Как рассчитать массовую долю раствора: решение задачи

Дано: раствор 1 массой 150 г с массовой долей соли 20 %, раствор 2 массой 250 г с массовой долей 8 %. Найти: массовую долю соли в смеси и массу воды, которую нужно долить до 10 %. Задача решается через массу растворённого вещества: проценты складывать нельзя, складываются граммы соли и граммы раствора. Ответ: массовая доля смеси 12,5 %, долить нужно 100 г воды. Калькулятор сверху пересчитает оба этапа под любые свои числа.

Решение по шагам

Шаг 1. Масса соли в каждом растворе. Массовая доля показывает, какую часть массы раствора занимает вещество, поэтому масса соли получается умножением доли на массу раствора:

$$\begin{aligned} m_1(\text{соли}) &= 0{,}20 \cdot 150 = 30 \text{ г}, \\ m_2(\text{соли}) &= 0{,}08 \cdot 250 = 20 \text{ г}. \end{aligned}$$

Проценты перед умножением переводятся в доли единицы: 20 % - это 0,20, а 8 % - это 0,08. Если оставить в формуле сами проценты, масса соли вырастет в сто раз.

Шаг 2. Масса смеси и масса соли в ней. При сливании растворов складываются обе величины по отдельности - и массы растворов, и массы растворённого вещества:

$$m(\text{р-ра}) = 150 + 250 = 400 \text{ г}, \qquad m(\text{соли}) = 30 + 20 = 50 \text{ г}.$$

Шаг 3. Массовая доля смеси. Делим массу соли на массу всего раствора и переводим в проценты:

$$w = \frac{m(\text{соли})}{m(\text{р-ра})} = \frac{50}{400} = 0{,}125 = 12{,}5\ \%.$$

Обрати внимание: среднее арифметическое исходных долей дало бы $(20 + 8)/2 = 14\ \%$ - это неверно, потому что растворов взято не поровну. Доля смеси всегда ближе к тому раствору, которого больше по массе, и 12,5 % ближе к 8 %, чем к 20 %.

Шаг 4. Разбавление до 10 %. При доливании воды масса соли не меняется - остаются те же 50 г. Меняется только масса раствора, и её можно найти прямо из целевой доли:

$$m_{\text{кон}}(\text{р-ра}) = \frac{m(\text{соли})}{w_{\text{цел}}} = \frac{50}{0{,}10} = 500 \text{ г}.$$

Значит, долить нужно разницу между конечной и начальной массой раствора:

$$m(\text{воды}) = 500 - 400 = 100 \text{ г}.$$

Проверка. Подставляем обратно: $50 / 500 = 0{,}10$, то есть ровно 10 %. Обратная подстановка занимает десять секунд и ловит почти любую арифметическую ошибку.

Ответ: массовая доля соли в смеси равна 12,5 %; чтобы получить 10-процентный раствор, к смеси нужно долить 100 г воды.

Формула и откуда она берётся

Массовая доля растворённого вещества - это отношение массы вещества к массе всего раствора, включая растворитель:

$$w = \frac{m(\text{в-ва})}{m(\text{р-ра})}, \qquad m(\text{р-ра}) = m(\text{в-ва}) + m(\text{растворителя}).$$

Величина безразмерная и лежит между 0 и 1; умножение на 100 % переводит её в привычные проценты. Из той же формулы выражаются две другие неизвестные: $m(\text{в-ва}) = w \cdot m(\text{р-ра})$ и $m(\text{р-ра}) = m(\text{в-ва}) / w$ - именно ими решались шаги 1 и 4.

Почему при смешивании складываются граммы, а не проценты? Потому что аддитивна только масса: соль из первого стакана и соль из второго физически оказываются в одном сосуде, и её общее количество равно сумме. Доля же - это отношение, а отношения не складываются: сумма дробей не равна дроби сумм. Подробный разбор самой величины и её вариантов записи есть в статье массовая доля растворённого вещества.

Отсюда универсальная формула смешения двух растворов, которая объединяет шаги 1–3 в одну строку:

$$w = \frac{m_1 w_1 + m_2 w_2}{m_1 + m_2} = \frac{150 \cdot 0{,}2 + 250 \cdot 0{,}08}{400} = 0{,}125.$$

Правило креста: тот же ответ за один шаг

Обратную задачу - в каком отношении смешать 20-процентный и 8-процентный растворы, чтобы вышло 12,5 %, - быстрее решать правилом креста. Целевая доля пишется в центре, исходные по краям, а по диагоналям считаются модули разностей:

Разность, посчитанная от одного раствора, относится к массе другого - в этом весь смысл диагоналей. Получается отношение $m_1 : m_2 = 4{,}5 : 7{,}5 = 3 : 5$, что для 400 г смеси даёт 150 г и 250 г - ровно исходные данные задачи. Правило креста удобно как быстрая проверка ответа: если прямой расчёт и крест разошлись, ошибка в арифметике.

