Как определить гомозиготу: анализирующее скрещивание

Дано: у кроликов чёрная окраска (аллель $A$) доминирует над белой ($a$); чёрного кролика скрестили с белым и получили 12 чёрных крольчат, белых нет. Найти: гомозиготен ли чёрный родитель и насколько надёжен вывод.

Метод - анализирующее скрещивание: особь с неизвестным генотипом скрещивают с рецессивной гомозиготой $aa$. Гетерозигота дала бы примерно половину белых потомков, а 12 чёрных подряд выпали бы у неё с вероятностью $\left(\tfrac{1}{2}\right)^{12}$. Ответ: чёрный родитель гомозиготен, его генотип $AA$; вероятность ошибки $0{,}024\%$, надёжность вывода $99{,}98\%$. Калькулятор сверху пересчитает надёжность под другое число потомков и другой тип скрещивания.

Решение по шагам

Дано. Признак контролируется одной парой аллелей, доминирование полное:

Найти: генотип чёрного родителя и вероятность ошибки вывода.

Шаг 1. Понять, в чём вообще трудность. Доминантный аллель проявляется и в одном экземпляре, поэтому чёрными выглядят и гомозигота $AA$, и гетерозигота $Aa$. По внешнему виду их не отличить, генотип приходится восстанавливать по потомству.

Шаг 2. Подобрать партнёра для скрещивания. Берём белого кролика. Рецессивный признак проявляется только в гомозиготном состоянии, поэтому его генотип известен без всякой проверки: $aa$. Такой партнёр образует единственный тип гамет $a$ и ничего не маскирует - любой аллель, пришедший от испытуемой особи, сразу виден в фенотипе потомка.

Шаг 3. Расписать оба возможных исхода. У нас две конкурирующие гипотезы, и они дают разное расщепление:

$$\begin{aligned} AA \times aa &\rightarrow 100\%\ Aa \quad (\text{все потомки чёрные}), \\ Aa \times aa &\rightarrow 50\%\ Aa : 50\%\ aa \quad (\text{половина потомков белая}). \end{aligned}$$

Расщепление $1:1$ во втором случае - прямое следствие того, что гетерозигота даёт гаметы $A$ и $a$ поровну.

Шаг 4. Сопоставить с фактом. В помёте 12 чёрных крольчат и ни одного белого. Это в точности картина первой гипотезы. Но и вторая гипотеза формально не запрещена: гетерозигота могла бы «случайно» не дать ни одного белого потомка. Значит, нужно оценить, насколько такая случайность правдоподобна.

Шаг 5. Посчитать вероятность ошибки. Каждый крольчонок наследует аллели независимо от остальных, поэтому вероятности перемножаются:

$$P(12\ \text{чёрных} \mid Aa) = \left(\frac{1}{2}\right)^{12} = \frac{1}{4096} \approx 0{,}000244 = 0{,}024\%.$$

Шаг 6. Сделать вывод. Полученные $0{,}024\%$ намного меньше принятого в биологии порога $5\%$ и даже порога $1\%$. Гипотезу о гетерозиготности отвергаем.

Ответ. Чёрный кролик гомозиготен, генотип $AA$. Надёжность вывода $1 - \tfrac{1}{4096} \approx 99{,}98\%$, вероятность ошибки $0{,}024\%$. Если бы среди 12 крольчат оказался хотя бы один белый, ответ был бы противоположным и уже без всякой статистики: родитель $Aa$.

Формула надёжности и откуда она берётся

Пусть $p_{\text{рец}}$ - доля потомков с рецессивным фенотипом, которую даёт гетерозигота в выбранном скрещивании, а $n$ - число полученных потомков. Тогда вероятность того, что гетерозигота не даст ни одного рецессивного потомка, равна

$$P_{\text{ош}} = \left(1 - p_{\text{рец}}\right)^{n}, \qquad \text{надёжность} = 1 - P_{\text{ош}}.$$

Степень появляется из независимости: судьба каждого потомка решается отдельным актом расхождения гамет, а вероятность совместного наступления независимых событий - произведение вероятностей. Двенадцать одинаковых сомножителей и дают $\left(\tfrac{1}{2}\right)^{12}$.

Само значение $p_{\text{рец}}$ зависит от партнёра. При анализирующем скрещивании с $aa$ гетерозигота даёт расщепление $1:1$, то есть $p_{\text{рец}} = \tfrac{1}{2}$ - это самый быстрый способ. При самоопылении или скрещивании с такой же гетерозиготой расщепление $3:1$, и $p_{\text{рец}} = \tfrac{1}{4}$, поэтому потомков нужно заметно больше.

Обрати внимание на логику вывода: мы не доказываем гомозиготность напрямую, а показываем, что альтернатива слишком маловероятна. Абсолютной уверенности гибридологический метод не даёт никогда - только сколь угодно высокую надёжность.

Сколько потомков нужно получить

Подставим оба значения $p_{\text{рец}}$ в формулу и посмотрим, как быстро падает риск ошибки:

Отсюда рабочие ориентиры. Чтобы утверждать гомозиготность с надёжностью $95\%$, в анализирующем скрещивании хватает пяти потомков, а при самоопылении нужно одиннадцать. Для порога $99\%$ цифры вырастают до семи и семнадцати соответственно.

Практический смысл прост: если объект скрещивать с рецессивной гомозиготой нельзя (например, признак изучают у самоопылителя), готовься к втрое большему потомству. Двенадцать семян от самоопылённого растения дают всего $96{,}8\%$ надёжности - на грани приличия, тогда как двенадцать потомков от анализирующего скрещивания закрывают вопрос с запасом.

