Как рассчитать суммарный коэффициент рождаемости: формула

Дано: возрастные коэффициенты рождаемости по пятилетним группам от 15 до 49 лет: 16; 58; 92; 78; 36; 7,6; 0,4 на 1000 женщин соответствующего возраста. Найти: суммарный коэффициент рождаемости (СКР).

Метод короткий: сложить все возрастные коэффициенты, умножить сумму на длину возрастного интервала (здесь 5 лет) и разделить на 1000. Ответ: СКР равен 1,44 ребёнка на женщину - это 68,6 % от уровня простого воспроизводства 2,1. Калькулятор сверху пересчитывает показатель под твои коэффициенты и показывает, как СКР набирается по возрастным группам.

Решение по шагам

Шаг 1. Выписываем коэффициенты и считаем вклад каждой группы. Возрастной коэффициент $F_x$ показывает, сколько детей за год рождается на 1000 женщин данного возраста. Каждая пятилетняя группа добавляет к итогу $5F_x/1000$ ребёнка:

Шаг 2. Складываем возрастные коэффициенты. Суммируем весь репродуктивный диапазон без пропусков, включая крайние группы, какими бы маленькими ни были их значения:

$$\sum F_x = 16{,}0 + 58{,}0 + 92{,}0 + 78{,}0 + 36{,}0 + 7{,}6 + 0{,}4 = 288{,}0$$

Шаг 3. Умножаем на длину интервала и делим на 1000. Группы пятилетние, значит каждый коэффициент действует пять лет жизни женщины, а деление на 1000 переводит показатель с тысячи женщин на одну:

$$\text{СКР} = \frac{n}{1000}\sum F_x = \frac{5}{1000}\cdot 288{,}0 = 1{,}440$$

Шаг 4. Сравниваем с уровнем простого воспроизводства. Поколение замещает себя при 2,1 ребёнка на женщину, поэтому полученное значение сразу переводят в долю от этого порога:

$$\frac{1{,}44}{2{,}1}\cdot 100\,\% = 68{,}6\,\%$$

До простого воспроизводства не хватает $2{,}1 - 1{,}44 = 0{,}66$ ребёнка: рождаемость должна вырасти в $2{,}1/1{,}44 = 1{,}46$ раза. Ответ: СКР равен 1,44 ребёнка на женщину, что составляет 68,6 % от уровня простого воспроизводства.

Формула и откуда она берётся

Общая запись суммарного коэффициента такая:

$$\text{СКР} = \frac{1}{1000}\sum_{x=15}^{49} n_x F_x,$$

где $F_x$ - возрастной коэффициент рождаемости для группы, начинающейся с возраста $x$, а $n_x$ - длина интервала этой группы. Для пятилетних групп все $n_x$ равны 5, и множитель выносится за знак суммы; для однолетних возрастов $n_x = 1$, и сумму просто делят на 1000.

Смысл формулы удобно понимать так: мы берём одну условную женщину и проводим её через весь репродуктивный возраст, приписывая ей на каждом отрезке ту интенсивность рождений, которая наблюдалась в этом возрасте в отчётном году. Прожив 5 лет с интенсивностью 92 рождения на 1000 женщин, она «набирает» 0,46 ребёнка, и так по всем семи группам.

Отсюда и главное свойство показателя. СКР описывает не реальное поколение, а гипотетическое: ни одна живая женщина не проходит все возрасты за один календарный год. Зато такой расчёт полностью очищен от возрастной структуры населения, а значит, регионы с разной возрастно-половой пирамидой можно сравнивать напрямую.

Именно этим СКР отличается от общего коэффициента рождаемости. Общий коэффициент делит все рождения на всё население, поэтому в молодом регионе он выше просто потому, что там больше женщин детородного возраста, а не потому, что каждая рожает чаще. В расчётах естественного прироста работает как раз общий коэффициент, и разбор общего прироста населения показывает, как он складывается со смертностью и миграцией.

Если даны не коэффициенты, а числа рождений

Чаще в задаче дают исходную статистику: сколько женщин в каждой возрастной группе и сколько детей у них родилось. Тогда добавляется нулевой шаг - посчитать сами возрастные коэффициенты по формуле $F_x = N_x / S_x \cdot 1000$, где $N_x$ - число рождений у женщин группы, $S_x$ - их среднегодовая численность.

Проверим первую строку: $2000/125\,000 \cdot 1000 = 16{,}0$. Дальше всё как в разборе выше, ответ тот же - 1,44.

По тем же данным считают ещё два показателя, и путать их с суммарным нельзя. Специальный коэффициент рождаемости (плодовитости) относит все рождения к женщинам 15-49 лет целиком: $37\,698/895\,000 \cdot 1000 = 42{,}1$ на 1000 женщин. Общий коэффициент рождаемости относит те же рождения ко всему населению, и при среднегодовой численности региона 3,7 млн человек он равен $37\,698/3\,700\,000 \cdot 1000 = 10{,}2$ на 1000 жителей. Три числа - 42,1; 10,2 и 1,44 - описывают одну и ту же статистику в трёх разных базах сравнения.