Разбавление, упаривание и добавка сухого вещества

Второй этап задачи меняется в зависимости от того, что делают со смесью. Во всех трёх случаях исходное - те же 400 г раствора с 50 г соли, но формула разная:

Первые две строки устроены одинаково: соль никуда не девается, поэтому конечная масса раствора считается как $m(\text{соли}) / w_{\text{цел}}$, а искомая масса воды - это разность с исходными 400 г. Знак разности сам подсказывает операцию: положительная - воду доливают, отрицательная - выпаривают.

Третья строка сложнее, потому что сухая добавка увеличивает сразу и массу вещества, и массу раствора. Из уравнения $(50 + x)/(400 + x) = 0{,}2$ получается $x = 37{,}5$ г. Заметно, что поднять долю до 20 % дешевле досыпкой соли, чем выпариванием 150 г воды, - это типичный вывод школьных задач на выбор способа. Переключатель в калькуляторе сверху считает все три варианта, а столбики показывают, как перераспределяются масса соли и масса воды.

Частые ошибки

• Складывать проценты. $(20 + 8)/2 = 14\ \%$ верно только при равных массах растворов; в общем случае доля смеси - средневзвешенная по массам.
• Делить на массу растворителя, а не раствора. В знаменателе стоит масса всего раствора: 400 г, а не 350 г воды. Ошибка даёт завышенную долю 14,3 % вместо 12,5 %.
• Забывать переводить проценты в доли. В формулу подставляется 0,20, а не 20, иначе масса соли выходит равной 3000 г.
• Менять массу вещества при разбавлении. Вода добавляет массу только раствору; соли по-прежнему 50 г, и это главная опора всего четвёртого шага.
• Приписывать разность своему раствору в правиле креста. Разность 7,5, посчитанная от 20 %, задаёт массу восьмипроцентного раствора, а не двадцатипроцентного.
• Игнорировать плотность, когда дан объём. Если условие звучит «300 мл раствора плотностью 1,1 г/мл», сначала считают массу $300 \cdot 1{,}1 = 330$ г и только потом подставляют её в формулу.

FAQ

Чем массовая доля отличается от молярной концентрации? Массовая доля - отношение масс, безразмерная величина в долях или процентах. Молярная концентрация - это количество вещества в молях на литр раствора, у неё есть размерность моль/л и она требует молярной массы и объёма. Переход между ними идёт через плотность раствора; разбор обоих способов есть в материале про задачи на концентрацию соли.

Как быть, если смешивают три раствора и больше? Формула не меняется по сути: в числитель идёт сумма масс вещества из всех порций, в знаменатель - сумма масс всех растворов. Чистая вода в такой сумме учитывается как раствор с долей 0, а безводная соль - как раствор с долей 1.

Можно ли считать в процентах, не переводя в доли? Да, если проценты стоят и в числителе, и в знаменателе последовательно: $w = (150 \cdot 20 + 250 \cdot 8)/400 = 12{,}5\ \%$. Опасность в том, что при переходе к разбавлению легко забыть про множитель 100, поэтому надёжнее один раз перевести в доли единицы и вести весь расчёт в них.

Почему получилась доля больше 100 %? Это верный признак, что масса вещества случайно попала в знаменатель вместо массы раствора, либо проценты не переведены в доли на шаге 1. Массовая доля физически не может превышать единицу: вещества в растворе не бывает больше, чем самого раствора.

Коротко

1. Массовая доля равна $w = m(\text{в-ва}) / m(\text{р-ра})$, где в знаменателе масса всего раствора, а не растворителя.
2. При смешивании складываются массы вещества и массы растворов по отдельности: 30 + 20 = 50 г соли и 150 + 250 = 400 г раствора.
3. Массовая доля смеси: $50 / 400 = 0{,}125$, то есть 12,5 % - средневзвешенное значение, а не среднее арифметическое.
4. При доливании воды масса соли постоянна, поэтому конечная масса раствора равна $50 / 0{,}10 = 500$ г, а долить нужно 500 − 400 = 100 г воды.
5. Ответ: 12,5 % в смеси и 100 г воды для разбавления до 10 %; проверка обратной подстановкой и правилом креста даёт те же числа.