Как найти равновесный доход: решение по шагам

Дано: функция потребления $C = 200 + 0{,}75 \cdot (Y - T)$, инвестиции $I = 300$, государственные закупки $G = 400$, аккордный налог $T = 200$ млрд руб. Найти: равновесный доход.

Равновесный доход в кейнсианской модели ищут из условия «доход равен плановым расходам», то есть из уравнения $Y = C + I + G$. После подстановки функции потребления остаётся линейное уравнение с одним неизвестным, и ответ получается сразу: $Y^* = 3000$ млрд руб., мультипликатор автономных расходов равен 4. Калькулятор сверху строит крест Кейнса под любые параметры, ниже разбираем расчёт по шагам.

Решение по шагам

Дано.

Найти: равновесный доход $Y^*$ и мультипликатор расходов $m$.

Шаг 1. Выразить потребление через доход. Домохозяйства тратят не весь доход, а только располагаемый: из выпуска сначала уходит налог. Располагаемый доход равен $Y_d = Y - T = Y - 200$, подставляем его в функцию потребления и раскрываем скобки:

$$C = 200 + 0{,}75 \cdot (Y - 200) = 200 - 150 + 0{,}75 Y = 50 + 0{,}75 Y$$

Аккордный налог срезал автономное потребление на $0{,}75 \cdot 200 = 150$ млрд руб. Это важная деталь: налог уменьшает не весь доход, а только ту его часть, которую люди собирались потратить.

Шаг 2. Собрать функцию плановых расходов. Складываем потребление, инвестиции и государственные закупки. Экономика закрытая, чистого экспорта в условии нет:

$$AE = C + I + G = (50 + 0{,}75 Y) + 300 + 400 = 750 + 0{,}75 Y$$

Число 750 - это автономные расходы $A$: сколько в экономике потратят даже при нулевом доходе. Коэффициент 0,75 показывает, на сколько растут расходы при росте дохода на единицу.

Шаг 3. Приравнять доход и плановые расходы. Равновесие означает, что произведённый продукт полностью выкуплен, запасы на складах не меняются:

$$\begin{aligned} Y &= 750 + 0{,}75 Y, \\ Y - 0{,}75 Y &= 750, \\ 0{,}25 Y &= 750, \\ Y^* &= \frac{750}{0{,}25} = 3000. \end{aligned}$$

Шаг 4. Найти мультипликатор. Коэффициент при автономных расходах и есть мультипликатор:

$$m = \frac{1}{1 - MPC} = \frac{1}{1 - 0{,}75} = 4$$

Ответ: равновесный доход составляет 3000 млрд руб., мультипликатор автономных расходов равен 4.

Формула и откуда она берётся

Общее решение задачи записывается одной строкой, и её стоит держать в голове на контрольной:

$$Y^* = \frac{A}{1 - MPC}, \qquad A = C_0 - MPC \cdot T + I + G$$

Здесь $C_0$ - автономное потребление, $MPC$ - предельная склонность к потреблению, $I$ - автономные инвестиции, $G$ - государственные закупки, $T$ - аккордный налог. В нашем примере $A = 200 - 150 + 300 + 400 = 750$ млрд руб., и деление на $1 - 0{,}75$ даёт те же 3000.

Откуда берётся деление на $1 - MPC$, видно из логики цепной реакции. Государство добавило рубль расходов: он стал чьим-то доходом, из него потратили 0,75 рубля, из этих денег - ещё 0,5625 рубля и так далее. Сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем $MPC$ равна $1 / (1 - MPC)$, то есть исходный рубль оборачивается четырьмя рублями дохода. Именно поэтому в кейнсианской модели выпуск определяется спросом: пока есть незагруженные мощности, фирмы отвечают на дополнительный спрос производством, а не ценами.

