Концентрация соли в растворе: задачи и формулы

Задачи на концентрацию соли в растворе встречаются в школьной химии, на ОГЭ и ЕГЭ, а также в университетских курсах аналитической химии. Суть всегда одна: нужно связать количество растворённого вещества с объёмом или массой раствора и получить числовую меру «насыщенности». Самая распространённая мера - массовая доля $w$, чуть реже - молярная концентрация $c$. Ниже разберём обе формулы, типовые задачи - смешение, разбавление, выпаривание - и покажем, где студенты допускают ошибки чаще всего. Используйте калькулятор ниже, чтобы сразу проверить числа для вашей задачи.

Массовая доля и молярная концентрация: формулы

Два главных способа выразить концентрацию соли - через массу и через количество молей.

Массовая доля $w$ - безразмерная величина (или в процентах), показывающая, какую долю от массы раствора занимает растворённое вещество:

$$w = \frac{m_{\text{в-ва}}}{m_{\text{р-ра}}}, \quad w\% = w \times 100.$$

Масса раствора равна сумме масс вещества и растворителя:

$$m_{\text{р-ра}} = m_{\text{в-ва}} + m_{\text{р-ля}}.$$

Молярная концентрация $c$ показывает число молей вещества в одном литре раствора:

$$c = \frac{n}{V}, \quad \text{где } n = \frac{m_{\text{в-ва}}}{M}.$$

Здесь $M$ - молярная масса соли (г/моль), $V$ - объём раствора в литрах. Связь между массовой долей и молярной концентрацией:

$$c = \frac{w \cdot \rho \cdot 1000}{M},$$

где $\rho$ - плотность раствора (г/мл). Для разбавленных водных растворов $\rho \approx 1{,}00$ г/мл, и формула упрощается.

Рассчитать для своей задачи

Задачи на смешение двух растворов

Смешение - самый частый тип задач на концентрацию. Пусть берут $m_1$ г раствора с массовой долей $w_1$ и $m_2$ г раствора с массовой долей $w_2$. Масса соли в каждом сосуде: $m_{\text{в-ва},1} = w_1 \cdot m_1$ и $m_{\text{в-ва},2} = w_2 \cdot m_2$. После смешения:

$$w_{\text{смеси}} = \frac{w_1 m_1 + w_2 m_2}{m_1 + m_2}.$$

Результат всегда лежит между $w_1$ и $w_2$ - это хорошая проверка ответа. Если смешивают раствор соли с чистым растворителем ($w_2 = 0$), формула превращается в формулу разбавления:

$$w_{\text{разб}} = \frac{w_1 m_1}{m_1 + m_{\text{воды}}}.$$

Пример. Смешали 200 г 15%-го раствора NaCl и 300 г 5%-го раствора. Найти массовую долю в смеси.

$$w = \frac{0{,}15 \cdot 200 + 0{,}05 \cdot 300}{200 + 300} = \frac{30 + 15}{500} = \frac{45}{500} = 0{,}09 = 9\%.$$

Рассчитать для своей задачи

Задачи на разбавление и выпаривание

Разбавление - добавляют воду, масса вещества остаётся прежней, масса раствора растёт:

$$m_{\text{в-ва}} = w_1 \cdot m_1 = w_2 \cdot (m_1 + m_{\text{воды}}).$$

Из этого уравнения легко найти любой неизвестный параметр.

Выпаривание - удаляют воду, масса вещества неизменна, масса раствора уменьшается:

$$w_2 = \frac{w_1 \cdot m_1}{m_1 - m_{\text{вып}}},$$

где $m_{\text{вып}}$ - масса испарившейся воды. Это задача на «сгущение» раствора. Полное выпаривание ($m_{\text{вып}} = m_1 \cdot (1 - w_1)$) оставляет только кристаллическую соль.

Задача с кристаллизацией. При охлаждении раствора часть соли выкристаллизовывается. Если соль безводная ($\text{NaCl}$, $\text{KCl}$), масса вещества в кристаллах вычитается из массы вещества в растворе. Если соль кристаллогидрат ($\text{CuSO}_4 \cdot 5\text{H}_2\text{O}$), нужно учитывать «связанную» воду: на каждый моль $\text{CuSO}_4$ в кристаллах уходит 5 молей $\text{H}_2\text{O}$ из растворителя.

Молярная концентрация в задачах

Молярная концентрация удобна, когда условие содержит объём раствора, а не массу.

