Как построить градуировочный график: решение по шагам

Дано: серия стандартных растворов железа с концентрациями 0,2; 0,4; 0,6; 0,8 и 1,0 мг/л, их оптические плотности 0,112; 0,213; 0,318; 0,415 и 0,522 (сульфосалициловая кислота, кювета 5 см). Найти: уравнение градуировочной прямой и концентрацию пробы, у которой $A_x = 0{,}365$.

Прямую проводят не на глаз, а методом наименьших квадратов: он даёт угловой коэффициент $b$ и свободный член $a$, после чего концентрация пробы находится обратной подстановкой $c_x = (A_x - a)/b$. Ответ: $A = 0{,}5110\,c + 0{,}0094$ при $R^2 = 0{,}9998$, концентрация пробы $c_x = 0{,}70$ мг/л. Калькулятор сверху уже открыт с этими числами: подвинь любую плотность и увидишь, как поедут наклон и ответ.

Решение по шагам

Шаг 1. Расчётная таблица. Метод наименьших квадратов требует четыре суммы: по концентрациям, по плотностям, по квадратам концентраций и по произведениям. Считаем их прямо в таблице, чтобы ничего не потерять.

Шаг 2. Средние и суммы отклонений. Через средние значения формулы МНК записываются короче всего:

$$\begin{aligned} \bar{c} &= \frac{3{,}00}{5} = 0{,}600, \qquad \bar{A} = \frac{1{,}580}{5} = 0{,}316, \\ S_{cc} &= \sum c_i^2 - n\bar{c}^{\,2} = 2{,}20 - 5 \cdot 0{,}600^2 = 0{,}400, \\ S_{cA} &= \sum c_i A_i - n\bar{c}\bar{A} = 1{,}1524 - 5 \cdot 0{,}600 \cdot 0{,}316 = 0{,}2044. \end{aligned}$$

Шаг 3. Угловой коэффициент и свободный член. Наклон - это отношение смешанной суммы к сумме квадратов по концентрации, а свободный член достраивается так, чтобы прямая прошла через точку средних:

$$b = \frac{S_{cA}}{S_{cc}} = \frac{0{,}2044}{0{,}400} = 0{,}5110, \qquad a = \bar{A} - b\,\bar{c} = 0{,}316 - 0{,}5110 \cdot 0{,}600 = 0{,}0094.$$

Градуировочное уравнение готово: $A = 0{,}5110\,c + 0{,}0094$, где $c$ выражена в мг/л.

Шаг 4. Проверка линейности. Без этой проверки график сдавать нельзя: по трём-пяти точкам прямая «получится» всегда, вопрос только в том, насколько она описывает данные. Нужна ещё сумма квадратов отклонений по оптической плотности:

$$S_{AA} = \sum A_i^2 - n\bar{A}^{\,2} = 0{,}603746 - 5 \cdot 0{,}316^2 = 0{,}104466,$$ $$R^2 = \frac{S_{cA}^2}{S_{cc}\,S_{AA}} = \frac{0{,}2044^2}{0{,}400 \cdot 0{,}104466} = 0{,}9998, \qquad r = 0{,}99992.$$

Для фотометрической градуировки допустимым обычно считают $r \ge 0{,}999$, так что линейность подтверждена.

Шаг 5. Концентрация пробы. Показание $A_x = 0{,}365$ попадает в середину рабочего участка, между третьим и четвёртым стандартами, - значит, экстраполировать не придётся:

$$c_x = \frac{A_x - a}{b} = \frac{0{,}365 - 0{,}0094}{0{,}5110} = \frac{0{,}3556}{0{,}5110} = 0{,}696 \ \text{мг/л}.$$

Ответ: $A = 0{,}5110\,c + 0{,}0094$; $R^2 = 0{,}9998$; концентрация пробы $c_x = 0{,}70$ мг/л.

