Как рассчитать теоретический выход: решение задачи

Дано: 250 г известняка, массовая доля карбоната кальция в образце 80 %, при прокаливании получено 100,8 г оксида кальция. Найти: теоретический выход оксида и выход продукта в процентах.

Задача решается в два приёма. Сначала по уравнению реакции считают, сколько оксида дало бы это сырьё, если бы превращение прошло нацело, - это и есть теоретический выход. Затем реально полученную массу делят на теоретическую. Ответ: теоретический выход 112 г, выход продукта 90 %, потеряно 11,2 г. Калькулятор сверху гоняет тот же расчёт на других числах и реакциях и умеет переворачивать задачу: искать массу сырья под нужную массу продукта.

Решение по шагам

Шаг 1. Уравнение реакции. Известняк при прокаливании разлагается на негашёную известь и углекислый газ:

$$\mathrm{CaCO_3} \xrightarrow{\;t\;} \mathrm{CaO} + \mathrm{CO_2}\uparrow$$

Коэффициенты равны единице, значит из одного моля карбоната получается ровно один моль оксида. Это отношение и будет мостом от сырья к продукту.

Шаг 2. Чистое вещество в образце. Известняк - не чистый карбонат: в нём песок, глина, другие карбонаты. В реакцию идёт только основное вещество, поэтому массу образца умножают на массовую долю:

$$m(\mathrm{CaCO_3}) = 250 \cdot 0{,}80 = 200\ \text{г}$$

Оставшиеся 50 г примесей при прокаливании массу оксида не дадут, и в дальнейшем расчёте они не участвуют вообще.

Шаг 3. Количество вещества. Молярная масса карбоната кальция складывается из атомных: $40 + 12 + 3 \cdot 16 = 100$ г/моль. Отсюда

$$n(\mathrm{CaCO_3}) = \frac{200}{100} = 2\ \text{моль}$$

Шаг 4. Переход к продукту по уравнению. Отношение коэффициентов $1 : 1$, поэтому количество оксида равно количеству карбоната:

$$n(\mathrm{CaO}) = n(\mathrm{CaCO_3}) \cdot \frac{1}{1} = 2\ \text{моль}$$

Шаг 5. Теоретический выход в граммах. Молярная масса оксида кальция $40 + 16 = 56$ г/моль, значит

$$m_{\text{теор}}(\mathrm{CaO}) = 2 \cdot 56 = 112\ \text{г}$$

Это максимум, который вообще можно получить из взятой навески: больше не позволит закон сохранения массы.

Шаг 6. Выход продукта. Практическая масса известна из условия, остаётся поделить:

$$\eta = \frac{m_{\text{практ}}}{m_{\text{теор}}} \cdot 100\ \% = \frac{100{,}8}{112} \cdot 100\ \% = 90\ \%$$

Недобор в $112 - 100{,}8 = 11{,}2$ г - это та известь, которая не образовалась из-за неполного разложения и осталась в печи карбонатом либо потерялась при выгрузке.

Ответ: теоретический выход 112 г оксида кальция, практический выход 90 %.

Формула и откуда она берётся

Общая запись расчёта умещается в одну цепочку, и её стоит держать в голове целиком:

$$m_{\text{теор}} = \frac{m_{\text{обр}} \cdot \omega}{M_{\text{исх}}} \cdot \frac{\nu_{\text{прод}}}{\nu_{\text{исх}}} \cdot M_{\text{прод}}$$

Здесь $m_{\text{обр}}$ - масса взятого образца, $\omega$ - доля чистого вещества в нём, $M$ - молярные массы исходного вещества и продукта, а $\nu$ - коэффициенты из уравнения. Каждый множитель отвечает за свой шаг: деление на $M_{\text{исх}}$ переводит граммы в моли, дробь коэффициентов - моли сырья в моли продукта, умножение на $M_{\text{прод}}$ возвращает граммы.

Выход продукта определяется как доля от этого максимума:

$$\eta = \frac{m_{\text{практ}}}{m_{\text{теор}}} \cdot 100\ \%$$

Физический смысл прост: стехиометрия описывает идеальный случай, когда реакция идёт до конца, единственным путём и без потерь. В реальности мешают три вещи - обратимость (часть равновесной смеси остаётся исходными веществами), побочные направления (тот же продукт разложения успевает прореагировать дальше) и механические потери при фильтровании, перегонке, переносе осадка. Поэтому $\eta$ всегда меньше 100 %.

Величину $\eta$ называют по-разному: выход продукта, практический выход, выход от теоретического. Все три названия означают одно и то же число, а «теоретический выход» - это именно масса $m_{\text{теор}}$ в граммах, а не проценты. Путаница в терминах - источник половины ошибок в этой теме.

Обратная задача: сколько сырья взять под нужную массу продукта

На производстве и в лаборатории задачу чаще ставят наоборот: известны нужная масса продукта и ожидаемый выход, требуется рассчитать загрузку. Формула читается справа налево. Пусть нужно получить 126 г оксида кальция из того же известняка с долей карбоната 80 %, а выход печи известен по опыту и равен 90 %.

