Как определить ожидаемую продолжительность жизни: формула

Дано: таблица смертности с корнем $l_0 = 100\,000$ родившихся; числа доживающих до точных возрастов 1, 5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75 и 85 лет равны 99 500; 99 350; 99 150; 98 600; 97 300; 95 100; 91 000; 82 500; 66 000 и 38 000 человек; ожидаемая продолжительность жизни в открытом интервале $e_{85} = 5{,}8$ года. Найти: ожидаемую продолжительность жизни при рождении $e_0$.

Метод состоит из трёх арифметических действий: из чисел доживающих получить человеко-годы жизни в каждом интервале $L_x$, накопить их снизу вверх в числа предстоящих человеко-лет $T_x$ и разделить накопленное на число доживающих. Ответ: ожидаемая продолжительность жизни при рождении равна 77,01 года при общем запасе 7 701 000 человеко-лет на поколение. Калькулятор сверху пересчитывает всю таблицу под твои числа и рисует кривую дожития вместе с графиком предстоящей жизни по возрастам.

Решение по шагам

Шаг 1. Выписываем таблицу дожития и считаем числа умирающих. Число умирающих в интервале - это разность соседних чисел доживающих: $d_x = l_x - l_{x+n}$. Сумма всех $d_x$ обязана дать корень таблицы, это первая проверка расчёта.

Шаг 2. Считаем человеко-годы жизни в закрытых интервалах. Внутри интервала численность убывает почти равномерно, поэтому среднее число живущих берут как полусумму границ, а результат умножают на длину интервала $n$:

$$L_x = \frac{n\left(l_x + l_{x+n}\right)}{2}$$

Для четырёхлетнего интервала от 1 года до 5 лет и для десятилетнего от 65 до 75 лет подстановка выглядит так:

$$\begin{aligned} L_1 &= \frac{4\left(99\,500 + 99\,350\right)}{2} = 397\,700, \\ L_{65} &= \frac{10\left(82\,500 + 66\,000\right)}{2} = 742\,500. \end{aligned}$$

Шаг 3. Отдельно обрабатываем первый год жизни и открытый интервал. На первом году смерти сдвинуты к его началу: умерший младенец проживает в среднем не полгода, а около трети года. Поэтому линейная формула здесь заменяется на $L_0 = l_1 + a_0 d_0$ при $a_0 = 0{,}3$:

$$L_0 = 99\,500 + 0{,}3 \cdot 500 = 99\,650$$

У последнего интервала верхней границы нет, и полусумму брать не из чего. Его человеко-годы находят через уже известную предстоящую жизнь в этом возрасте:

$$L_{85+} = l_{85} \cdot e_{85} = 38\,000 \cdot 5{,}8 = 220\,400$$

Шаг 4. Накапливаем числа предстоящих человеко-лет. Величина $T_x$ - это все человеко-годы, которые поколение проживёт начиная с возраста $x$, поэтому суммировать надо снизу вверх, от самого старшего интервала:

$$\begin{aligned} T_{85} &= 220\,400, \\ T_{75} &= 220\,400 + 520\,000 = 740\,400, \\ T_{65} &= 740\,400 + 742\,500 = 1\,482\,900, \\ &\ \ \vdots \\ T_0 &= 7\,601\,350 + 99\,650 = 7\,701\,000. \end{aligned}$$

Шаг 5. Делим на число доживающих. Последнее действие переводит человеко-годы всего поколения в годы на одного человека:

$$e_0 = \frac{T_0}{l_0} = \frac{7\,701\,000}{100\,000} = 77{,}01$$

Ответ: ожидаемая продолжительность жизни при рождении равна 77,01 года.

