Как рассчитать шунт амперметра: формула и пример

Дано: амперметр с внутренним сопротивлением $R_{\text{а}} = 0{,}18$ Ом и собственным пределом измерения $I_{\text{а}} = 5$ А; нужный предел $I = 50$ А. Найти: сопротивление шунта $R_{\text{ш}}$ и ток, который через него пойдёт.

Шунт - это резистор, включённый параллельно амперметру: он пропускает мимо прибора лишнюю часть тока, и стрелка остаётся в пределах шкалы. Считают его через коэффициент расширения предела $n = I / I_{\text{а}}$ по формуле $R_{\text{ш}} = R_{\text{а}} / (n - 1)$. Ответ: $R_{\text{ш}} = 0{,}02$ Ом, то есть 20 мОм; через шунт течёт 45 А, через прибор - прежние 5 А. Калькулятор сверху пересчитывает шунт, деление тока и мощность под любые исходные данные, а ниже то же самое разобрано по шагам.

Решение по шагам

Дано.

Найти: $R_{\text{ш}}$ и $I_{\text{ш}}$.

Шаг 1. Коэффициент расширения предела. Сначала выясняем, во сколько раз новый предел больше собственного:

$$n = \frac{I}{I_{\text{а}}} = \frac{50}{5} = 10.$$

Стрелка должна доходить до конца шкалы не при 5 А в цепи, а при 50 А. Число $n$ называют коэффициентом расширения предела или шунтовым множителем, и вся дальнейшая арифметика опирается только на него.

Шаг 2. Сопротивление шунта. Подставляем в рабочую формулу:

$$R_{\text{ш}} = \frac{R_{\text{а}}}{n - 1} = \frac{0{,}18}{10 - 1} = \frac{0{,}18}{9} = 0{,}02\ \text{Ом}.$$

Двадцать миллиом. Единица в знаменателе стоит не случайно: через шунт идёт не весь ток цепи, а только избыток $I - I_{\text{а}}$, и именно этот избыток надо сравнивать с током прибора.

Шаг 3. Как делится ток. Прибор при полном отклонении по-прежнему пропускает свои 5 А, всё остальное уходит в шунт:

$$I_{\text{ш}} = I - I_{\text{а}} = 50 - 5 = 45\ \text{А}.$$

Отношение токов равно отношению обратных сопротивлений: $I_{\text{ш}} / I_{\text{а}} = R_{\text{а}} / R_{\text{ш}} = 9$. Сорок пять ампер против пяти - ровно в девять раз больше, как и должно быть при $n - 1 = 9$.

Шаг 4. Проверка по напряжению. Амперметр и шунт соединены параллельно, значит напряжение на них одинаковое. Считаем его двумя способами:

$$U = I_{\text{а}} R_{\text{а}} = 5 \cdot 0{,}18 = 0{,}9\ \text{В}, \qquad U = I_{\text{ш}} R_{\text{ш}} = 45 \cdot 0{,}02 = 0{,}9\ \text{В}.$$

Числа совпали - шунт посчитан верно. Эта проверка занимает пять секунд и ловит почти любую ошибку в формуле, поэтому делать её стоит всегда.

Шаг 5. Сопротивление участка и мощность. Шунтированный амперметр вносит в цепь заметно меньшее сопротивление, чем сам прибор:

$$R_{\text{экв}} = \frac{R_{\text{а}} R_{\text{ш}}}{R_{\text{а}} + R_{\text{ш}}} = \frac{0{,}18 \cdot 0{,}02}{0{,}18 + 0{,}02} = 0{,}018\ \text{Ом} = \frac{R_{\text{а}}}{n}.$$ $$P_{\text{ш}} = I_{\text{ш}}^2 R_{\text{ш}} = 45^2 \cdot 0{,}02 = 40{,}5\ \text{Вт}.$$

Ответ. $R_{\text{ш}} = 0{,}02$ Ом (20 мОм); через шунт идёт $I_{\text{ш}} = 45$ А, через прибор $I_{\text{а}} = 5$ А; сопротивление участка падает до 0,018 Ом, на шунте рассеивается 40,5 Вт.