Пример. В 250 мл раствора растворено 11,7 г NaCl ($M = 58{,}5$ г/моль). Найти молярную концентрацию.

$$n = \frac{11{,}7}{58{,}5} = 0{,}2 \text{ моль}, \quad c = \frac{0{,}2}{0{,}250} = 0{,}8 \text{ моль/л}.$$

Пересчёт в массовую долю. Если плотность раствора $\rho = 1{,}05$ г/мл, то:

$$w = \frac{c \cdot M}{\rho \cdot 1000} = \frac{0{,}8 \cdot 58{,}5}{1{,}05 \cdot 1000} = \frac{46{,}8}{1050} \approx 0{,}0446 = 4{,}5\%.$$

Для задач ЕГЭ достаточно держать в памяти: пересчёт между $c$ и $w$ требует плотности раствора.

Правило смешения (правило рычага)

Когда нужно найти соотношение масс двух растворов для получения заданной концентрации, используют правило рычага:

$$\frac{m_1}{m_2} = \frac{w_2 - w_{\text{цель}}}{w_{\text{цель}} - w_1}, \quad w_1 < w_{\text{цель}} < w_2.$$

Это то же уравнение смешения, переписанное как пропорция. Наглядная интерпретация: на «числовой оси» концентраций $w_{\text{цель}}$ делит отрезок $[w_1, w_2]$ на части, обратно пропорциональные взятым массам.

Пример. Нужно получить 1 кг 10%-го раствора NaCl из 5%-го и 20%-го растворов.

$$\frac{m_1}{m_2} = \frac{20 - 10}{10 - 5} = \frac{10}{5} = 2.$$

Значит, 5%-го раствора нужно взять в два раза больше: $m_1 = \tfrac{2}{3} \cdot 1000 \approx 667$ г, $m_2 \approx 333$ г.

Частые ошибки

• Путают массу раствора и массу растворителя. Массовая доля считается от массы раствора ($m_{\text{в-ва}} + m_{\text{р-ля}}$), а не от массы воды отдельно. Особенно часто путают при выпаривании.
• Не переводят проценты в доли. Если $w = 15\%$, в формуле нужно подставлять $0{,}15$, а не $15$.
• Игнорируют кристаллизационную воду. При задачах с $\text{CuSO}_4 \cdot 5\text{H}_2\text{O}$ или $\text{Na}_2\text{SO}_4 \cdot 10\text{H}_2\text{O}$ вода, уходящая на кристаллогидрат, убывает из растворителя - масса раствора-остатка уменьшается сильнее, чем кажется.
• Не проверяют, что результат между граничными значениями. При смешении $w_{\text{смеси}}$ обязана лежать между $w_1$ и $w_2$. Если вышло иначе - ошибка в знаке или в постановке.
• Путают молярную концентрацию и молярность по массе. $c$ (моль/л) требует объём раствора, а не растворителя; не подставляйте туда $V_{\text{воды}}$.

FAQ

Как найти массу соли, если дана массовая доля и масса раствора? Прямая формула: $m_{\text{в-ва}} = w \cdot m_{\text{р-ра}}$. Например, в 400 г 12%-го раствора NaCl содержится $0{,}12 \cdot 400 = 48$ г соли.

Можно ли смешивать объёмы вместо масс при смешении растворов? Строго говоря, нельзя: объёмы при смешении не складываются аддитивно из-за изменения плотности. В задачах ЕГЭ плотности обычно считают одинаковыми (≈ 1 г/мл) для разбавленных растворов, тогда массу заменяют объёмом в тех же единицах. В точных расчётах используйте массы.

Как решать задачи на выпаривание до кристаллизации? Запишите систему: пусть выкристаллизовалось $x$ г соли. Масса вещества в остатке = $m_{\text{в-ва,нач}} - x$, масса растворителя в остатке = $m_{\text{р-ля,нач}}$ (или меньше, если соль - кристаллогидрат). Концентрация остатка задана условием (насыщенный раствор при данной температуре, $w_{\text{нас}}$). Из уравнения $w_{\text{нас}} = \tfrac{m_{\text{в-ва,нач}} - x}{m_{\text{р-ра,нач}} - x - m_{\text{выпар}}}$ находите $x$.

Коротко

Задачи на концентрацию соли в растворе сводятся к трём операциям: составить уравнение сохранения массы вещества, учесть изменение массы раствора (при добавлении воды, выпаривании или кристаллизации) и применить определение $w = m_{\text{в-ва}} / m_{\text{р-ра}}$ или $c = n / V$. Правило рычага ускоряет задачи на смешение: нужные соотношения масс читаются как обратные плечи на числовой оси концентраций. Для задач с кристаллогидратами отдельно считайте «связанную» воду, которая переходит в кристаллы и убывает из растворителя.