Как вычислить индекс человеческого развития: ИЧР по шагам

Дано: ожидаемая продолжительность жизни при рождении 73,4 года; средняя продолжительность обучения взрослых 12,8 лет; ожидаемая продолжительность обучения детей 15,2 лет; валовой национальный доход на душу населения 27 800 долларов по ППС. Найти: индекс человеческого развития.

Считается он в два приёма: каждый исходный показатель нормируется по фиксированным границам ПРООН в шкалу от нуля до единицы, а три получившихся субиндекса сводятся средним геометрическим. Ответ: ИЧР = 0,840, это группа стран с очень высоким уровнем человеческого развития. Калькулятор сверху пересчитывает субиндексы под твои числа и показывает, что будет, если свернуть их средним арифметическим, как это делали до 2010 года.

Решение по шагам

Дано. Четыре исходных показателя:

Найти: субиндексы долголетия, образования и дохода, а затем сводный ИЧР.

Шаг 1. Субиндекс долголетия. Границы нормировки для продолжительности жизни фиксированы: 20 и 85 лет.

$$I_{\text{ж}} = \frac{LE - 20}{85 - 20} = \frac{73{,}4 - 20}{65} = \frac{53{,}4}{65} = 0{,}822.$$

Шаг 2. Субиндекс образования. Он собирается из двух частных индексов: фактической учёбы взрослых (потолок 15 лет) и ожидаемой учёбы сегодняшних детей (потолок 18 лет, то есть полный цикл до магистратуры). Минимум у обоих нулевой, поэтому деление идёт прямо на максимум:

$$\begin{aligned} I_{MYS} &= \frac{12{,}8}{15} = 0{,}853, \\ I_{EYS} &= \frac{15{,}2}{18} = 0{,}844, \\ I_{\text{о}} &= \frac{0{,}853 + 0{,}844}{2} = 0{,}849. \end{aligned}$$

Шаг 3. Субиндекс дохода. Нормируется не сам доход, а его натуральный логарифм; границы - 100 и 75 000 долларов по паритету покупательной способности:

$$I_{\text{д}} = \frac{\ln 27\,800 - \ln 100}{\ln 75\,000 - \ln 100} = \frac{10{,}2328 - 4{,}6052}{11{,}2252 - 4{,}6052} = \frac{5{,}6276}{6{,}6200} = 0{,}850.$$

Шаг 4. Свёртка трёх субиндексов. Сводный индекс - среднее геометрическое, то есть кубический корень из произведения:

$$HDI = \sqrt[3]{I_{\text{ж}} \cdot I_{\text{о}} \cdot I_{\text{д}}} = \sqrt[3]{0{,}822 \cdot 0{,}849 \cdot 0{,}850} = \sqrt[3]{0{,}5932} = 0{,}840.$$

Шаг 5. Проверка и группа. Любое среднее обязано лежать между наименьшим и наибольшим из усредняемых чисел: субиндексы уложились в коридор от 0,822 до 0,850, результат 0,840 внутри него - арифметика сошлась. Порог очень высокого развития - 0,800, и он пройден.

Ответ. Субиндекс долголетия 0,822, образования 0,849, дохода 0,850; индекс человеческого развития равен 0,840 - страна попадает в группу с очень высоким уровнем человеческого развития.

Формула ИЧР и откуда берутся границы нормировки

Все три субиндекса строятся одной и той же формулой линейной нормировки, которая переводит показатель в безразмерную шкалу от 0 до 1:

$$I = \frac{X - X_{\min}}{X_{\max} - X_{\min}}.$$

Границы (в отчётах ПРООН их называют goalposts) закреплены методикой и не пересчитываются каждый год - иначе индексы разных лет было бы нельзя сравнивать между собой:

Каждое число тут содержательно. Двадцать лет - тот уровень, ниже которого не опускалась ни одна учтённая статистикой популяция даже в годы эпидемий; 85 лет - реалистичный потолок для страны целиком, а не для отдельного долгожителя. Пятнадцать лет обучения взрослых соответствуют завершённому высшему образованию у всего населения, восемнадцать ожидаемых - полному циклу учёбы для ребёнка, который только пошёл в школу.

Если фактический показатель выходит за верхнюю границу, субиндекс не растёт дальше единицы, а обрезается: нефтяные экономики с ВНД выше 75 000 долларов получают ровно 1,000, и дальнейший рост дохода на индекс уже не влияет. Ползунки калькулятора работают так же.

Почему доход берут под логарифмом

Долголетие и образование входят в индекс линейно, а доход - через логарифм, и это не техническая деталь, а содержательное допущение об убывающей отдаче. Тысяча долларов, добавленная к годовому доходу в 1 500 долларов, меняет жизнь семьи целиком; та же тысяча при доходе в 60 000 долларов почти ничего не меняет. Логарифм как раз и означает, что одинаковый вклад в развитие даёт одинаковый относительный рост дохода, а не одинаковая прибавка в долларах.

