Как построить кривую Лоренца: пошаговое решение

Дано: доли денежных доходов по десяти децильным группам населения, %: 2,0; 3,4; 4,4; 5,4; 6,5; 7,8; 9,5; 11,9; 15,6; 33,5. Найти: координаты кривой Лоренца и площадь между кривой и биссектрисой.

Построение сводится к двум столбцам накопленных долей: по горизонтали копится население (по 10 % на группу), по вертикали копится доход. Ответ: кривая проходит через одиннадцать точек от $(0;0)$ до $(100;100)$, площадь фигуры неравенства равна $A = 0{,}210$ долей единичного квадрата. Калькулятор сверху строит эту кривую по твоим долям, ниже разберём каждый шаг руками.

Решение по шагам

Дано. Всё население разбито на десять равных по численности групп (децилей), упорядоченных от беднейшей к богатейшей. Доля суммарного дохода каждой группы:

Найти: координаты точек кривой Лоренца и площадь $A$ между кривой и линией абсолютного равенства.

Шаг 0. Проверяем сумму долей. Складываем: $2{,}0 + 3{,}4 + 4{,}4 + 5{,}4 + 6{,}5 + 7{,}8 + 9{,}5 + 11{,}9 + 15{,}6 + 33{,}5 = 100{,}0$ %. Сумма сошлась: группы охватывают весь доход, и последняя точка кривой попадёт ровно в угол квадрата. Если сумма не равна 100 %, доли нормируют до построения.

Шаг 1. Накопленные доли населения (ось абсцисс). Группы равные по численности, поэтому каждая добавляет 10 % населения:

$$p_0 = 0,\quad p_k = 10k \ \%,\qquad k = 1, 2, \dots, 10.$$

Получаем сетку абсцисс: 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100 %.

Шаг 2. Накопленные доли дохода (ось ординат). Идём по строке слева направо и складываем доли нарастающим итогом: $\text{cum}_k = \text{cum}_{k-1} + y_k$ при $\text{cum}_0 = 0$.

Каждый столбец читается как готовое утверждение: беднейшие 50 % населения получают 21,7 % дохода, беднейшие 90 % - 66,5 %, а верхнему децилю остаётся $100 - 66{,}5 = 33{,}5$ %.

Шаг 3. Строим график. На квадрате со стороной 100 % откладываем одиннадцать точек $(0;0)$, $(10;2{,}0)$, $(20;5{,}4)$, $(30;9{,}8)$, $(40;15{,}2)$, $(50;21{,}7)$, $(60;29{,}5)$, $(70;39{,}0)$, $(80;50{,}9)$, $(90;66{,}5)$, $(100;100{,}0)$ и соединяем их отрезками. Диагональ из $(0;0)$ в $(100;100)$ проводим отдельной линией: это биссектриса координатного угла, линия абсолютного равенства. Кривая идёт под ней и выгнута вправо вниз: накопленный доход отстаёт от накопленного населения.

Шаг 4. Площадь под кривой методом трапеций. Между соседними точками кривая заменяется отрезком, поэтому фигура под ней разбивается на десять трапеций одинаковой ширины $x_k = 0{,}1$. Дальше удобно перейти к долям единицы. Площадь трапеции с основаниями $\text{cum}_{k-1}$ и $\text{cum}_k$ равна $x_k \dfrac{\text{cum}_{k-1} + \text{cum}_k}{2}$, а вся площадь под кривой:

$$B = \sum_{k=1}^{10} x_k\,\frac{\text{cum}_{k-1} + \text{cum}_k}{2} = \frac{0{,}1}{2} \sum_{k=1}^{10} \left(\text{cum}_{k-1} + \text{cum}_k\right).$$

Считаем сумму скобок по накопленным долям 0,020; 0,054; 0,098; 0,152; 0,217; 0,295; 0,390; 0,509; 0,665; 1,000:

$$\begin{aligned} \sum \left(\text{cum}_{k-1} + \text{cum}_k\right) &= 0{,}020 + 0{,}074 + 0{,}152 + 0{,}250 + 0{,}369 \\ &\quad + 0{,}512 + 0{,}685 + 0{,}899 + 1{,}174 + 1{,}665 = 5{,}800. \end{aligned}$$

Отсюда $B = 0{,}05 \cdot 5{,}800 = 0{,}290$.