Формула и откуда она берётся

Общая запись показателя предельно короткая, вся работа спрятана в числителе:

$$e_x = \frac{T_x}{l_x}, \qquad T_x = \sum_{i \ge x} L_i$$

Здесь $l_x$ - число доживающих до точного возраста $x$ из условного поколения, $L_x$ - число человеко-лет, прожитых поколением внутри интервала, $T_x$ - все человеко-годы, оставшиеся поколению после возраста $x$. Делить надо именно на $l_x$, а не на корень таблицы: в знаменателе стоят только те, кто дожил до этого возраста и у кого предстоящая жизнь вообще есть.

Логика такая же, как у средней арифметической. Числитель $T_0$ - это суммарный стаж жизни всех ста тысяч человек условного поколения, знаменатель - их число, частное - средний стаж на человека. Ровно поэтому показатель измеряется в годах и называется средней продолжительностью предстоящей жизни.

Ключевое слово здесь - условное поколение. Таблица смертности строится по данным одного календарного года: она берёт вымышленную совокупность родившихся и проводит её через все возрасты с той смертностью, которая наблюдалась в этом году у реальных людей соответствующего возраста. Ни один живой человек так не стареет, поэтому $e_0$ - не прогноз чьей-то судьбы, а свёртка текущего уровня смертности в одно число.

Зато у такой свёртки есть сильное свойство: она не зависит от возрастной структуры населения. Общий коэффициент смертности в регионе со старым населением будет высоким даже при отличной медицине, а $e_0$ такого искажения не даёт, и регионы с несхожими возрастно-половыми пирамидами сравнивают именно по нему. По той же причине $e_0$ нельзя подставлять в расчёты движения населения напрямую: там работают обычные коэффициенты, как в разборе общего прироста населения.

Если в условии даны коэффициенты смертности

Часто таблицу дожития требуется построить самому, а дан возрастной коэффициент смертности $m_x$ - отношение числа умерших в интервале к среднегодовой численности живущих в нём. Переход к вероятности умереть делается по формуле, которая учитывает, что умершие прожили в интервале в среднем половину его длины:

$$q_x = \frac{n m_x}{1 + \dfrac{n m_x}{2}}$$

Проверим её на интервале 65-74 года из нашей таблицы. Коэффициент смертности там равен 22,2 на 1000, длина интервала 10 лет:

$$q_{65} = \frac{10 \cdot 0{,}0222}{1 + \dfrac{10 \cdot 0{,}0222}{2}} = \frac{0{,}2222}{1{,}1111} = 0{,}2000$$

Дальше числа доживающих восстанавливаются цепочкой $l_{x+n} = l_x\left(1 - q_x\right)$, и для нашего интервала это даёт $82\,500 \cdot 0{,}8 = 66\,000$ человек - ровно то значение, что стоит в таблице. После этого шаги 2-5 повторяются без изменений. Именно так устроен второй режим калькулятора сверху: он принимает коэффициенты смертности и сам собирает таблицу дожития.

Обрати внимание на разницу с рождаемостью. Возрастные коэффициенты рождаемости складывают, потому что рождения накапливаются аддитивно, а вероятности дожития перемножают: смертность действует на тех, кто остался в живых после предыдущего интервала. Сложить $q_x$ и получить что-то осмысленное нельзя.

Предстоящая жизнь в других возрастах

Формула $e_x = T_x/l_x$ работает для любой строки таблицы, меняются только числа. Для возраста 65 лет:

$$e_{65} = \frac{1\,482\,900}{82\,500} = 17{,}97$$

Получается парадокс, на котором спотыкаются на экзамене: дожившему до 65 лет таблица отводит ещё почти 18 лет, то есть смерть в среднем наступит в 82,97 года, тогда как при рождении показатель был всего 77,01. Противоречия нет: $e_0$ усреднена по всем, включая умерших в младенчестве и в трудоспособном возрасте, а $e_{65}$ - только по тем, кто эти риски уже пережил. С возрастом сумма $x + e_x$ монотонно растёт.

Полезно рядом посчитать медианный возраст смерти - возраст, в котором доживающих остаётся ровно половина корня. Между 75 и 85 годами $l_x$ падает с 66 000 до 38 000, и линейная интерполяция даёт 80,7 года. Медиана выше средней на 3,7 года, потому что ранние смерти сильно тянут среднюю вниз, а поздние компенсируют их слабо. В отчётах обычно приводят среднюю, но по медиане видно, где реально сосредоточены смерти.