Проверяется это в одну строку. Удвоение дохода всегда добавляет к субиндексу одну и ту же величину:

$$\Delta I_{\text{д}} = \frac{\ln 2}{\ln 75\,000 - \ln 100} = \frac{0{,}6931}{6{,}6200} = 0{,}105.$$

Для нашей задачи это значит: при 13 900 долларах субиндекс дохода был бы 0,745, при 27 800 он равен 0,850, при 55 600 стал бы 0,955 - шаг ровно 0,105 на каждое удвоение. Заметь, что $GNI$ здесь - валовой национальный доход в расчёте на душу населения, а не денежный доход домохозяйства: методика расчёта душевого показателя разобрана в задаче про среднедушевой доход, и путать эти две величины нельзя.

Среднее геометрическое вместо арифметического

До отчёта 2010 года субиндексы складывали и делили на три. Это означало полную взаимозаменяемость: высокий доход мог компенсировать короткую жизнь, и индекс этого не замечал. Среднее геометрическое такую компенсацию запрещает.

Разница видна на перекошенном профиле. Пусть субиндексы равны 0,900, 0,900 и 0,300. Среднее арифметическое даёт $(0{,}900 + 0{,}900 + 0{,}300)/3 = 0{,}700$, а среднее геометрическое - $\sqrt[3]{0{,}900 \cdot 0{,}900 \cdot 0{,}300} = 0{,}624$. Провал одного измерения стоит стране почти восьми сотых индекса. Предельный случай: если хотя бы один субиндекс равен нулю, произведение обнуляется и ИЧР тоже равен нулю, каким бы ни был доход.

В нашей задаче субиндексы почти совпадают - разрыв между крайними меньше трёх сотых, - поэтому оба способа свёртки дают одинаковые 0,840. Это нормально: чем ровнее профиль развития, тем ближе средние друг к другу. Переключи тумблер в калькуляторе и разведи ползунки пошире, чтобы увидеть, как расхождение появляется.

Той же логике следует ИЧРН - индекс, скорректированный на неравенство: каждый субиндекс уценивается на то, насколько неравномерно распределены здоровье, образование и доход внутри страны. Само неравенство измеряют отдельно, коэффициентом Джини, который строится по кривой Лоренца.

Частые ошибки

• Доход нормируют без логарифма. Подстановка $27\,800$ и $75\,000$ прямо в линейную формулу даёт 0,370 вместо 0,850 и занижает ИЧР почти на две десятых. Логарифмируются и значение, и обе границы.
• Берут нулевой минимум для продолжительности жизни. Деление $73{,}4/85$ даёт 0,864 вместо 0,822: минимум в методике равен 20 годам, а не нулю, и вычитать его обязательно.
• Считают индекс образования средним геометрическим. В отчётах 2010-2013 годов так и было, но с 2014 года это полусумма двух частных индексов. Старые учебные примеры из-за этого дают другой ответ при тех же исходных данных.
• Свёртывают субиндексы средним арифметическим. Для ровного профиля ошибка почти незаметна, для перекошенного достигает сотых и десятых. Кубический корень из произведения обязателен.
• Путают ВНД и ВВП. В формуле стоит валовой национальный доход на душу по ППС, а не внутренний продукт; разница между этими агрегатами показана в разборе реального ВВП.
• Округляют субиндексы до двух знаков. ИЧР публикуют с тремя знаками после запятой, и округление промежуточных результатов до сотых уводит итог на единицы в третьем знаке. Округляй только ответ.

FAQ

Чем ИЧР лучше ВВП на душу населения? Он измеряет не объём произведённого, а то, что получили люди: сколько живут, сколько учатся и какой доход им достаётся. Две страны с одинаковым душевым доходом легко различаются по ИЧР на десятые доли, если в одной из них выше смертность или короче срок обучения.

Может ли ИЧР быть больше единицы? Нет. Каждый субиндекс по построению лежит в границах от 0 до 1, значения сверх максимума обрезаются, а среднее геометрическое чисел из отрезка от нуля до единицы из этого отрезка не выходит.

Какие пороги у групп стран? Очень высокий уровень развития - от 0,800, высокий - от 0,700 до 0,799, средний - от 0,550 до 0,699, низкий - ниже 0,550. Наш результат 0,840 попадает в первую группу.

Почему ИЧР страны в разных отчётах отличается? ПРООН пересчитывает весь ряд задним числом, когда уточняются данные по населению, доходу или методика. Поэтому индекс за один и тот же год из отчётов разных лет сравнивать нельзя: берут либо один отчёт, либо пересчитанный ряд из последнего.

Коротко

1. Нормируй каждый показатель формулой $(X - X_{\min}) / (X_{\max} - X_{\min})$ по фиксированным границам: жизнь 20-85 лет, среднее обучение 0-15 лет, ожидаемое 0-18 лет, ВНД 100-75 000 долларов по ППС.
2. Субиндекс долголетия: $(73{,}4 - 20)/65 = 0{,}822$.
3. Субиндекс образования - полусумма двух частных индексов: $(0{,}853 + 0{,}844)/2 = 0{,}849$.
4. Субиндекс дохода считается по логарифмам: $(\ln 27\,800 - \ln 100)/(\ln 75\,000 - \ln 100) = 0{,}850$.
5. Сводный индекс - среднее геометрическое: $\sqrt[3]{0{,}822 \cdot 0{,}849 \cdot 0{,}850} = 0{,}840$, это очень высокий уровень человеческого развития.