Как найти титр раствора: решение задачи

Дано: навеска безводного карбоната натрия $\text{Na}_2\text{CO}_3$ массой $m = 1{,}3250$ г, мерная колба на $V = 250{,}0$ мл, молярная масса $M = 105{,}99$ г/моль. Раствор готовят как титрант для соляной кислоты, реакция идёт до углекислого газа, поэтому число эквивалентности $z = 2$. Найти: титр раствора, его молярную и нормальную концентрацию и титр по определяемому веществу $\text{HCl}$.

Титр получают одним делением массы навески на объём колбы, а все остальные концентрации выводятся из него умножением или делением на молярную массу. Ответ: $T = 0{,}005300$ г/мл, $c = 0{,}05000$ моль/л, $c_{\text{н}} = 0{,}1000$ моль-экв/л, $T(\text{Na}_2\text{CO}_3/\text{HCl}) = 0{,}003646$ г/мл.

Калькулятор сверху открыт ровно на этих числах. График в нём показывает главный смысл титра: это наклон прямой «масса против объёма», поэтому масса вещества в любой порции раствора находится простым умножением. Подвинь навеску или смени колбу - обе прямые повернутся, а числа в панели пересчитаются.

Решение по шагам

Шаг 1. Титр раствора. Титр по определению - это масса растворённого вещества, приходящаяся на один миллилитр раствора. Делим навеску на вместимость колбы:

$$T = \frac{m}{V} = \frac{1{,}3250}{250{,}0} = 0{,}005300 \ \text{г/мл}$$

Обрати внимание на разметку ответа: в титриметрии его записывают с шестью знаками после запятой, и нули в конце не лишние. Они показывают, что титр найден с той же точностью, с какой взвешена навеска на аналитических весах, то есть до десятых долей миллиграмма.

Шаг 2. Молярная концентрация. В одном литре раствора содержится в тысячу раз больше вещества, чем в миллилитре, а количество вещества получается делением массы на молярную:

$$c = \frac{1000\,T}{M} = \frac{1000 \cdot 0{,}005300}{105{,}99} \approx 0{,}05000 \ \text{моль/л}$$

Шаг 3. Нормальная концентрация. Здесь вместо молярной массы работает молярная масса эквивалента. Карбонат натрия в реакции с сильной кислотой принимает два протона, значит $z = 2$:

$$M_{\text{экв}} = \frac{M}{z} = \frac{105{,}99}{2} = 52{,}995 \ \text{г/моль}, \qquad c_{\text{н}} = \frac{1000\,T}{M_{\text{экв}}} = \frac{5{,}300}{52{,}995} \approx 0{,}1000 \ \text{моль-экв/л}$$

Соотношение $c_{\text{н}} = z\,c$ выполняется: $2 \cdot 0{,}05000 = 0{,}1000$. Эта проверка занимает секунду и сразу ловит перепутанное число эквивалентности.

Шаг 4. Титр по определяемому веществу. Теперь считаем, сколько граммов соляной кислоты нейтрализует один миллилитр нашего раствора. Эквиваленты реагируют один к одному, поэтому достаточно умножить нормальность на молярную массу эквивалента кислоты. У $\text{HCl}$ отдаётся один протон, $M_{\text{экв}} = 36{,}46$ г/моль:

$$T(\text{Na}_2\text{CO}_3/\text{HCl}) = \frac{c_{\text{н}} \cdot M_{\text{экв}}(\text{HCl})}{1000} = \frac{0{,}1000 \cdot 36{,}46}{1000} \approx 0{,}003646 \ \text{г/мл}$$

Ответ: $T = 0{,}005300$ г/мл, $c = 0{,}05000$ моль/л, $c_{\text{н}} = 0{,}1000$ моль-экв/л, титр по соляной кислоте $0{,}003646$ г/мл.

Формула и откуда она берётся

Основная формула короткая: $T = m/V$, где $m$ - масса растворённого вещества в граммах, $V$ - объём готового раствора в миллилитрах. Обе буквы относятся к раствору в мерной колбе после доведения до метки, а не к воде, которую ты наливал.