Формула шунта и её вывод

Вывод занимает две строки, и запоминать формулу наизусть после него не нужно. Амперметр и шунт включены параллельно, поэтому падения напряжения на них равны, а входящий ток делится на две ветви:

$$I_{\text{а}} R_{\text{а}} = I_{\text{ш}} R_{\text{ш}}, \qquad I_{\text{ш}} = I - I_{\text{а}}.$$

Подставляем второе равенство в первое и выражаем сопротивление шунта:

$$R_{\text{ш}} = \frac{I_{\text{а}} R_{\text{а}}}{I - I_{\text{а}}} = \frac{R_{\text{а}}}{\dfrac{I}{I_{\text{а}}} - 1} = \frac{R_{\text{а}}}{n - 1}.$$

Первая запись удобна, когда в условии даны токи, вторая - когда дана кратность. Обе дают одно и то же: чтобы расширить предел в $n$ раз, шунт должен быть в $(n - 1)$ раз меньше внутреннего сопротивления прибора.

Иногда вместо предела $I_{\text{а}}$ задают ток полного отклонения измерительного механизма $I_g$ и сопротивление рамки - для расчёта это те же самые величины под другими именами. Единственное, за чем надо следить, - единицы: ток полного отклонения обычно приводят в миллиамперах, и перед подстановкой его переводят в амперы.

Сопротивление шунтированного амперметра всегда меньше сопротивления самого прибора и равно $R_{\text{а}} / n$. Это хорошее свойство: измерительный прибор в идеале не должен влиять на ток в цепи, и шунт делает включение амперметра ещё менее заметным. Если нужно освежить, как считаются параллельные ветви, разбор есть в задаче про общее сопротивление цепи и в подборке задач на параллельное соединение резисторов.

Шунт и добавочное сопротивление: в чём разница

Две задачи выглядят одинаково и решаются зеркально, поэтому их постоянно путают. Разница в том, какой прибор расширяют и как включают резистор:

Логика противоположна, и это легко объяснить. Амперметр включают в разрыв цепи, поэтому его сопротивление должно быть маленьким - шунт его ещё уменьшает, отводя ток. Вольтметр подключают параллельно участку, его сопротивление должно быть большим - добавочный резистор его увеличивает, забирая на себя часть напряжения. Отсюда и зеркальные формулы: у шунта на $(n-1)$ делят, у добавочного - умножают. Расчёт добавочного сопротивления с выводом и разбором разобран отдельно в статье про добавочное сопротивление к вольтметру.

Практическое следствие: если в условии речь про ток, ищи шунт; если про напряжение - добавочный резистор. Проверить себя можно по знаменателю. Шунт по определению меньше внутреннего сопротивления прибора, добавочный резистор - больше. Получилось наоборот, значит формулы перепутаны местами.

Обратная задача: шунт известен, найти предел

Часто дано обратное: шунт уже стоит, надо понять, что теперь показывает прибор. Из той же формулы выражаем кратность:

$$n = 1 + \frac{R_{\text{а}}}{R_{\text{ш}}}.$$

Пример: амперметр с $R_{\text{а}} = 0{,}4$ Ом и пределом 2 А зашунтирован резистором 0,05 Ом. Тогда $n = 1 + 0{,}4 / 0{,}05 = 9$, и новый предел равен $2 \cdot 9 = 18$ А. Шкала при этом физически не меняется - меняется только вес одного деления: если раньше деление стоило 0,05 А, то теперь $0{,}05 \cdot 9 = 0{,}45$ А. Как пересчитывают вес деления и погрешность прибора, подробно разобрано в задаче про цену деления прибора.

Важно, что класс точности при шунтировании не улучшается. Приведённая погрешность нормируется по пределу измерения, а предел вырос в девять раз, значит и абсолютная погрешность выросла во столько же раз. Что означают знаки класса на шкале, разобрано в материале про обозначение класса точности.

Мощность шунта и его конструкция

Мощность, которую шунт обязан рассеивать, растёт вместе с кратностью линейно:

$$P_{\text{ш}} = I_{\text{ш}}^2 R_{\text{ш}} = (n - 1) I_{\text{а}}^2 R_{\text{а}}.$$

В нашей задаче это 40,5 Вт - для проволочного резистора очень много. График в калькуляторе сверху показывает этот компромисс наглядно: синяя кривая сопротивления падает как гипербола, а оранжевая прямая мощности уходит вверх. Чем сильнее расширяем предел, тем меньше и горячее шунт.

Отсюда конструкция. Шунт делают не из проволоки, а из массивных манганиновых пластин, впаянных между двумя медными колодками, и рассчитывают на малое падение напряжения. Промышленные шунты нормируют на 75 мВ при номинальном токе: для 50 А это $R = 0{,}075 / 50 = 1{,}5$ мОм и всего 3,75 Вт вместо сорока. Наш учебный амперметр греется сильнее просто потому, что у него великовато внутреннее сопротивление.

