Как рассчитать реальный ВВП: решение по шагам

Дано: номинальный ВВП по годам - 2021: 100 млрд руб., 2022: 121, 2023: 138, 2024: 156; дефлятор ВВП к ценам 2021 года - 100,0%, 110,0%, 115,0% и 120,0%. Найти: реальный ВВП в постоянных ценах 2021 года и годовые темпы его роста.

Метод в одну строку: номинальный ВВП делится на дефлятор, потому что дефлятор и есть та часть роста, которую дали цены, а не выпуск. Ответ: реальный ВВП равен 100,0; 110,0; 120,0 и 130,0 млрд руб., темпы роста составили 10,0%, 9,1% и 8,3%, за три года физический объём производства вырос на 30,0% при росте номинального ВВП на 56,0%. Калькулятор сверху пересчитает тот же ряд под другие суммы и другой год постоянных цен.

Решение по шагам

Дано. Два ряда: стоимостная оценка выпуска в текущих ценах каждого года и индекс цен всего произведённого продукта, приведённый к одной базе.

Шаг 1. Понять, что именно убирает дефлятор. Номинальный ВВП измерен в ценах своего же года, поэтому его рост смешивает две причины: выпустили больше товаров и подорожал каждый товар. Дефлятор показывает, во сколько раз изменились цены всего произведённого продукта относительно базового года. Деление на него оставляет только физический объём - это и называется реальным ВВП.

Шаг 2. Реальный ВВП каждого года. Формула следует прямо из определения дефлятора:

$\text{ВВП}_{\text{реал}} = \frac{\text{ВВП}_{\text{ном}}}{\text{Дефлятор}} \cdot 100\%.$

Подставляем числа таблицы:

$$\begin{aligned} \text{ВВП}_{2021} &= \frac{100}{100{,}0} \cdot 100 = 100{,}0 \text{ млрд руб.}, \\ \text{ВВП}_{2022} &= \frac{121}{110{,}0} \cdot 100 = 110{,}0 \text{ млрд руб.}, \\ \text{ВВП}_{2023} &= \frac{138}{115{,}0} \cdot 100 = 120{,}0 \text{ млрд руб.}, \\ \text{ВВП}_{2024} &= \frac{156}{120{,}0} \cdot 100 = 130{,}0 \text{ млрд руб.} \end{aligned}$$

В базовом году номинальный и реальный ВВП совпали - так и должно быть, ведь цены базового года сравниваются сами с собой. Все четыре величины теперь выражены в одних деньгах, в рублях 2021 года, и их уже можно сравнивать между собой.

Шаг 3. Годовые темпы роста реального ВВП. Темп роста считается по соседним годам как отношение уровней, а не как разность:

$T_t = \frac{\text{ВВП}_{\text{реал},\,t}}{\text{ВВП}_{\text{реал},\,t-1}} \cdot 100\%.$

Получаем по годам:

$$\begin{aligned} T_{2022} &= \frac{110{,}0}{100{,}0} \cdot 100\% = 110{,}0\% \;\Rightarrow\; +10{,}0\%, \\ T_{2023} &= \frac{120{,}0}{110{,}0} \cdot 100\% = 109{,}1\% \;\Rightarrow\; +9{,}1\%, \\ T_{2024} &= \frac{130{,}0}{120{,}0} \cdot 100\% = 108{,}3\% \;\Rightarrow\; +8{,}3\%. \end{aligned}$$

Экономика растёт, но всё медленнее: прибавка каждый год одна и та же в абсолютном выражении, 10 млрд руб., а база сравнения увеличивается. Общая логика расчёта здесь та же, что в задаче про темпы роста ряда динамики, только уровни ряда предварительно очищены от цен.