Геометрически последний шаг выглядит так: от значения 0,365 на оси ординат ведут горизонталь до пересечения с прямой, а из точки пересечения опускают вертикаль на ось концентраций. На графике в калькуляторе обе пунктирные линии проведены за тебя. Результат 0,70 мг/л более чем вдвое превышает норматив по железу для питьевой воды (0,3 мг/л), так что вывод лабораторного протокола очевиден.

Формула и откуда она берётся

Метод наименьших квадратов подбирает $a$ и $b$ так, чтобы сумма квадратов вертикальных отклонений точек от прямой была минимальной:

$$Q(a, b) = \sum_{i=1}^{n} \left(A_i - a - b\,c_i\right)^2 \to \min.$$

Приравнивая нулю частные производные по $a$ и по $b$, получают систему нормальных уравнений, решение которой и записано в шаге 3; подробный вывод разобран в статье про нормальную систему МНК. Важно, что минимизируются отклонения именно по оси $A$: концентрации стандартов считаются заданными точно, а случайная ошибка сидит в измеренном сигнале.

Физический смысл наклона даёт закон Бугера-Ламберта-Бера $A = \varepsilon c l$, разобранный в статье про спектрофотометрию. Если концентрация выражена в мг/л, а не в моль/л, связь такая:

$$b = \frac{\varepsilon\, l}{1000\,M} \quad \Rightarrow \quad \varepsilon = \frac{b \cdot 1000\,M}{l} = \frac{0{,}5110 \cdot 1000 \cdot 55{,}85}{5} \approx 5{,}7 \cdot 10^{3}.$$

Размерность $\varepsilon$ - л/(моль·см), и полученные 5700 хорошо согласуются со справочным значением для сульфосалицилата железа. Это ещё одна проверка: если молярный коэффициент вышел на порядок больше или меньше табличного, где-то потеряна кювета или разбавление.

Как оценить надёжность градуировки

Одного $R^2$ мало - он растёт даже при систематическом изгибе. Смотри на остатки, то есть на разности измеренных и рассчитанных плотностей: у нас это $+0{,}0004$, $-0{,}0008$, $+0{,}0020$, $-0{,}0032$ и $+0{,}0016$. Знаки чередуются без закономерности, а величина не превышает 0,003 - картина случайного разброса. Если бы остатки шли по дуге (минус, плюс, плюс, минус), это означало бы отклонение от закона Бера, и верхние стандарты пришлось бы отбросить.

Стандартное отклонение точек от прямой и погрешности коэффициентов считают по остаткам:

$$s_{A} = \sqrt{\frac{\sum \left(A_i - a - b c_i\right)^2}{n - 2}} = \sqrt{\frac{1{,}76 \cdot 10^{-5}}{3}} = 0{,}0024, \qquad s_b = \frac{s_A}{\sqrt{S_{cc}}} = 0{,}0038.$$

Отсюда доверительный интервал концентрации пробы при $P = 0{,}95$ и $t = 3{,}18$ получается равным $\pm 0{,}017$ мг/л, то есть около 2,4 % относительной погрешности. Как раскладывать такую погрешность на абсолютную и относительную, разобрано в задаче про абсолютную погрешность. Предел обнаружения по критерию трёх сигма даёт $3 s_a / b \approx 0{,}015$ мг/л - ниже этой концентрации градуировкой пользоваться нельзя.

Другие варианты условия

Прямая через начало координат. Иногда требуют модель $A = b c$ без свободного члена. Тогда $b_0 = \sum c_i A_i / \sum c_i^2 = 1{,}1524 / 2{,}20 = 0{,}5238$, а $c_x = 0{,}365 / 0{,}5238 = 0{,}697$ мг/л. Разница с полным МНК - одна тысячная мг/л, то есть практически ничто. Так бывает не всегда: заметный свободный член сигнализирует о непрозрачном фоне или плохо подобранной холостой пробе, и тогда принудительный ноль испортит результат.