Такая единица выглядит непривычно рядом с молями, но она возникла из практики. Бюретка отмеряет миллилитры, а результат анализа нужен в граммах, поэтому лаборанту удобнее держать коэффициент пересчёта «граммы на миллилитр» и умножать на него показание бюретки. Никакой молярной массы в этот момент вспоминать не надо.

Связь с молярной концентрацией выводится в одну строку. По определению $c = n/V_{\text{л}}$, где $n = m/M$, а $V_{\text{л}} = V/1000$. Подстановка даёт $c = 1000\,m/(M V) = 1000\,T/M$. Обратный переход такой же: $T = c M / 1000$.

Нормальная концентрация отличается от молярной только тем, что вместо молярной массы стоит молярная масса эквивалента. Что такое эквивалент и как выбрать число $z$ для кислоты, основания, соли или окислителя, подробно разобрано в задаче про эквивалент вещества; здесь важно лишь то, что $z$ определяется конкретной реакцией, а не формулой вещества.

Титр по определяемому веществу обозначают двойным символом: $T(\text{A}/\text{B})$, где A - вещество титранта, B - определяемое. Читается это как «сколько граммов B отвечает одному миллилитру раствора A». Формула $T(\text{A}/\text{B}) = c_{\text{н}}(\text{A}) M_{\text{экв}}(\text{B})/1000$ работает потому, что в точке эквивалентности число эквивалентов титранта равно числу эквивалентов определяемого вещества.

Пересчёт при титровании

Ради этого титр по определяемому веществу и вводят. Пусть на титрование пробы соляной кислоты израсходовано $V_{\text{т}} = 18{,}40$ мл нашего раствора карбоната натрия. Масса кислоты в пробе получается одним умножением:

$$m(\text{HCl}) = T(\text{Na}_2\text{CO}_3/\text{HCl}) \cdot V_{\text{т}} = 0{,}003646 \cdot 18{,}40 \approx 0{,}06709 \ \text{г} = 67{,}09 \ \text{мг}$$

Проверим длинным путём, через эквиваленты. В израсходованном объёме содержится $n_{\text{экв}} = c_{\text{н}} V_{\text{т}}/1000 = 0{,}1000 \cdot 18{,}40/1000 = 1{,}840 \cdot 10^{-3}$ моль-экв карбоната. Столько же эквивалентов кислоты было в пробе, и их масса равна $1{,}840 \cdot 10^{-3} \cdot 36{,}46 \approx 0{,}06709$ г. Числа сошлись, значит титр по определяемому веществу посчитан верно.

Разница в трудозатратах и есть ответ на вопрос, зачем нужен титр. Длинный путь требует двух действий и памяти на молярные массы, короткий - одного умножения на показание бюретки. Когда за смену делают полсотни определений, это экономит не минуты, а часы. Как выглядит сам скачок в точке эквивалентности, показано в разборе кривой титрования сильной кислоты.

Если условие задано иначе

Титр редко дают в готовом виде: чаще в условии стоит другая характеристика раствора, и её нужно привести к $T$. Все переходы собраны в таблицу, объём везде в миллилитрах, массы в граммах.

Последняя строка часто встречается отдельным вопросом. Возьмём 25,00 мл нашего раствора и доведём в колбе до 250,0 мл: титр падает ровно в десять раз, до $0{,}000530$ г/мл, потому что та же масса карбоната распределилась по десятикратному объёму. Точно так же ведут себя молярная и нормальная концентрации.

Строка с массовой долей выручает, когда раствор готовили не из навески, а из концентрата по плотности. Пример: $\omega = 5{,}0$ % и $\rho = 1{,}034$ г/мл дают $T = 0{,}050 \cdot 1{,}034 = 0{,}0517$ г/мл. Здесь легко ошибиться, забыв перевести проценты в доли; подробный разбор таких пересчётов есть в задаче про массовую долю раствора.