Сначала от практической массы возвращаются к теоретической - делением на выход:

$$m_{\text{теор}} = \frac{126}{0{,}90} = 140\ \text{г}$$

Затем теоретическую массу переводят в моли продукта, по уравнению - в моли сырья, а моли сырья в граммы чистого карбоната:

$$n(\mathrm{CaO}) = \frac{140}{56} = 2{,}5\ \text{моль}, \qquad m(\mathrm{CaCO_3}) = 2{,}5 \cdot 100 = 250\ \text{г}$$

Последний шаг - учесть примеси: чистого карбоната в образце лишь 80 %, поэтому известняка нужно взять больше:

$$m_{\text{обр}} = \frac{250}{0{,}80} = 312{,}5\ \text{г}$$

Проверка сходится с прямым расчётом: 312,5 г образца дали бы 140 г оксида при идеальном превращении, а при выходе 90 % - искомые 126 г. Переключи калькулятор сверху в режим «Найти массу сырья», и он проделает ту же цепочку с твоими числами.

Выход по количеству вещества и по объёму газа

Долю от теоретического можно считать не только по массам. Молярная масса в числителе и знаменателе сокращается, поэтому отношение количеств вещества даёт тот же процент, что и отношение масс. Для газов, измеренных при одинаковых условиях, то же верно и для объёмов: молярный объём общий для всех газов.

В нашей реакции вместе с оксидом выделяется углекислый газ. Теоретически 2 моль дали бы $2 \cdot 22{,}4 = 44{,}8$ л при нормальных условиях, а при выходе 90 % собрали бы 40,32 л. Отдельный разбор таких пересчётов - в статье про расчёты по уравнению реакции через объём газа, здесь достаточно помнить, что 22,4 л/моль работает только при нормальных условиях.

Отдельный случай - когда в условии даны количества сразу двух реагентов. Тогда перед расчётом выхода нужно найти вещество в недостатке: теоретический выход считают строго по нему, а не по любому из двух. Приём разобран в материале про задачи на избыток и недостаток. Если чистота сырья задана не долей примесей, а концентрацией раствора, пригодится разбор про массовую долю раствора, а при расчётах через закон эквивалентов - про эквивалент вещества.

Частые ошибки

• Считают теоретический выход по массе образца, а не по чистому веществу. Если взять 250 г вместо 200 г, максимум получится 140 г, и выход выйдет 72 % вместо 90 %. Примеси отсекают первым же действием.
• Путают теоретический выход и выход в процентах. Теоретический выход измеряется в граммах, молях или литрах, а $\eta$ - в процентах. Ответ «теоретический выход 90 %» бессмысленен.
• Делят наоборот: теоретическую массу на практическую. Получается число больше единицы, и выход выходит 111 %, чего быть не может. Практическая масса всегда в числителе.
• Забывают коэффициенты уравнения. В реакции $\mathrm{N_2} + 3\mathrm{H_2} \to 2\mathrm{NH_3}$ на один моль азота приходится два моля аммиака, и пропуск множителя $2$ занижает теоретический выход вдвое.
• Считают выход по продукту, часть которого улетела как газ. Массу нужно относить к тому веществу, которое реально взвесили, иначе потери газа засчитываются в выход дважды.
• Округляют молярные массы слишком грубо. Для хлора 35,5 вместо 35 и для серы 32 вместо 32,1 допустимы, но округление $M(\mathrm{CaCO_3})$ до 98 или 102 уводит ответ на пару процентов.

FAQ

Может ли выход быть больше 100 %? Нет. Значение выше сотни означает ошибку: непросушенный продукт, взвешенный вместе с растворителем, неверная формула вещества или перепутанные местами числитель и знаменатель. В лабораторном отчёте такой результат трактуют как захваченную влагу или примесь.

Какой выход считается хорошим? Зависит от процесса. Для простого осаждения или обжига нормой считают 90-98 %, для многостадийного органического синтеза 60-70 % - уже успех, а для обратимых промышленных реакций вроде синтеза аммиака за один проход выход в 15-20 % компенсируют рециклом непрореагировавшей смеси.

Как считать выход, если стадий несколько? Общий выход равен произведению выходов стадий, а не их сумме и не среднему. Три стадии по 80 % дают $0{,}8^3 = 0{,}512$, то есть 51,2 % от исходного количества: именно поэтому длинные синтезы проектируют так, чтобы дорогое сырьё вводилось как можно позже.

Нужно ли учитывать примеси в продукте? Если продукт получен с примесями, его массу сначала приводят к чистому веществу через массовую долю, и только потом сравнивают с теоретической. Иначе в выход попадает вес посторонних веществ.

Коротко

1. Записать уравнение реакции и расставить коэффициенты: без них переход от сырья к продукту неверен.
2. Перевести образец в чистое вещество: $250 \cdot 0{,}80 = 200$ г карбоната кальция.
3. Найти количество вещества и перейти по коэффициентам к продукту: $200 / 100 = 2$ моль карбоната, значит 2 моль оксида.
4. Посчитать теоретический выход в граммах: $2 \cdot 56 = 112$ г - это максимум для данной навески.
5. Разделить практическую массу на теоретическую: $100{,}8 / 112 = 0{,}9$, то есть выход продукта 90 %, потери 11,2 г.