Доля гомозигот в популяции по Харди-Вайнбергу

Вторая версия того же вопроса звучит иначе: не «гомозиготна ли эта особь», а «какая доля особей в популяции гомозиготна». Здесь скрещивания не нужны, работает закон Харди-Вайнберга.

Пусть в популяции кроликов $16\%$ белых. Белые - единственный фенотип с известным генотипом, поэтому начинаем с них:

$$q^{2} = 0{,}16 \Rightarrow q = 0{,}4, \qquad p = 1 - q = 0{,}6.$$

Дальше считаем доли обоих оставшихся генотипов:

$$p^{2} = 0{,}36 \ (36\%\ AA), \qquad 2pq = 2 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}4 = 0{,}48 \ (48\%\ Aa).$$

Проверка: $0{,}36 + 0{,}48 + 0{,}16 = 1$. Теперь можно ответить и на более тонкий вопрос - какова доля гомозигот среди чёрных кроликов. Чёрных всего $36 + 48 = 84\%$, из них гомозиготных $36$, поэтому

$$\frac{0{,}36}{0{,}84} = \frac{3}{7} \approx 42{,}9\%.$$

То есть наугад взятый чёрный кролик оказывается гомозиготой примерно в $43\%$ случаев, а гетерозиготой - в $57\%$. Это и есть честная априорная оценка перед скрещиванием; после 12 чёрных потомков она пересчитывается по формуле Байеса и превращается в $99{,}97\%$.

Другие способы определить гомозиготность

Скрещивание - не единственный инструмент, и в части задач ответ получается быстрее.

По родословной. Если у особи с доминантным фенотипом есть родитель или потомок с рецессивным признаком, она гарантированно гетерозиготна: аллель $a$ она либо получила, либо передала. Никаких вероятностей, вывод строгий. На этом же приёме строится разбор задач на группы крови.

По типу доминирования. При неполном доминировании и кодоминировании гетерозигота отличается фенотипически: у ночной красавицы $AA$ красная, $Aa$ розовая, $aa$ белая. Тогда генотип читается прямо по внешнему виду, а анализирующее скрещивание не нужно вовсе.

Молекулярно. Аллель-специфичная ПЦР, анализ полиморфизма длин рестрикционных фрагментов и секвенирование читают оба аллеля напрямую. Метод даёт однозначный ответ без потомства и за сутки, поэтому в селекции и медицинской генетике вытеснил гибридологическую проверку. В учебных задачах его обычно только упоминают.

Отдельно стоит помнить про ловушки сцепления: если признак сцеплен с полом или с другим геном, схема анализирующего скрещивания меняется, и тогда полезен разбор сцепленного наследования и кроссинговера.

Частые ошибки

• Скрещивать с доминантной особью. Партнёр $AA$ или $Aa$ маскирует рецессивные аллели, и расщепление перестаёт быть информативным. Анализирующим скрещивание называют именно потому, что партнёр обязан быть $aa$.
• Считать один-два потомка доказательством. При $n = 1$ риск ошибки равен $50\%$, при $n = 2$ - $25\%$. Это не вывод, а подбрасывание монеты.
• Брать $\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}$ для самоопыления. Гетерозигота при самоопылении даёт расщепление $3:1$, рецессивных потомков ожидается $\tfrac{1}{4}$, поэтому в формулу идёт $\left(\tfrac{3}{4}\right)^{n}$.
• Складывать вероятности вместо умножения. Вероятности независимых событий перемножаются; сумма $12 \cdot \tfrac{1}{2} = 6$ смысла не имеет и сразу выдаёт ошибку.
• Объявлять вывод стопроцентным. Правильная формулировка - «гомозиготен с надёжностью $99{,}98\%$», а не «доказано, что $AA$».
• Применять Харди-Вайнберга к одной семье. Формула $p^{2} + 2pq + q^{2} = 1$ описывает большую панмиктическую популяцию, а не помёт из 12 крольчат.

FAQ

Чем анализирующее скрещивание отличается от возвратного? Возвратное (беккросс) - это скрещивание гибрида с любым из родителей. Анализирующее - частный случай, когда родитель гомозиготен по рецессивным аллелям. Всякое анализирующее является возвратным, но не наоборот.

Можно ли доказать гомозиготность на 100 процентов гибридологическим методом? Нет. Сколько бы доминантных потомков ни получилось, остаётся ненулевая вероятность, что гетерозигота просто не дала рецессивных. Стопроцентный ответ даёт только молекулярное генотипирование.

Как определить гомозиготу по рецессивному признаку? Определять нечего: рецессивный фенотип проявляется исключительно в гомозиготном состоянии, поэтому белый кролик, зелёный горошек и голубоглазый человек гомозиготны по определению.

Что делать, если потомков мало и белых нет? Честно указать достигнутую надёжность. Три чёрных потомка дают $87{,}5\%$ - этого мало, вывод формулируют как предварительный и добирают потомство.

Коротко

1. Гомозиготу $AA$ и гетерозиготу $Aa$ по доминантному фенотипу не различить, генотип восстанавливают по потомству.
2. Способ - анализирующее скрещивание с рецессивной гомозиготой $aa$: гомозигота даёт 100 % доминантных потомков, гетерозигота - расщепление $1:1$.
3. Появился хотя бы один рецессивный потомок - особь гетерозиготна, вывод строгий. Рецессивных нет - вывод вероятностный.
4. Вероятность ошибки считается как $\left(1 - p_{\text{рец}}\right)^{n}$: $\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}$ для скрещивания с $aa$ и $\left(\tfrac{3}{4}\right)^{n}$ для самоопыления.
5. В задаче про кроликов: 12 чёрных потомков дают риск ошибки $\left(\tfrac{1}{2}\right)^{12} = 0{,}024\%$, значит родитель $AA$ с надёжностью $99{,}98\%$.