Как составить функцию потребления: решение по шагам

Дано: две пары значений располагаемого дохода и потребления: $Yd_1 = 400$, $C_1 = 360$ и $Yd_2 = 600$, $C_2 = 500$ млрд руб. Найти: функцию потребления, MPC, APC и функцию сбережений.

Кейнсианская функция потребления линейна, поэтому двух точек хватает: наклон прямой даёт предельную склонность к потреблению, а свободный член - автономное потребление. Ответ: $C = 80 + 0{,}7 \cdot Yd$, MPC $= 0{,}7$, APC при доходе 600 равна $0{,}833$, функция сбережений $S = -80 + 0{,}3 \cdot Yd$. Калькулятор сверху пересчитает обе функции и график под твои числа, ниже - решение по шагам.

Решение по шагам

Дано. Два наблюдения за располагаемым доходом и потребительскими расходами:

Найти: уравнение $C = a + b \cdot Yd$, предельную и среднюю склонность к потреблению, функцию сбережений.

Шаг 1. Считаем предельную склонность к потреблению. Это наклон прямой: отношение прироста потребления к приросту дохода.

$$b = \text{MPC} = \frac{\Delta C}{\Delta Yd} = \frac{500 - 360}{600 - 400} = \frac{140}{200} = 0{,}7.$$

Из каждых дополнительных ста рублей дохода домохозяйства тратят семьдесят. Значение попало в интервал от нуля до единицы, как и требует теория, - это первая быстрая проверка того, что данные не перепутаны местами.

Шаг 2. Находим автономное потребление. Подставляем найденный наклон и любую из двух точек в уравнение прямой и выражаем свободный член:

$$a = C_1 - b \cdot Yd_1 = 360 - 0{,}7 \cdot 400 = 360 - 280 = 80 \text{ млрд руб.}$$

Восемьдесят миллиардов - это те расходы, которые экономика делает даже при нулевом текущем доходе: за счёт прошлых накоплений, кредита и продажи имущества.

Шаг 3. Записываем функцию потребления.

$$C = 80 + 0{,}7 \cdot Yd.$$

Проверяем подстановкой второй точки, которую в расчёте свободного члена не использовали: $80 + 0{,}7 \cdot 600 = 80 + 420 = 500$ млрд руб. Совпало с условием, значит прямая проведена через обе точки и арифметика верна.

Шаг 4. Средняя склонность к потреблению. APC - это доля дохода, которая уходит на потребление, то есть отношение уровней, а не приростов:

$$\text{APC}_1 = \frac{360}{400} = 0{,}9, \qquad \text{APC}_2 = \frac{500}{600} \approx 0{,}833.$$

С ростом дохода средняя склонность падает, хотя предельная остаётся постоянной. Это и есть главное следствие модели: автономная часть расходов размывается по всё большему доходу.

Шаг 5. Строим функцию сбережений. Сбережения - остаток дохода после потребления, поэтому вычитаем одну функцию из другой:

$$S = Yd - C = Yd - (80 + 0{,}7 \cdot Yd) = -80 + 0{,}3 \cdot Yd.$$

Предельная склонность к сбережению равна $\text{MPS} = 1 - 0{,}7 = 0{,}3$. Проверка по точкам: $S_1 = -80 + 0{,}3 \cdot 400 = 40$ и $S_2 = -80 + 0{,}3 \cdot 600 = 100$ млрд руб., что совпадает с прямой разностью $400 - 360$ и $600 - 500$.

Ответ: $C = 80 + 0{,}7 \cdot Yd$; MPC $= 0{,}7$; APC равна $0{,}9$ при доходе 400 и $0{,}833$ при доходе 600; $S = -80 + 0{,}3 \cdot Yd$, MPS $= 0{,}3$.

Формула и откуда она берётся

Функция потребления Кейнса в общем виде записывается так:

$$C = a + b \cdot Yd, \qquad 0 < b < 1, \quad a > 0,$$

где $a$ - автономное потребление, $b$ - предельная склонность к потреблению, $Yd$ - располагаемый доход, то есть доход после налогов и трансфертов. Если в задаче дан не располагаемый, а личный или национальный доход, его сначала приводят к располагаемому по цепочке счетов; как это делается, разобрано в задаче про личный доход.

Ограничение $0 < b < 1$ Кейнс называл основным психологическим законом: люди увеличивают потребление вслед за доходом, но не на всю прибавку. Именно поэтому часть прироста дохода оседает в сбережениях, и именно поэтому работает мультипликатор: коэффициент $1 / (1 - b)$ при нашем $b = 0{,}7$ равен примерно $3{,}33$. Рост автономных расходов на единицу поднимает равновесный выпуск втрое с лишним - этот механизм лежит в основе кривой IS в модели IS-LM.

Слагаемое $a$ отвечает за расходы, не связанные с текущим доходом. Оно не означает, что при нулевом доходе люди действительно тратят восемьдесят миллиардов: это математическое продолжение прямой за пределы наблюдаемого диапазона. Линейная форма - упрощение, и оно работает в коротком периоде на умеренном интервале доходов.

