Как рассчитать коэффициент фондов: пошаговое решение

Дано: среднедушевые денежные доходы по десяти децильным группам населения, руб./мес.: 9400; 14 100; 17 900; 21 800; 26 000; 30 900; 37 100; 45 600; 60 300; 142 900. Найти: коэффициент фондов.

Показатель считается одним делением: средний доход верхней децильной группы делят на средний доход нижней. Ответ: $K_{\text{ф}} = 142\,900 / 9400 = 15{,}2$, то есть доходы верхних 10 % населения в 15,2 раза выше доходов нижних 10 %. Калькулятор сверху пересчитывает это отношение под свои числа, а ниже разобран каждый шаг и показано, чем коэффициент фондов отличается от децильного коэффициента дифференциации, с которым его путают чаще всего.

Решение по шагам

Дано. Население разбито на десять равных по численности групп (децилей) и упорядочено от беднейшей к богатейшей. Средний доход в каждой группе:

Найти: коэффициент фондов $K_{\text{ф}}$.

Шаг 1. Проверяем, что группы годятся для расчёта. Нужны два условия: группы равны по численности и упорядочены по возрастанию дохода. Здесь их десять, значит в каждой ровно 10 % населения, и доходы растут от первой группы к десятой без провалов. Если бы ряд был перепутан, крайние группы пришлось бы искать не по номеру, а по величине дохода, и весь расчёт поехал бы.

Шаг 2. Выписываем крайние группы. Из всей таблицы для коэффициента фондов нужны только два числа: средний доход беднейшего дециля $\overline{x}_1 = 9400$ руб. и средний доход богатейшего $\overline{x}_{10} = 142\,900$ руб. Восемь средних групп в расчёт не входят вовсе, они понадобятся только для проверки.

Шаг 3. Подставляем в формулу. Коэффициент фондов есть отношение этих двух средних:

$$K_{\text{ф}} = \frac{\overline{x}_{10}}{\overline{x}_{1}} = \frac{142\,900}{9400} = 15{,}20$$

Округляем до одного знака после запятой, как принято в статистических сборниках: $K_{\text{ф}} = 15{,}2$ раза. Единица измерения у показателя отсутствует, писать «15,2 %» нельзя, это именно кратность.

Шаг 4. Проверяем ответ через средний доход. Сумма всех десяти средних равна 406 000 руб., значит средний доход по всей совокупности $\overline{x} = 406\,000 / 10 = 40\,600$ руб. Верхняя группа превышает его в $142\,900 / 40\,600 = 3{,}52$ раза, нижняя отстаёт в $40\,600 / 9400 = 4{,}32$ раза. Произведение $3{,}52 \cdot 4{,}32 = 15{,}2$ совпало с прямым делением, арифметика сошлась.

Ответ: $K_{\text{ф}} = 15{,}2$. Средний доход верхней децильной группы в 15,2 раза выше среднего дохода нижней децильной группы. Для сравнения: по данным Росстата коэффициент фондов по России держится в коридоре 13-16, так что полученное значение выглядит правдоподобно.

Формула и откуда она берётся

В общем виде коэффициент фондов записывают через суммарные доходы крайних групп:

$$K_{\text{ф}} = \frac{\sum_{i \in \text{верх}} x_i}{\sum_{i \in \text{низ}} x_i} = \frac{N_{10}\,\overline{x}_{10}}{N_{1}\,\overline{x}_{1}}$$

Числитель - денежный фонд, который достался верхним 10 % населения, знаменатель - фонд нижних 10 %. Отсюда и название: сравниваются два фонда доходов. Поскольку децильные группы по построению равны по численности, $N_1 = N_{10}$, и численность сокращается. Остаётся отношение средних, которое мы и считали в третьем шаге.

Из этого сокращения следует важное свойство: показатель не зависит ни от размера населения, ни от единиц измерения дохода. Можно подставить рубли, тысячи рублей или доли суммарного дохода в процентах, результат не изменится. Именно поэтому в условии задачи одинаково законно дать и рубли, и проценты.

Границей выбраны десятые доли населения, а не сотые, по практическим соображениям. Верхний и нижний процентили в выборочных обследованиях оцениваются ненадёжно: в них попадает слишком мало домохозяйств, и одно нетипичное наблюдение двигает результат. Дециль устойчивее, при этом всё ещё описывает край распределения, а не его середину. Коэффициент фондов относится к квантильным мерам неравенства: он смотрит только на два края и полностью игнорирует, как распределён доход между второй и девятой группами. Интегральные меры устроены иначе, они учитывают всё распределение сразу, и разобраны отдельно в статье про расчёт индекса Джини и в задаче про построение кривой Лоренца.

Если в условии даны доли дохода, а не рубли

Частый вариант формулировки: вместо рублей приводят структуру денежных доходов по децильным группам в процентах. Для наших данных доли получаются такими:

Расчёт не меняется: $K_{\text{ф}} = 35{,}2 / 2{,}3 = 15{,}3$. Обрати внимание на расхождение с точным ответом 15,2. Оно возникло не из-за ошибки, а из-за округления долей до десятых: в знаменателе стоит маленькое число 2,3, и сдвиг на 0,05 процентного пункта меняет частное почти на десятую. Правило простое: если в условии есть рубли, считай по рублям, а доли используй только как проверку.

Полезно сразу назвать и долю верхней группы в суммарном доходе, её часто требуют в том же задании: 35,2 % всех денежных доходов достаётся десятой части населения. Это самостоятельный показатель концентрации, а не другая запись коэффициента фондов. Меры разрыва в оплате труда и причины, по которым он возникает, собраны в разборе дифференциации заработной платы.