Шаг 4. Накопленный рост и среднегодовой темп. За весь период физический объём вырос с 100,0 до 130,0 млрд руб.:

$T_{\text{накоп}} = \frac{130{,}0}{100{,}0} \cdot 100\% - 100\% = 30{,}0\%.$

Среднегодовой темп берётся средней геометрической, а не арифметической, потому что коэффициенты роста перемножаются:

$\bar{T} = \left( \sqrt[3]{1{,}300} - 1 \right) \cdot 100\% = (1{,}0914 - 1) \cdot 100\% = 9{,}1\%.$

Шаг 5. Проверка тождеством. Индекс номинального ВВП всегда равен произведению индекса физического объёма на индекс цен. За три года номинальный ВВП вырос в $156 : 100 = 1{,}56$ раза, и это должно сойтись:

$1{,}300 \cdot 1{,}200 = 1{,}560.$

Сходится, значит арифметика верна. Такая же проверка работает и по отдельному году: за 2023 год номинальный ВВП вырос на 14,0%, цены - на 4,5%, и $1{,}091 \cdot 1{,}045 = 1{,}140$.

Ответ. Реальный ВВП в ценах 2021 года: 100,0; 110,0; 120,0 и 130,0 млрд руб. Темпы роста реального ВВП: 10,0%, 9,1% и 8,3%. Накопленный рост физического объёма за три года - 30,0% при среднегодовом темпе 9,1%. Номинальный ВВП за тот же период вырос на 56,0%, то есть больше половины видимого прироста дали не товары, а цены.

Формула и откуда она берётся

Дефлятор не выдуманный делитель, а обычный индекс цен, только с очень широким охватом. По определению реальный ВВП - это выпуск отчётного года, оценённый в ценах базового:

$\text{ВВП}_{\text{реал},\,t} = \sum p_0 q_t, \qquad \text{ВВП}_{\text{ном},\,t} = \sum p_t q_t.$

Отношение этих сумм и есть дефлятор:

$\text{Дефлятор}_t = \frac{\sum p_t q_t}{\sum p_0 q_t} \cdot 100\%.$

Веса здесь - объёмы отчётного периода $q_t$, поэтому дефлятор строится по формуле агрегатного индекса цен Пааше, а не Ласпейреса, где веса берутся из базового года. Разбор обеих формул и их сравнение вынесены в отдельный материал про агрегатный индекс цен Ласпейреса, здесь они не повторяются.

Из записи через суммы видно, почему деление номинального ВВП на дефлятор возвращает именно $\sum p_0 q_t$: числитель и знаменатель сокращаются. Сам номинальный ВВП при этом может быть получен любым из трёх способов - производственным, по доходам или по расходам, они разобраны в статье про методы расчёта ВВП. Для пересчёта в постоянные цены важно лишь то, что на входе стоимостная оценка в текущих ценах.

Если дефлятор не дан: расчёт через цены и объёмы

Второй тип условия - вместо готового индекса даны цены и физические объёмы. Пусть в упрощённой экономике два товара, и в 2024 году произведено 2 млрд единиц первого и 1 млрд единиц второго:

Номинальный ВВП считается в ценах своего года, реальный - в ценах базового, объёмы в обоих случаях берутся отчётные:

$$\begin{aligned} \text{ВВП}_{\text{ном}} &= 2 \cdot 50 + 1 \cdot 56 = 156 \text{ млрд руб.}, \\ \text{ВВП}_{\text{реал}} &= 2 \cdot 40 + 1 \cdot 50 = 130 \text{ млрд руб.}, \\ \text{Дефлятор} &= \frac{156}{130} \cdot 100\% = 120{,}0\%. \end{aligned}$$

Получились ровно те числа, что стояли в исходной таблице за 2024 год. Это и есть смысл первого способа: когда дефлятор дан готовым, статистическое ведомство уже проделало это суммирование по всей номенклатуре товаров и услуг.

Смена базового года: что меняется, а что нет

Базовый год выбирается произвольно, и от этого выбора зависят уровни реального ВВП, но не темпы его роста. Чтобы перевести ряд в цены 2022 года, весь дефлятор делится на своё значение за 2022 год, то есть на 110:

$\text{ВВП}_{\text{реал},\,t} = \text{ВВП}_{\text{ном},\,t} \cdot \frac{\text{Дефлятор}_{2022}}{\text{Дефлятор}_t}.$

Ряд превращается в 110,0; 121,0; 132,0 и 143,0 млрд руб. Числа стали крупнее, потому что цены 2022 года выше цен 2021 года на 10%. А темпы роста не сдвинулись ни на десятую: $121{,}0 : 110{,}0 = 1{,}100$, $132{,}0 : 121{,}0 = 1{,}091$, $143{,}0 : 132{,}0 = 1{,}083$. Причина простая: базовый дефлятор входит во все уровни ряда одним и тем же множителем и при делении соседних лет сокращается. Переключатель года постоянных цен в калькуляторе сверху показывает это на графике.