Графически это крест Кейнса: биссектриса $Y = AE$ и более пологая линия плановых расходов пересекаются ровно в одной точке. Если выпуск больше равновесного, товары не выкупаются и растут запасы, фирмы сокращают производство; если меньше - запасы тают и производство расширяется. Модель работает при фиксированных ценах и постоянной ставке процента; как только ставка начинает реагировать на выпуск, задача переходит в модель IS-LM, где кривая IS собирается как раз из таких равновесий.

Проверка через изъятия и инъекции

У задачи есть второй метод решения, и он же служит проверкой. Равновесие можно записать не через расходы, а через баланс потоков: то, что изымается из кругооборота (сбережения и налоги), должно равняться тому, что в него вливается (инвестиции и госзакупки).

Сначала выводим функцию сбережений. Сбережения - это остаток располагаемого дохода после потребления:

$$S = Y_d - C = (Y - 200) - (50 + 0{,}75 Y) = 0{,}25 Y - 250$$

Теперь приравниваем изъятия и инъекции:

$$\begin{aligned} S + T &= I + G, \\ 0{,}25 Y - 250 + 200 &= 300 + 400, \\ 0{,}25 Y &= 750, \\ Y^* &= 3000. \end{aligned}$$

Ответ сошёлся. Подставим равновесный доход в исходные функции и убедимся в согласованности чисел: $Y_d = 3000 - 200 = 2800$, потребление $C = 200 + 0{,}75 \cdot 2800 = 2300$, сбережения $S = 2800 - 2300 = 500$ млрд руб. Изъятия $500 + 200 = 700$, инъекции $300 + 400 = 700$ - равенство выполняется. Заодно видно, что $C + I + G = 2300 + 300 + 400 = 3000$, то есть доход действительно равен расходам, и это тот самый способ подсчёта ВВП, который в методах расчёта ВВП называют методом конечного использования.

Как отвечает доход на изменение расходов и налогов

Вторая часть большинства задач звучит так: что будет с равновесным доходом, если государство изменит бюджетную политику. Считать заново весь крест не нужно, достаточно умножить шок на нужный мультипликатор.

Рост госзакупок на 100 млрд руб. даёт прирост дохода $\Delta Y = m \cdot \Delta G = 4 \cdot 100 = 400$, новый равновесный доход равен 3400 млрд руб. Проверка прямым счётом: $AE = 850 + 0{,}75 Y$, откуда $Y = 850 / 0{,}25 = 3400$.

С налогами мультипликатор другой и по знаку, и по величине:

$$m_T = -\frac{MPC}{1 - MPC} = -\frac{0{,}75}{0{,}25} = -3$$

Повышение аккордного налога на 100 млрд руб. снижает доход на 300, а не на 400, потому что налог бьёт по расходам не напрямую: часть его люди гасят за счёт сокращения сбережений. Если же государство увеличивает и закупки, и налоги на одинаковые 100 млрд руб., эффекты не гасят друг друга полностью: $\Delta Y = 400 - 300 = 100$. Мультипликатор сбалансированного бюджета равен единице - это теорема Хаавельмо, и её любят спрашивать сразу после основной задачи.

Отсюда же считается рецессионный разрыв. Если потенциальный выпуск равен 3400 млрд руб., а равновесный - 3000, то недостаёт не 400 млрд руб. расходов, а всего $400 / 4 = 100$ млрд руб. автономных затрат. Обратная величина, инфляционный разрыв, считается так же, но со знаком минус. Похожие переходы от одного агрегата к другому разбираются в задаче про личный доход, а пересчёт результата в постоянные цены - в разборе реального ВВП.