Коэффициент фондов и децильный коэффициент дифференциации

Это два разных показателя с похожими названиями, и подмена одного другим - главная ошибка в контрольных. Коэффициент фондов строится на средних доходах крайних групп, децильный коэффициент дифференциации $K_d = D_9 / D_1$ - на границах распределения: $D_1$ отсекает беднейшие 10 %, $D_9$ отсекает богатейшие 10 %. Чтобы найти границы, нужен интервальный ряд распределения, одних групповых средних мало.

Посчитаем оба показателя на одном ряду. Пусть 500 работников распределены по заработной плате так:

Первый дециль лежит там, где накоплено $0{,}1 \cdot 500 = 50$ человек, то есть во втором интервале, девятый - там, где накоплено 450 человек, то есть в пятом:

$$\begin{aligned} D_1 &= 12 + 6 \cdot \frac{50 - 40}{90} = 12{,}7 \text{ тыс. руб.},\\ D_9 &= 45 + 25 \cdot \frac{450 - 400}{70} = 62{,}9 \text{ тыс. руб.} \end{aligned}$$

Отсюда $K_d = 62{,}9 / 12{,}7 = 5{,}0$. Теперь коэффициент фондов по тому же ряду. Нижние 50 человек - это все 40 работников первого интервала и 10 из второго, их средний заработок $(40 \cdot 9 + 10 \cdot 15) / 50 = 10{,}2$ тыс. руб. Верхние 50 - все 30 человек последнего интервала и 20 из предпоследнего, средний заработок $(30 \cdot 110 + 20 \cdot 57{,}5) / 50 = 89{,}0$ тыс. руб. Значит $K_{\text{ф}} = 89{,}0 / 10{,}2 = 8{,}7$.

На одних и тех же данных вышло 8,7 против 5,0. Так и должно быть: средний доход хвоста всегда дальше от центра, чем граница хвоста, поэтому коэффициент фондов систематически больше децильного коэффициента, обычно в полтора-два раза. Сравнивать чужие расчёты между собой можно только после того, как выяснено, какой из двух показателей имелся в виду.

Коэффициент фондов показывает разрыв, но не отвечает, хватает ли нижним децилям на жизнь: для этого доходы сравнивают с прожиточным минимумом.

Частые ошибки

• Делят доход верхней группы на средний по совокупности. Получается 3,52 вместо 15,2: в знаменателе должен стоять доход нижнего дециля, а не общая средняя.
• Путают коэффициент фондов с децильным коэффициентом дифференциации. Первый работает со средними крайних групп, второй с границами $D_1$ и $D_9$; на одних данных они дают 8,7 и 5,0.
• Считают по неупорядоченному ряду. Если группы даны не по возрастанию дохода, крайние по номеру группы не совпадут с крайними по доходу, и отношение окажется бессмысленным.
• Округляют доли до десятых и делят их. Маленький знаменатель 2,3 % чувствителен к округлению: ответ уезжает с 15,2 на 15,3.
• Приписывают проценты. Коэффициент фондов безразмерен, ответ читается «в 15,2 раза», запись «15,2 %» неверна.
• Берут середину открытого или очень широкого интервала наугад. В ряду выше последний интервал 70-150 тыс. руб. заменён серединой 110 тыс., и от этого допущения напрямую зависит результат; в отчёте его надо оговаривать.

FAQ

Чем коэффициент фондов отличается от коэффициента Джини? Коэффициент фондов сравнивает два края распределения и не видит середину, Джини сворачивает в одно число всю кривую распределения. Два общества с одинаковым коэффициентом фондов 15,2 могут иметь заметно разные значения Джини, если доходы средних групп распределены по-разному. В отчётах их поэтому публикуют вместе.

Какое значение коэффициента фондов считается высоким? Универсального норматива нет, оценка сравнительная. Ориентир такой: в странах с сильным перераспределением показатель держится около 6-8, в России последних лет он колеблется в пределах 13-16, а в наиболее неравных экономиках уходит за 25. Важнее не сам уровень, а динамика и то, какая группа тянет разрыв.

Можно ли считать по квинтилям вместо децилей? Да, тогда получается квинтильный коэффициент S80/S20: отношение среднего дохода верхних 20 % к среднему доходу нижних 20 %. На наших данных он равен 8,6, что заметно меньше 15,2, потому что группы шире и крайние средние ближе к центру. Переключатель в калькуляторе сверху показывает оба варианта.

Что делать, если известны только средний и медианный доход? Прямо посчитать коэффициент фондов не получится: нужны данные о крайних группах. По двум характеристикам центра его оценивают лишь косвенно, приняв модель распределения доходов, а в учебной задаче такое допущение положено оговаривать явно. Как устроен сам показатель среднего уровня, разобрано в задаче про среднедушевой доход.

Коротко

1. Упорядочь группы по возрастанию дохода и убедись, что они равны по численности: у децилей это по 10 % населения.
2. Возьми только два числа: средний доход верхней группы $\overline{x}_{10}$ и средний доход нижней $\overline{x}_1$.
3. Раздели одно на другое: $K_{\text{ф}} = \overline{x}_{10} / \overline{x}_1$. Для данных задачи $142\,900 / 9400 = 15{,}2$ раза.
4. Проверь через общую среднюю 40 600 руб.: верхняя группа выше неё в 3,52 раза, нижняя ниже в 4,32 раза, произведение даёт те же 15,2.
5. Не путай с децильным коэффициентом дифференциации $K_d = D_9 / D_1$: он строится на границах распределения и всегда получается меньше.