Отсюда практическое правило: уровни реального ВВП из разных источников сравнивать нельзя, пока не проверено, в ценах какого года они посчитаны. Именно поэтому в статистических сборниках рядом с показателем всегда стоит оговорка вида «в постоянных ценах 2021 года».

Частые ошибки

• Вычитание инфляции из номинального прироста. Номинальный ВВП вырос на 56,0%, цены - на 20,0%, но реальный рост не равен 36%. Индексы делятся, а не вычитаются: $1{,}56 : 1{,}20 = 1{,}30$, то есть 30,0%. Приближённое вычитание годится только для малых процентов.
• Умножение вместо деления. Запись $156 \cdot 1{,}2 = 187{,}2$ даёт реальный ВВП больше номинального при растущих ценах, чего быть не может. При дефляторе выше 100% реальный ВВП всегда меньше номинального.
• Потерянная сотня. Дефлятор дан в процентах, поэтому либо делят на 120 и умножают на 100, либо делят на коэффициент 1,20. Деление 156 на 120 без домножения даёт 1,3 вместо 130,0 млрд руб.
• Цепной дефлятор принят за базисный. Если в условии стоит 104,5% за 2023 год, это рост цен к 2022 году, а не к 2021-му. Деление $138 : 1{,}045 = 132{,}1$ даёт бессмыслицу вместо 120,0 млрд руб.
• Дефлятор подменён индексом потребительских цен. ИПЦ считается по фиксированной корзине домохозяйства и учитывает импорт, дефлятор охватывает весь произведённый продукт с текущими весами. Разница показателей разобрана в задаче про расчёт индекса потребительских цен.
• Сравнение уровней в разных базах. 130,0 млрд руб. в ценах 2021 года и 143,0 млрд руб. в ценах 2022 года - это один и тот же физический объём выпуска, а не рост на 10%.

FAQ

Что делать, если дефлятор дан к предыдущему году, а не к базовому? Цепные индексы нужно перемножить нарастающим итогом. Для ряда 110,0%, 104,5% и 104,3% получится $1{,}100$, $1{,}100 \cdot 1{,}045 = 1{,}150$ и $1{,}150 \cdot 1{,}043 = 1{,}200$, то есть базисный дефлятор 110,0%, 115,0% и 120,0% - ровно данные условия.

Может ли реальный ВВП расти, когда номинальный падает? Да, при снижении цен. Если в следующем году номинальный ВВП упадёт до 150 млрд руб., а дефлятор - до 110,0%, реальный ВВП составит $150 : 1{,}10 = 136{,}4$ млрд руб. против 130,0 годом раньше, то есть выпуск вырастет почти на 5% на фоне падения стоимостной оценки.

Чем реальный ВВП отличается от ВВП по паритету покупательной способности? Реальный ВВП убирает изменение цен во времени внутри одной страны, а пересчёт по паритету покупательной способности убирает разницу уровней цен между странами. Первый нужен для динамики, второй - для сопоставлений между экономиками.

Почему темпы роста не зависят от выбранного базового года? Потому что смена базы умножает все уровни ряда на одну и ту же константу, которая при делении соседних лет сокращается. Меняются масштаб и подпись оси, содержательный вывод о динамике остаётся прежним.

Коротко

1. Выписать два ряда: номинальный ВВП по годам и дефлятор, приведённый к одной базе; цепные индексы предварительно перемножить.
2. Разделить номинальный ВВП на дефлятор: $121 : 1{,}10 = 110{,}0$ и так далее, получая ряд 100,0; 110,0; 120,0 и 130,0 млрд руб. в ценах 2021 года.
3. Найти темпы роста по соседним годам как отношение уровней: 10,0%, 9,1% и 8,3%.
4. Накопленный рост равен $130 : 100 = 1{,}30$, то есть 30,0%; среднегодовой темп - корень третьей степени из этого коэффициента, 9,1%.
5. Проверить тождеством $1{,}300 \cdot 1{,}200 = 1{,}560$: индекс физического объёма, умноженный на индекс цен, даёт индекс номинального ВВП.