Уровень 2,1 и коэффициенты воспроизводства

Порог простого воспроизводства выше двух по двум причинам. Во-первых, рожают только женщины, а мальчиков рождается больше: на 100 девочек приходится примерно 105 мальчиков, то есть доля девочек среди новорождённых около 48,8 %. Во-вторых, часть девочек не доживает до конца репродуктивного возраста. Обе поправки и дают 2,1 для стран с низкой детской смертностью; там, где смертность высокая, порог доходит до 2,5-3,0.

Ту же мысль формализуют брутто-коэффициентом воспроизводства - это СКР, пересчитанный только на девочек:

$$R = \text{СКР} \cdot \delta = 1{,}44 \cdot 0{,}488 = 0{,}70$$

Нетто-коэффициент дополнительно учитывает дожитие: при вероятности дожития женщины до среднего возраста матери 0,99 получаем $0{,}70 \cdot 0{,}99 = 0{,}69$. Значение меньше единицы означает, что поколение дочерей будет примерно на треть малочисленнее поколения матерей - население перешло к суженному воспроизводству.

Полезно посчитать и средний возраст матери: это средняя взвешенная, где весами служат те же коэффициенты, а значениями - середины интервалов (17,5; 22,5; …; 47,5 года), то есть $\sum x F_x / \sum F_x = 8342/288{,}0 = 29{,}0$ года. Этот показатель задаёт длину поколения и вместе с миграцией определяет, как быстро убыль дойдёт до численности населения; вклад миграционной составляющей разбирается отдельно, в задаче про коэффициент выбытия.

Частые ошибки

• Забыли множитель 5. Сумма коэффициентов делится на 1000, и получается 0,288 вместо 1,44 - ответ занижен ровно в пять раз. Признак ошибки: число заметно меньше единицы при нормальной рождаемости.
• Усреднили вместо суммирования. Возрастные коэффициенты именно складывают, а не делят на число групп: деление на 7 даёт бессмысленные 0,21.
• Не разделили на 1000. Ответ 1440 «детей на женщину» - это сумма, оставшаяся в расчёте на тысячу женщин.
• Взяли неполный диапазон. Начинать с 20 лет и обрывать на 39 удобно, но группы 15-19 и 40-49 дают в примере 0,12 ребёнка, и СКР теряет около 8 %.
• Сравнили с 2,0. Уровень простого воспроизводства - 2,1, а не «два ребёнка вместо двух родителей»; разница в 0,1 как раз и есть поправка на пол и дожитие.
• Смешали базы. Специальный коэффициент 42,1 и общий 10,2 считаются на 1000 человек, а СКР - на одну женщину: приписывать ему промилле нельзя.

FAQ

Чем СКР лучше общего коэффициента рождаемости? Он не зависит от возрастной структуры. Два региона с одинаковым поведением семей, но разной долей молодёжи дадут разные общие коэффициенты и одинаковый СКР, поэтому для сравнения территорий и лет берут именно его.

Что делать, если коэффициенты даны по однолетним возрастам? Длина интервала равна единице, поэтому сумму всех 35 коэффициентов просто делят на 1000. Если сумма равна 1520, то СКР равен 1,52.

Можно ли считать СКР по неполным данным за полугодие? Возрастные коэффициенты сначала приводят к году, умножая на отношение 12 к числу месяцев наблюдения, и только потом суммируют. Иначе показатель окажется заниженным пропорционально длине периода.

Почему реальные женщины рожают иначе, чем показывает СКР? Показатель чувствителен к сдвигу календаря рождений: когда поколение массово откладывает первого ребёнка, годовой СКР проседает, хотя итоговое число детей у этих женщин потом почти не меняется. Для реальных когорт считают исчерпанную рождаемость - по завершённой репродуктивной биографии.

Коротко

1. Выписать возрастные коэффициенты рождаемости $F_x$ по всем группам от 15 до 49 лет; если даны рождения и численность женщин, сначала найти $F_x = N_x/S_x \cdot 1000$.
2. Сложить коэффициенты: в примере $\sum F_x = 288{,}0$.
3. Умножить сумму на длину возрастного интервала $n$ (5 лет для пятилетних групп, 1 для однолетних) и разделить на 1000.
4. Получить ответ: $\text{СКР} = 5 \cdot 288{,}0/1000 = 1{,}44$ ребёнка на женщину.
5. Сравнить с уровнем простого воспроизводства 2,1: 68,6 % от порога, брутто-коэффициент 0,70 - воспроизводство суженное.