Если налог пропорционален доходу

Условие часто меняют: вместо аккордного налога задают ставку $t$ от дохода, например $t = 0{,}2$. Тогда налог перестаёт быть автономным и уходит в наклон линии расходов. Располагаемый доход равен $Y_d = Y \cdot (1 - t) = 0{,}8 Y$, а функция плановых расходов принимает вид:

$$AE = 200 + 0{,}75 \cdot 0{,}8 Y + 300 + 400 = 900 + 0{,}6 Y$$

Равновесие: $0{,}4 Y = 900$, то есть $Y^* = 2250$ млрд руб. Мультипликатор теперь считается по другой формуле и заметно меньше:

$$m = \frac{1}{1 - MPC \cdot (1 - t)} = \frac{1}{1 - 0{,}6} = 2{,}5$$

Экономический смысл прост: пропорциональный налог работает встроенным стабилизатором. Каждый дополнительный рубль дохода на пятую часть уходит в бюджет и не попадает в следующий виток расходов, поэтому и подъёмы, и спады получаются слабее. Переключатель в калькуляторе сверху показывает это наглядно: линия плановых расходов становится положе, а точка пересечения с биссектрисой съезжает влево. Инвестиции в обеих версиях модели остаются автономными; зависимость инвестиций от прироста дохода - это уже модель акселератора.

Частые ошибки

• Забыть про налог в функции потребления. Если подставить $C = 200 + 0{,}75 Y$ вместо $0{,}75 (Y - T)$, автономные расходы окажутся 900, а ответ - 3600 вместо 3000.
• Умножить налог на единицу вместо MPC. Аккордный налог уменьшает автономные расходы на $MPC \cdot T = 150$, а не на все 200: четверть налога оплачена сокращением сбережений.
• Перепутать мультипликаторы расходов и налогов. Первый равен $1 / (1 - MPC) = 4$, второй $-MPC / (1 - MPC) = -3$. Одинаковые по модулю изменения $G$ и $T$ дают разный по величине эффект.
• Взять формулу с аккордным налогом при пропорциональном. При ставке $t$ налог сидит в наклоне, и знаменатель становится $1 - MPC (1 - t)$; формула $1 / (1 - MPC)$ даст завышенный доход.
• Считать рецессионный разрыв равным разнице выпусков. Разрыв - это недостающие автономные расходы, то есть разницу 400 нужно ещё разделить на мультипликатор.
• Приравнять сбережения инвестициям, забыв госсектор. Условие $S = I$ верно только для экономики без государства; с бюджетом работает $S + T = I + G$.

FAQ

Чем равновесный доход отличается от потенциального ВВП? Равновесный доход - это выпуск, при котором планы покупателей совпадают с производством; он может установиться при любой загрузке мощностей. Потенциальный ВВП - выпуск при полной занятости ресурсов. Расхождение между ними и есть рецессионный или инфляционный разрыв.

Почему в равновесии сбережения равны инвестициям? Строго говоря, в модели с государством равны не они, а изъятия и инъекции: $S + T = I + G$. Это следствие основного уравнения, а не отдельное условие: вычтите из обеих частей $Y = C + I + G$ потребление и налоги и получите то же самое.

Что делать, если в условии есть чистый экспорт? Добавьте $Xn$ в автономные расходы, а если импорт зависит от дохода ($Im = Im_0 + MPM \cdot Y$), предельная склонность к импорту уменьшит наклон: знаменатель станет $1 - MPC + MPM$, а мультипликатор снизится.

Всегда ли мультипликатор больше единицы? В кейнсианской модели с $0 < MPC < 1$ да: знаменатель меньше единицы. Но чем больше утечек в модели (налоговая ставка, импорт, сбережения), тем ближе мультипликатор к единице.

Коротко

1. Подставьте располагаемый доход в функцию потребления: $C = 200 + 0{,}75 (Y - 200) = 50 + 0{,}75 Y$.
2. Соберите плановые расходы $AE = C + I + G = 750 + 0{,}75 Y$ и приравняйте их доходу.
3. Решите уравнение $0{,}25 Y = 750$: равновесный доход равен 3000 млрд руб.
4. Мультипликатор расходов $m = 1 / (1 - 0{,}75) = 4$, налоговый мультипликатор равен $-3$.
5. Проверьте ответ через изъятия и инъекции: $S + T = 500 + 200 = 700 = I + G$.