Шаг 5. Площадь между кривой и биссектрисой. Под диагональю лежит прямоугольный треугольник с катетами по единице, его площадь равна $0{,}5$. Фигура неравенства - это треугольник минус площадь под кривой:

$$A = \frac{1}{2} - B = 0{,}500 - 0{,}290 = 0{,}210.$$

Ответ. Кривая Лоренца проходит через точки $(0;0)$, $(10;2{,}0)$, $(20;5{,}4)$, $(30;9{,}8)$, $(40;15{,}2)$, $(50;21{,}7)$, $(60;29{,}5)$, $(70;39{,}0)$, $(80;50{,}9)$, $(90;66{,}5)$, $(100;100)$; площадь между кривой и биссектрисой $A = 0{,}210$, что составляет 42 % площади треугольника равенства.

Что стоит за координатами кривой

Кривая Лоренца - график функции $L(p)$: доля суммарного дохода, приходящаяся на беднейшие $p$ процентов населения. Обязательное условие построения - упорядочить группы по возрастанию дохода: только тогда каждый следующий отрезок круче предыдущего и линия выпукла вниз. Если группы перемешать, ломаная перестанет быть кривой Лоренца.

Две крайние ситуации задают границы фигуры. При полном равенстве каждая группа в 10 % населения получает ровно 10 % дохода, накопленные доли совпадают, $L(p) = p$, и кривая ложится на биссектрису: $A = 0$. При предельной концентрации весь доход достаётся последней группе, кривая идёт по нижней стороне квадрата, и площадь $A$ стремится к $0{,}5$.

Площадь $A$ живёт в диапазоне от 0 до 0,5, поэтому её нормируют: отношение $A$ к площади треугольника $0{,}5$ и есть коэффициент Джини, $G = 2A = 0{,}420$ для нашего примера. Формулы Джини для сгруппированных и несгруппированных данных разбирает статья про расчёт индекса Джини; здесь он появляется только как мера уже построенной площади.

Из тех же накопленных долей вытекает второй ходовой показатель - коэффициент фондов: отношение дохода верхнего дециля к доходу нижнего, $33{,}5 / 2{,}0 = 16{,}8$ раза. Он смотрит только на два края распределения, тогда как площадь под кривой учитывает все группы сразу. Похожие меры разрыва в оплате труда собраны в разборе дифференциации заработной платы.

Если групп пять, а не десять

Часто в условии дают не децили, а квинтили - пять групп по 20 % населения. Алгоритм тот же, меняется ширина трапеции: вместо $x_k = 0{,}1$ подставляем $x_k = 0{,}2$. Свернём наши децили попарно: доли квинтилей 5,4; 9,8; 14,3; 21,4; 49,1 %, накопленные доли дохода 5,4; 15,2; 29,5; 50,9; 100,0 %.

Площадь под кривой по пяти трапециям: $B = 0{,}1 \cdot (0{,}054 + 0{,}206 + 0{,}447 + 0{,}804 + 1{,}509) = 0{,}302$, откуда $A = 0{,}500 - 0{,}302 = 0{,}198$ и $G = 0{,}396$.

Распределение то же самое, а площадь получилась меньше на 0,012. Это не ошибка расчёта, а свойство метода: отрезки трапеций проходят выше настоящей кривой и срезают её выпуклость, поэтому площадь под ломаной завышается, а площадь неравенства занижается. Чем крупнее группы, тем сильнее смещение, поэтому сравнивать два распределения можно только при одинаковом числе групп: децили с квинтилями несопоставимы.

Ещё один частый вариант условия - вместо долей дают абсолютные суммы: фонд зарплаты по группам или средний доход на группу. Тогда добавляется нулевой шаг: суммы делятся на общий итог и переводятся в доли. Если численность групп неодинакова, шаг по оси абсцисс перестаёт быть постоянным и каждое слагаемое умножается на свою ширину $x_k$. Средний доход по группе считается так же, как среднедушевой доход по совокупности.

