Индекс Джини: расчёт по шагам и формулы

Индекс Джини - это число от 0 до 1, которое показывает, насколько неравномерно распределён ресурс (чаще всего доход или богатство) между членами совокупности. Ноль означает полное равенство: все получают одинаково. Единица - предельную концентрацию: весь ресурс достаётся одному. На практике расчёт индекса Джини сводится к измерению площади между кривой Лоренца и линией абсолютного равенства, и эту геометрическую идею можно превратить в несколько компактных формул. Ниже разберём, как считать коэффициент Джини и для упорядоченного списка наблюдений, и для сгруппированных данных, а также как не наделать типичных ошибок при округлении и сортировке.

Что такое кривая Лоренца

Прежде чем считать индекс, полезно понять, что он измеряет. Кривая Лоренца строится так: население упорядочивают по возрастанию дохода, затем по горизонтали откладывают накопленную долю населения $p$, а по вертикали - накопленную долю суммарного дохода $L(p)$. Если бы все получали поровну, беднейшие 20% владели бы ровно 20% дохода, и кривая совпала бы с диагональю $L(p)=p$. В реальности беднейшие 20% владеют меньшей долей, поэтому кривая Лоренца провисает под диагональю.

Коэффициент Джини равен удвоенной площади между диагональю и кривой Лоренца:

$G = \frac{A}{A + B} = 2A,$

где $A$ - площадь между линией равенства и кривой Лоренца, $B$ - площадь под самой кривой, причём $A + B = \tfrac12$. Чем сильнее провисает кривая, тем больше $A$ и тем выше неравенство.

Дальше идёт подводящий мостик к практике: чтобы не строить кривую вручную, удобно сразу подставить свои данные в готовый расчётчик и получить значение $G$ вместе с разбором.

Формула для несгруппированных данных

Когда у вас есть отдельные значения $y_1, y_2, \dots, y_n$ (например, доходы $n$ человек), самый надёжный путь - сначала отсортировать их по возрастанию, а затем применить формулу через ранги. После сортировки, где $y_{(i)}$ - $i$-е по порядку значение, индекс Джини считается так:

$G = \frac{\sum_{i=1}^{n} (2i - n - 1)\, y_{(i)}}{n \sum_{i=1}^{n} y_{(i)}}.$

Эта формула эквивалентна определению через среднюю разность. Если обозначить среднее $\bar{y}$, то справедливо выражение через попарные модули разностей:

$G = \frac{\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} |y_i - y_j|}{2 n^2 \bar{y}}.$

Вторая запись нагляднее объясняет смысл: индекс Джини - это средняя абсолютная разница доходов между любыми двумя случайно выбранными людьми, нормированная на удвоенное среднее. Для ручного счёта удобнее ранговая формула: она требует одного прохода по отсортированному ряду.

Разберём короткий пример. Пусть доходы пяти человек уже упорядочены: $2, 4, 6, 8, 10$ (в условных единицах). Сумма равна $30$, $n = 5$. Считаем числитель $\sum (2i - n - 1) y_{(i)}$ с коэффициентами $-4, -2, 0, 2, 4$:

$(-4)(2) + (-2)(4) + 0\cdot 6 + 2\cdot 8 + 4\cdot 10 = -8 - 8 + 0 + 16 + 40 = 40.$

Тогда $G = \dfrac{40}{5 \cdot 30} = \dfrac{40}{150} \approx 0{,}267$. Умеренное неравенство.

Расчёт по сгруппированным данным

Если данные представлены интервальным рядом (доли населения и соответствующие доли дохода по группам), индекс Джини удобно считать по накопленным частотам через формулу площади трапеций. Пусть группы упорядочены по возрастанию дохода, $x_k$ - доля населения в группе $k$, а $\text{cum}_k$ - накопленная доля дохода до конца группы $k$ включительно ($\text{cum}_0 = 0$). Тогда

$G = 1 - \sum_{k=1}^{m} x_k \left( \text{cum}_{k-1} + \text{cum}_{k} \right).$

Здесь каждая скобка - это сумма «высот» кривой Лоренца на границах интервала, а $x_k$ играет роль ширины. Сумма произведений даёт удвоенную площадь $B$ под кривой, и вычитание из единицы возвращает $2A = G$. Этот способ называют расчётом через площади трапеций, и он даёт точное значение, если внутри групп распределение считается равномерным.

Для квинтильных данных (пять групп по 20% населения) формула особенно компактна, потому что все $x_k = 0{,}2$. Именно так публикуют оценки неравенства национальные статистические службы.

