, что при работе с темпами роста ряда динамики.

ИПЦ и дефлятор ВВП: в чём разница

Второй показатель инфляции в макроэкономике - дефлятор ВВП, отношение номинального ВВП к реальному:

$\text{Дефлятор} = \frac{\text{ВВП}_{\text{ном}}}{\text{ВВП}_{\text{реал}}} \cdot 100\%.$

Пусть в 2024 году номинальный ВВП равен 140 млрд руб., а реальный в ценах 2021 года - 100 млрд руб. Тогда дефлятор равен $140 : 100 \cdot 100\% = 140{,}0\%$ против ИПЦ в 132,8%. Расхождение в 7 процентных пунктов не ошибка, у показателей разный охват и разные веса.

Практический вывод: ИПЦ измеряет удорожание жизни для потребителя и потому используется для индексации пенсий и зарплат, а дефлятор описывает изменение цен во всей экономике и нужен при пересчёте ВВП из номинального в реальный. Целевой ориентир центрального банка тоже задан по ИПЦ - подробнее в материале про таргетирование инфляции.

Частые ошибки

• Сложение годовых процентов. 15% + 10% + 5% даёт 30%, а верный ответ - 32,8%. Темпы инфляции перемножаются в виде коэффициентов, потому что каждый следующий год растёт уже подорожавший уровень цен.
• Разность индексов вместо темпа прироста. $126{,}5 - 115{,}0 = 11{,}5$ - это процентные пункты, а не инфляция. Инфляция за 2023 год равна $11{,}5 : 115{,}0 = 10{,}0\%$, то есть делить нужно на индекс предыдущего года.
• Индекс принимают за инфляцию. ИПЦ 132,8% не означает роста цен на 132,8%. Прирост равен индексу минус 100%, то есть 32,8%.
• Плавающая корзина. Если в каждом году брать разные количества товаров, получится не ИПЦ, а смесь изменения цен и изменения потребления. Количества фиксируются на уровне базового года.
• Среднее арифметическое темпов. $(15 + 10 + 5) : 3 = 10\%$ завышает результат: средняя годовая инфляция равна 9,9% и считается как корень третьей степени из накопленного коэффициента.
• Дефлятор вместо ИПЦ. Задача про потребительскую корзину решается через фиксированные веса; подставлять туда номинальный и реальный ВВП нельзя, это другой показатель.

FAQ

Что делать, если в условии даны не суммы, а цены и количества товаров? Сначала считается стоимость корзины по каждому году как сумма произведений цен на фиксированные количества базового периода, затем всё идёт по шагам 2 и 3. Результат совпадёт с агрегатным индексом Ласпейреса.

Как найти инфляцию, если известны только два значения ИПЦ? Разделить поздний индекс на ранний и вычесть единицу. Для 126,5% и 132,8% получится $132{,}8 : 126{,}5 = 1{,}05$, то есть 5% за год. Промежуточная стоимость корзины для этого не нужна.

Почему официальная инфляция ниже ощущаемой? ИПЦ усредняет цены по всей корзине, включая товары длительного пользования и услуги, которые дорожают медленно, а домохозяйство запоминает частые покупки - продукты и топливо. Кроме того, реальная структура расходов конкретной семьи отличается от весов в общей корзине.

Может ли ИПЦ быть меньше 100%? Да, если цены к базовому году в среднем снизились. Это дефляция, для России она нехарактерна, но в задачах встречается, и тогда темп инфляции получается отрицательным.

Коротко

1. Зафиксировать корзину и выбрать базовый год: его индекс равен 100%.
2. Посчитать ИПЦ каждого года как $\text{ИПЦ}_t = \dfrac{C_t}{C_0} \cdot 100\%$ - здесь 115,0%, 126,5% и 132,8%.
3. Перевести индексы в годовую инфляцию: $\pi_t = \dfrac{\text{ИПЦ}_t}{\text{ИПЦ}_{t-1}} - 1$, то есть 15,0%, 10,0% и 5,0%.
4. Накопленная инфляция - индекс последнего года минус 100%, здесь 32,8%; средняя годовая - корень степени, равной числу лет, из накопленного коэффициента, здесь 9,9%.
5. Не путать ИПЦ с дефлятором ВВП: первый считается по фиксированной корзине потребителя, второй по всем товарам ВВП с текущими весами.