Частые ошибки

• Выбрасывают открытый интервал. Если не посчитать $L_{85+}$, сумма упадёт с 7 701 000 до 7 480 600 человеко-лет, а $e_0$ - до 74,81 года. Потеря сразу 2,2 года, и ошибку легко не заметить, потому что результат остаётся правдоподобным.
• Забывают множитель $n$. Полусумма чисел доживающих - это средняя численность живущих, а не человеко-годы. Для десятилетних интервалов её обязательно умножают на 10, иначе $T_0$ сожмётся почти на порядок.
• Делят $T_x$ на корень таблицы. В знаменателе всегда стоит $l_x$ того же возраста, что и $T_x$. Деление $T_{65}$ на 100 000 даст 14,83 вместо 17,97 года.
• Накапливают $T_x$ сверху вниз. Суммирование идёт от старших возрастов к младшим: $T_x$ - это то, что поколению ещё предстоит, а не то, что уже прожито.
• Считают $e_0$ средним возрастом умерших в этом году. Средний возраст умерших зависит от возрастной структуры населения, а показатель таблицы смертности - нет; в стареющем населении первый может превышать второй на несколько лет.
• Берут для первого года линейную полусумму. При заметной младенческой смертности поправка $a_0$ систематически завышает $L_0$; величина небольшая, но в контрольных её снимают с баллов.

FAQ

Чем ожидаемая продолжительность жизни отличается от среднего возраста умерших? Средний возраст умерших считается по реальным смертям календарного года и зависит от того, сколько в населении стариков. Показатель $e_0$ считается по условному поколению и от структуры населения очищен, поэтому сравнивать между собой территории и годы можно только по нему.

Почему у пожилых сумма возраста и предстоящей жизни больше, чем $e_0$? Потому что они уже прошли через интервалы с ненулевой смертностью. Дожитие до 65 лет само по себе отсеивает тех, кто снизил среднюю при рождении, и оставшаяся группа в среднем доживает до 82,97 года при $e_0 = 77{,}01$.

Можно ли обойтись краткой таблицей вместо полной? Да, расчёт по пяти- или десятилетним интервалам практически не расходится с однолетним: погрешность трапеции внутри интервала мала, кроме первого года жизни, для которого и вводится поправка $a_0$. Полные таблицы нужны в страховых расчётах, для учебной задачи краткой достаточно.

Что делать, если предстоящая жизнь в открытом интервале не дана? Использовать коэффициент смертности этого возраста: $L_{85+} = l_{85} / m_{85+}$. При $m_{85+} = 172{,}4$ на 1000 получится $38\,000 / 0{,}1724 = 220\,400$ человеко-лет, то есть то же значение, что и при $e_{85} = 5{,}8$ года.

Коротко

1. Выпиши числа доживающих $l_x$ и найди числа умирающих $d_x = l_x - l_{x+n}$; их сумма должна дать корень таблицы.
2. Посчитай человеко-годы: $L_x = n(l_x + l_{x+n})/2$ для закрытых интервалов, $L_0 = l_1 + 0{,}3 d_0$ для первого года, $L_{85+} = l_{85} e_{85}$ для открытого.
3. Накопи $T_x$ снизу вверх, начиная с последнего интервала; для нашей таблицы $T_0 = 7\,701\,000$ человеко-лет.
4. Раздели на число доживающих того же возраста: $e_0 = 7\,701\,000 / 100\,000 = 77{,}01$ года, $e_{65} = 1\,482\,900 / 82\,500 = 17{,}97$ года.
5. Если даны коэффициенты смертности, сначала получи $q_x = n m_x / (1 + n m_x / 2)$ и восстанови цепочку $l_{x+n} = l_x(1 - q_x)$, дальше всё то же самое.