Покажем счёт на квинтилях. Пусть доли дохода по пяти группам от беднейшей к богатейшей равны $0{,}08;\ 0{,}13;\ 0{,}17;\ 0{,}23;\ 0{,}39$. Накопленные доли: $0{,}08;\ 0{,}21;\ 0{,}38;\ 0{,}61;\ 1{,}00$. Тогда сумма $\sum x_k(\text{cum}_{k-1}+\text{cum}_k)$ при $x_k = 0{,}2$ равна $0{,}2\,[(0+0{,}08)+(0{,}08+0{,}21)+(0{,}21+0{,}38)+(0{,}38+0{,}61)+(0{,}61+1{,}00)] = 0{,}2 \cdot 3{,}65 = 0{,}73$. Отсюда $G = 1 - 0{,}73 = 0{,}27$. Обратите внимание: ширина интервалов постоянна, поэтому ошибиться можно только в накопленных долях - их и стоит перепроверять в первую очередь.

Интерпретация значений коэффициента

Само число мало что говорит без контекста. Обычно ориентируются на такие границы: $G < 0{,}3$ - относительно равномерное распределение, $0{,}3 \le G < 0{,}4$ - умеренное неравенство, $0{,}4 \le G < 0{,}5$ - заметное, $G \ge 0{,}5$ - высокое. Важно помнить, что индекс Джини нечувствителен к тому, в какой части распределения происходит перераспределение: одинаковый прирост неравенства в нижней и в верхней половине ряда даёт один и тот же сдвиг $G$. Поэтому для анализа бедности его дополняют другими мерами концентрации - коэффициентом фондов, индексами Тейла или Аткинсона.

Ещё одна тонкость - единица измерения. Иногда индекс приводят в процентах (в диапазоне 0–100) и тогда называют процентным коэффициентом Джини; это то же самое число, домноженное на 100. Если сравниваете оценки из разных источников, проверьте шкалу и год: расчёт по доходу до и после налогов даёт разные значения.

Полезно помнить и об эффекте размера выборки. Для маленькой совокупности ранговая формула даёт смещённую вниз оценку, поэтому при сравнении небольших групп иногда применяют поправку $\frac{n}{n-1}$, домножая на неё полученное $G$. Для крупных выборок эта поправка пренебрежимо мала, и её обычно опускают. Кроме того, индекс Джини не аддитивен: нельзя сложить коэффициенты по регионам и получить коэффициент по стране - внутригрупповое и межгрупповое неравенство приходится разлагать отдельно, и для этого как раз удобнее индексы Тейла.

Связь с другими мерами неравенства

Кривая Лоренца и индекс Джини - лишь одна из систем координат. Полезно держать рядом разбор логарифмически нормального распределения: доходы часто моделируют именно логнормальным законом, и для него существует аналитическая формула $G = 2\Phi\!\left(\sigma/\sqrt{2}\right) - 1$, связывающая коэффициент Джини напрямую с параметром $\sigma$. Это удобно, когда выборка мала, а форма распределения известна.

Для финансовых рядов рядом стоит идея нормировки риска и неоднородности - там работают свои индексы, например коэффициент Шарпа, измеряющий доходность на единицу волатильности. Логика общая: свести многомерную картину к одному интерпретируемому числу, не теряя из виду, что именно это число игнорирует.

Частые ошибки

• Забыть отсортировать данные. Ранговая формула и площади трапеций предполагают возрастающий порядок. На неотсортированном ряде получится бессмысленное, иногда отрицательное число.
• Перепутать накопленные и обычные доли. В формуле для сгруппированных данных в скобках стоят именно накопленные доли дохода $\text{cum}_{k-1}$ и $\text{cum}_{k}$, а не доли отдельных групп.
• Смешать шкалы. Сравнивать $G = 0{,}38$ с «коэффициентом 42» нельзя - второе число дано в процентах ($0{,}42$).
• Игнорировать единицы наблюдения. Джини по домохозяйствам и по индивидам различаются; одинаковая выборка даст разные значения в зависимости от единицы.
• Округлять промежуточные доли. Грубое округление накопленных долей до целых процентов заметно искажает площадь и итоговый $G$.

FAQ

Может ли индекс Джини быть больше единицы? Для неотрицательных доходов - нет, корректное значение лежит в $[0, 1]$. Значение выше единицы или отрицательное - признак ошибки (несортированные данные, отрицательные значения дохода или опечатка в формуле).

Какую формулу выбрать - ранговую или через попарные разности? Результат одинаков. Ранговая формула $\sum (2i - n - 1) y_{(i)}$ быстрее: один проход по отсортированному ряду вместо $n^2$ операций. Попарную запись удобнее использовать для объяснения смысла.

Как считать Джини, если есть только квинтили? Используйте формулу через накопленные доли с площадями трапеций. Для пяти групп по 20% подставьте $x_k = 0{,}2$ и накопленные доли дохода по каждому квинтилю.

Коротко

Индекс Джини измеряет неравенство как удвоенную площадь между диагональю и кривой Лоренца и принимает значения от 0 (равенство) до 1 (полная концентрация). Для отдельных наблюдений его считают по ранговой формуле $G = \frac{\sum (2i - n - 1) y_{(i)}}{n \sum y_{(i)}}$ после сортировки, для сгруппированных данных - через накопленные доли и площади трапеций. Главное при расчёте - упорядочить данные, не путать накопленные доли с обычными и следить за шкалой (доли против процентов).