Проба была разбавлена. Если аликвоту 10,0 мл довели до 50,0 мл, найденную по графику концентрацию умножают на коэффициент разбавления 5. Пересчёт результата в проценты и граммы на литр - тема разбора про массовую долю раствора.

Сигнал не оптическая плотность. Схема не меняется: в пламенной фотометрии по оси ординат откладывают интенсивность излучения линии, в ВЭЖХ - площадь пика. Формулы МНК те же, меняется только физический смысл наклона.

Матрица пробы мешает. Когда посторонние компоненты меняют сигнал, градуировка по чистым стандартам даёт систематическую ошибку, и вместо неё применяют метод стандартных добавок.

Частые ошибки

• Прямую проводят карандашом по линейке «на глазок» вместо расчёта МНК, а потом снимают с неё коэффициенты - итог не воспроизводится и расходится с ответом на 3-5 %.
• Точку с нулевой концентрацией берут как измеренную и включают в регрессию, хотя холостую пробу уже вычли при настройке прибора: сигнал холостого раствора попадает в расчёт дважды.
• Пробу считают по прямой, продолженной за последний стандарт. Экстраполяция градуировки запрещена: выше $A \approx 1$ линейность рушится из-за отклонений от закона Бера.
• Путают, что на что делить: пишут $c_x = b\,(A_x - a)$ вместо деления на наклон. Проверка размерности спасает - наклон измеряется в единицах $A$ на мг/л.
• Считают $r$, а сообщают как $R^2$ (или наоборот). У нас $r = 0{,}99992$, а $R^2 = 0{,}9998$ - числа разные.
• Забывают про толщину кюветы при пересчёте наклона в $\varepsilon$: для 5 см результат впятеро отличается от расчёта для стандартного 1 см.

FAQ

Сколько стандартов нужно для градуировочного графика? Минимум пять точек плюс холостая проба; три точки не позволяют увидеть отклонение от линейности, потому что через них прямая проходит почти всегда. Точки распределяют равномерно по диапазону, а определяемая проба должна попасть примерно в середину.

Обязательно ли прямая проходит через ноль? Теоретически да, практически почти никогда: остаточное поглощение реактивов и рассеяние дают маленький положительный сдвиг. Свободный член оставляют в модели, если он превышает свою погрешность в 2-3 раза - в нашем случае $a = 0{,}0094$ при $s_a = 0{,}0025$, то есть сдвиг реален, хотя на ответ почти не влияет.

Какой коэффициент корреляции считается хорошим? Для фотометрии ориентир $r \ge 0{,}999$, для хроматографии и пламенной фотометрии обычно требуют $r \ge 0{,}995$. Но решает не только $r$: график с явной кривизной может дать $r = 0{,}998$ и всё равно быть непригодным.

Что делать, если график загнулся вверху? Отбросить верхние точки и сузить рабочий диапазон либо разбавить пробу так, чтобы её плотность попала на линейный участок. Загиб градуировки - не повод подгонять прямую через все точки сразу.

Коротко

1. Свести данные в таблицу и посчитать четыре суммы: $\sum c_i$, $\sum A_i$, $\sum c_i^2$, $\sum c_i A_i$.
2. Найти средние и суммы отклонений $S_{cc}$ и $S_{cA}$, затем наклон $b = S_{cA}/S_{cc}$ и свободный член $a = \bar{A} - b\bar{c}$.
3. Проверить линейность: $R^2$, коэффициент корреляции и знаки остатков; для фотометрии нужен $r \ge 0{,}999$.
4. Концентрацию пробы получить обратной подстановкой $c_x = (A_x - a)/b$, следя, чтобы $A_x$ лежала внутри диапазона стандартов.
5. Для условия задачи: $A = 0{,}5110\,c + 0{,}0094$, $R^2 = 0{,}9998$, $c_x = 0{,}70$ мг/л.