Проверка построения

Готовый чертёж проверяется за полминуты по четырём признакам. Первый: кривая начинается в начале координат и заканчивается в точке $(100;100)$ - если последняя накопленная доля не равна 100 %, потеряна группа или неверна сумма долей. Второй: ни одна точка не лежит выше диагонали; кривая выше биссектрисы означает, что группы отсортированы по убыванию дохода.

Третий: наклон звеньев ломаной растёт слева направо. У нас приросты идут 2,0; 3,4; 4,4; 5,4; 6,5; 7,8; 9,5; 11,9; 15,6; 33,5 - каждый следующий больше предыдущего, кривая выпукла вниз. Провал наклона в середине означает ошибку сортировки или опечатку в долях.

Четвёртый: площадь $A$ обязана попасть в интервал от 0 до 0,5, а удвоенная площадь - совпасть с Джини по формуле трапеций напрямую. У нас $1 - 0{,}580 = 0{,}420 = 2 \cdot 0{,}210$, расчёты согласованы. Значения $G$ около 0,4 типичны для денежных доходов, выше 0,6 по зарплате обычно означают ошибку в накопленных долях.

Частые ошибки

• Откладывают доли групп вместо накопленных. По осям идут только нарастающие итоги. Нанесёшь сами доли 2,0; 3,4; 4,4 - получится ломаная, ничего не говорящая о неравенстве, а последняя точка не попадёт в угол квадрата.
• Не сортируют группы по возрастанию дохода. Кривая Лоренца определена только для упорядоченного ряда; при обратном порядке линия уходит выше диагонали, и площадь теряет смысл.
• Забывают точку $(0;0)$. Без нулевой точки первая трапеция выпадает из суммы, и площадь под кривой оказывается заниженной, а неравенство завышенным.
• Считают площадь по средним доходам групп. Среднее по группе не даёт координату кривой: нужны накопленные доли численности и дохода.
• Путают площадь $A$ и коэффициент Джини. Площадь между кривой и биссектрисой равна половине Джини: $A = 0{,}210$, но $G = 0{,}420$. Ответ 0,21 на вопрос про Джини - типовая потеря балла.
• Сравнивают Джини по децилям с Джини по квинтилям. Разное число групп даёт систематически разные оценки одной и той же площади, и вывод о росте или снижении неравенства получается ложным.

FAQ

Сколько точек нужно наносить на график? На единицу больше числа групп: для десяти децилей - одиннадцать точек вместе с обязательной $(0;0)$, для квинтилей шесть. Значения между точками ничем не заданы, поэтому их соединяют отрезками, а не сглаженной кривой.

Можно ли строить кривую по неравным по численности группам? Да. По оси абсцисс тогда откладывают накопленную долю численности, а не равные шаги по 10 %, и в формуле трапеций у каждого слагаемого своя ширина $x_k$. Порядок групп по-прежнему задаётся возрастанием среднего дохода, а не их размером.

Чем кривая Лоренца отличается от коэффициента фондов? Кривая использует всё распределение, а коэффициент фондов - только крайние группы. Два распределения могут иметь одинаковый коэффициент фондов 16,8 и заметно разные площади $A$, если середина распределена по-разному. Поэтому в отчётах их публикуют вместе.

Как по двум кривым понять, где неравенство выше? Если одна кривая целиком лежит ниже другой, у неё неравенство больше при любой мере. Если кривые пересекаются, однозначного вывода нет: площади $A$ могут оказаться близкими при совсем разной форме.

Коротко

1. Упорядочь группы по возрастанию дохода и проверь, что сумма долей равна 100 %.
2. Накопи доли населения по оси абсцисс: для децилей это 0, 10, 20, ..., 100 %.
3. Накопи доли дохода по оси ординат: 0; 2,0; 5,4; 9,8; 15,2; 21,7; 29,5; 39,0; 50,9; 66,5; 100,0 %.
4. Нанеси одиннадцать точек, соедини отрезками и проведи биссектрису квадрата.
5. Площадь под кривой по трапециям $B = 0{,}290$, площадь неравенства $A = 0{,}5 - B = 0{,}210$, коэффициент Джини $G = 2A = 0{,}420$.