Отдельный случай - раствор со стандарт-титром из ампулы или раствор, установленный по первичному стандарту. Тогда в паспорте стоит поправочный коэффициент $K$, и рабочий титр равен номинальному, умноженному на $K$: $T_{\text{раб}} = K T_{\text{ном}}$. Все дальнейшие расчёты идут уже с $T_{\text{раб}}$.

Частые ошибки

• Объём в литрах вместо миллилитров. Титр по определению привязан к миллилитру. Если подставить 0,2500 л, ответ выйдет в тысячу раз больше реального.
• Молярная масса вместо массы эквивалента. При переходе к нормальности делят на $M_{\text{экв}}$, а не на $M$. Признак ошибки: нормальность совпала с молярной при $z > 1$.
• Число эквивалентности выбрано по формуле вещества, а не по реакции. У карбоната натрия $z = 2$ только при титровании до углекислого газа; при титровании до гидрокарбоната $z = 1$, и все производные величины меняются вдвое.
• Путаница в порядке букв в $T(\text{A}/\text{B})$. Первым идёт вещество титранта, вторым - определяемое. Перестановка даёт титр другого раствора и другой ответ.
• Объём воды вместо объёма раствора. В колбу доливают до метки, и итоговый объём раствора не равен объёму добавленной воды.
• Потерянные значащие нули. Запись «0,0053 г/мл» формально верна, но в лабораторном журнале она занижает заявленную точность: навеску брали с четырьмя знаками, значит титр пишется как 0,005300.

FAQ

В чём измеряется титр и почему не в моль/л? В граммах на миллилитр. Единица историческая и практическая: бюретка даёт миллилитры, а навеску и результат взвешивают в граммах, поэтому коэффициент «грамм на миллилитр» позволяет получить ответ сразу, без молярных масс. Для расчётов по уравнениям реакций титр всё равно переводят в молярную или нормальную концентрацию.

Чем титр раствора отличается от титра по определяемому веществу? Обычный титр $T$ - это масса самого растворённого вещества в миллилитре раствора. Титр по определяемому веществу $T(\text{A}/\text{B})$ - масса другого вещества, которое этот миллилитр оттитрует. В нашей задаче первый равен 0,005300 г/мл, второй 0,003646 г/мл, и путать их нельзя.

Как найти титр, если навеска неточная? Никак: по неточной навеске титр вычислить нельзя, его устанавливают титрованием по первичному стандарту. Раствор готовят приблизительно, затем титруют им стандартное вещество и считают титр из объёма, пошедшего на титрование. Так поступают с кислотами, щелочами и перманганатом, которые нельзя взвесить в чистом виде.

Зависит ли титр от температуры? Да, но слабо. При нагревании раствор расширяется, объём растёт, и титр немного падает. Для точных работ мерную посуду калибруют при 20 градусах и при заметном отклонении вводят поправку; в учебных задачах температурой пренебрегают. Похожая аккуратность нужна при построении градуировочного графика, где систематика объёмов тоже искажает результат.

Коротко

1. Титр - масса растворённого вещества в одном миллилитре раствора: $T = m/V$, объём обязательно в миллилитрах.
2. Для навески 1,3250 г $\text{Na}_2\text{CO}_3$ в колбе на 250,0 мл титр равен 0,005300 г/мл.
3. Молярная концентрация $c = 1000\,T/M = 0{,}05000$ моль/л, нормальная $c_{\text{н}} = 1000\,T/M_{\text{экв}} = 0{,}1000$ моль-экв/л при $z = 2$.
4. Титр по определяемому веществу $T(\text{A}/\text{B}) = c_{\text{н}} M_{\text{экв}}(\text{B})/1000 = 0{,}003646$ г/мл для соляной кислоты.
5. Масса определяемого вещества в пробе - одно умножение: $m = T(\text{A}/\text{B}) \cdot V_{\text{т}} = 0{,}003646 \cdot 18{,}40 \approx 0{,}06709$ г.