Длина пластины считается через удельное сопротивление: $l = R S / \rho$. Для манганина $\rho = 0{,}43$ Ом на мм2 на метр, и шунт 0,02 Ом сечением 4 мм2 выйдет длиной $0{,}02 \cdot 4 / 0{,}43 \approx 0{,}19$ м. Манганин выбран не случайно: у него почти нулевой температурный коэффициент, поэтому нагрев не уводит показания. Связь сопротивления с геометрией проводника разобрана в подборке задач на удельное сопротивление.

Точные шунты делают четырёхзажимными: две толстые токовые клеммы и две тонкие потенциальные, к которым подключают прибор. Так сопротивление контактов и подводящих проводов не попадает в измеряемый участок - при номиналах в единицы миллиом переходное сопротивление зажима сравнимо с самим шунтом и иначе испортило бы результат.

Частые ошибки

• Делят на $n$ вместо $n - 1$. Самая частая ошибка: получается 0,018 Ом вместо 0,02 Ом. Через шунт идёт не весь ток, а разность $I - I_{\text{а}}$, отсюда и единица в знаменателе.
• Умножают вместо деления. Формула $R_{\text{а}}(n-1)$ - это добавочное сопротивление к вольтметру. Шунт всегда меньше внутреннего сопротивления прибора, а не больше.
• Считают мощность по полному току. Через шунт течёт 45 А, а не 50 А: $45^2 \cdot 0{,}02 = 40{,}5$ Вт, а не 50 Вт. Через прибор идут оставшиеся 5 А, и на нём выделяется своя мощность 4,5 Вт.
• Забывают перевести миллиамперы. Если ток полного отклонения дан как 50 мА, в формулу подставляют 0,05 А. Пропущенный перевод меняет ответ в тысячу раз.
• Пересчитывают предел, но не цену деления. После шунтирования шкала остаётся прежней, но каждое деление стоит в $n$ раз дороже. Показание без пересчёта занижено ровно в $n$ раз.
• Не проверяют мощность и нагрев. Формально верный номинал на 40 Вт нельзя набрать обычным резистором: нужна пластина с теплоотводом, иначе шунт уйдёт по сопротивлению или сгорит.

FAQ

Почему в знаменателе стоит $n - 1$, а не $n$? Потому что делится не весь ток, а его избыток. Прибор при полном отклонении забирает свои $I_{\text{а}}$, и на шунт приходится $I - I_{\text{а}} = (n-1) I_{\text{а}}$. Именно это отношение токов и переходит в обратное отношение сопротивлений.

Можно ли зашунтировать вольтметр? Смысла нет: параллельный резистор не изменит напряжения на вольтметре, а только добавит потребление тока. Для расширения предела по напряжению резистор включают последовательно, и это уже другая задача с формулой $R_{\text{д}} = R_{\text{в}}(n-1)$.

Что будет, если шунт оборвётся? Весь ток цепи пойдёт через рамку прибора. При кратности 10 это десятикратная перегрузка, и механизм сгорит почти мгновенно. По этой же причине шунт крепят винтами на токовые клеммы, а прибор подключают к отдельным потенциальным зажимам.

Как рассчитать многопредельный амперметр? Для каждого предела своя кратность и свой шунт по той же формуле. Если пределы переключаются простым переключателем, в момент переключения цепь на мгновение размыкается и прибор остаётся без шунта, поэтому в приборах применяют схему Айртона: шунты соединены в цепочку, и прибор всегда зашунтирован хотя бы её частью.

Коротко

1. Считаем кратность расширения предела: $n = I / I_{\text{а}}$. Для 5 А и 50 А это $n = 10$.
2. Шунт: $R_{\text{ш}} = R_{\text{а}} / (n - 1) = 0{,}18 / 9 = 0{,}02$ Ом. Он всегда меньше внутреннего сопротивления амперметра.
3. Токи: через шунт $I_{\text{ш}} = I - I_{\text{а}} = 45$ А, через прибор остаются 5 А.
4. Проверка: напряжения на параллельных ветвях равны, $5 \cdot 0{,}18 = 45 \cdot 0{,}02 = 0{,}9$ В. Сопротивление участка $R_{\text{а}} / n = 0{,}018$ Ом.
5. Мощность шунта $I_{\text{ш}}^2 R_{\text{ш}} = 40{,}5$ Вт, цена деления шкалы вырастает в $n = 10$ раз.