Функция сбережений выводится автоматически, её не надо искать отдельно. Из тождества $Yd = C + S$ следует $S = -a + (1 - b) \cdot Yd$: свободный член меняет знак, а наклон дополняет MPC до единицы. Отсюда полезное правило самопроверки: $\text{MPC} + \text{MPS} = 1$ всегда, при любых числах условия.

Линия 45 градусов и пороговый доход

На графике сверху пунктирная прямая - это биссектриса $C = Yd$, множество точек, где расходы в точности равны доходу. Пересечение функции потребления с биссектрисой даёт пороговый доход, при котором сбережения обнуляются:

$$80 + 0{,}7 \cdot Yd = Yd \quad \Rightarrow \quad 0{,}3 \cdot Yd = 80 \quad \Rightarrow \quad Yd \approx 266{,}7 \text{ млрд руб.}$$

Слева от этой точки прямая потребления идёт выше биссектрисы: домохозяйства тратят больше, чем зарабатывают, и сбережения отрицательны. При доходе 200 млрд потребление равно $80 + 140 = 220$ млрд, а сбережения составляют минус 20 млрд - экономика проедает накопленное. Справа от порога картина обратная, и разрыв между линиями растёт ровно со скоростью MPS.

Переключи режим калькулятора на сбережения - и увидишь ту же точку как пересечение прямой $S$ с горизонтальной осью. Это один и тот же факт, показанный в двух системах координат, и на экзамене удобно проверять ответ вторым способом.

Если данные заданы иначе

Дана таблица из нескольких уровней дохода. Считай MPC по соседним строкам как отношение приростов. Если значения совпадают, функция линейна и подходит любая пара точек; если нет, берут крайние точки или оценивают наклон методом наименьших квадратов.

Дана функция сбережений. Переворачивай тождество: из $S = -60 + 0{,}25 \cdot Yd$ получаем $b = 1 - 0{,}25 = 0{,}75$ и $a = 60$, то есть $C = 60 + 0{,}75 \cdot Yd$.

Даны APC и уровень дохода. Потребление восстанавливается как $C = \text{APC} \cdot Yd$, и задача сводится к разобранной выше: одна точка плюс известная MPC однозначно задают прямую.

Данные в процентах или с налогами. Сначала переведи доход в располагаемый: если ставка налога $t$, то $Yd = (1 - t) \cdot Y$, и функция от национального дохода примет вид $C = a + b \cdot (1 - t) \cdot Y$ с более пологим наклоном. Учти, что долгосрочная связь потребления с доходом устроена иначе - об этом гипотеза перманентного дохода Фридмена.

Частые ошибки

• Считают MPC как отношение уровней $C / Yd$ вместо отношения приростов - получается средняя склонность, и автономное потребление выходит нулевым.
• Подставляют в формулу национальный или личный доход вместо располагаемого: наклон занижается, потому что часть дохода уходит в налоги.
• Теряют знак минус в функции сбережений. Свободный член там всегда противоположен автономному потреблению: $a = 80$ даёт $-80$, а не $+80$.
• Проверяют уравнение по той же точке, из которой находили $a$: такая проверка сойдётся всегда. Подставлять надо вторую точку.
• Путают пороговый доход с точкой, где потребление равно автономному: нулевые сбережения означают $C = Yd$, а не $C = a$.
• Получают $b > 1$ и не замечают этого. Значит приросты перепутаны местами или в условии не потребление, а совокупные расходы вместе с инвестициями.

FAQ

Чем MPC отличается от APC? Предельная склонность показывает, какая доля дополнительного рубля идёт на потребление, и равна наклону прямой. Средняя показывает, какая доля всего дохода тратится, и равна отношению координат точки. У линейной функции с положительным $a$ средняя всегда больше предельной и убывает с ростом дохода.

Может ли автономное потребление быть отрицательным? В учебной задаче - да, если по данным прямая пересекает ось ниже нуля. Экономического смысла у такого результата немного: обычно это признак того, что точки взяты из разных периодов или в данных есть ошибка.

Сколько точек нужно, чтобы составить функцию? Для линейной модели достаточно двух: через них проходит единственная прямая. Если точек больше и они не лежат на одной прямой, наклон оценивают регрессией, а не по крайним значениям.

Как функция потребления связана с равновесным выпуском? Она задаёт главный компонент совокупного спроса. Вместе с инвестициями, поведение которых описывает модель акселератора, она определяет положение кривой планируемых расходов и через мультипликатор $1 / (1 - b)$ - равновесный ВВП.

Коротко

1. Найди наклон по приростам: $b = \Delta C / \Delta Yd = 140 / 200 = 0{,}7$.
2. Подставь любую точку и выдели свободный член: $a = 360 - 0{,}7 \cdot 400 = 80$.
3. Запиши функцию $C = 80 + 0{,}7 \cdot Yd$ и проверь её по второй точке: $80 + 0{,}7 \cdot 600 = 500$.
4. Среднюю склонность считай как отношение уровней: $0{,}9$ при доходе 400 и $0{,}833$ при доходе 600.
5. Сбережения получи вычитанием: $S = -80 + 0{,}3 \cdot Yd$, MPS $= 0{,}3$, нулевые сбережения при доходе около $266{,}7$ млрд руб.