Как определить постоянную прибора: формула и пример

Дано: вольтметр с равномерной шкалой на $N = 150$ делений, включённый на предел $U_N = 300\ \text{В}$; отсчёт по шкале $n = 84$ деления. Счётчик электроэнергии с передаточным числом $A = 1250$ оборотов на кВт·ч. Найти: постоянную прибора, показание вольтметра и постоянную счётчика.

Постоянная прибора равна пределу измерения, делённому на полное число делений шкалы, а показание получается умножением отсчёта на эту постоянную. Ответ: $C = 2$ В/дел, $U = 168$ В, постоянная счётчика $C_{\text{сч}} = 0{,}0008$ кВт·ч/об, то есть 0,8 Вт·ч на один оборот диска. Калькулятор сверху пересчитывает постоянную и показание под любой предел, любое число делений и любое передаточное число счётчика.

Решение по шагам

Дано.

Найти: $C$, $U$, $C_{\text{сч}}$.

Шаг 1. Постоянная вольтметра. Постоянная прибора показывает, сколько единиц измеряемой величины приходится на одно деление шкалы на выбранном диапазоне. Её находят делением предела измерения на полное число делений:

$$C = \frac{U_N}{N} = \frac{300}{150} = 2\ \frac{\text{В}}{\text{дел}}.$$

Шаг 2. Показание вольтметра. Стрелка многопредельного прибора показывает не вольты, а деления: чтобы получить измеренную величину, отсчёт умножают на постоянную.

$$U = n \cdot C = 84 \cdot 2 = 168\ \text{В}.$$

Шаг 3. Проверка через смену предела. Переключим тот же вольтметр на диапазон 150 В, не трогая шкалу. Число делений осталось прежним, значит постоянная стала $C' = 150 / 150 = 1$ В/дел, а та же стрелка на 84 делении дала бы уже 84 В. Это и есть главная мысль задачи: постоянная не записана на шкале, она задаётся положением переключателя пределов.

Шаг 4. Постоянная счётчика электроэнергии. У индукционного счётчика на щитке пишут передаточное число $A$ - сколько оборотов диска приходится на один киловатт-час. Постоянная счётчика - величина обратная: сколько энергии учитывает один оборот.

$$C_{\text{сч}} = \frac{1}{A} = \frac{1}{1250} = 0{,}0008\ \frac{\text{кВт} \cdot \text{ч}}{\text{об}} = 0{,}8\ \frac{\text{Вт} \cdot \text{ч}}{\text{об}}.$$

Шаг 5. Что с этой постоянной делают дальше. Пусть диск сделал $n_{\text{об}} = 25$ оборотов за $t = 60$ с. Тогда израсходованная энергия и средняя мощность нагрузки равны:

$$\begin{aligned} W &= n_{\text{об}} \cdot C_{\text{сч}} = 25 \cdot 0{,}0008 = 0{,}02\ \text{кВт} \cdot \text{ч}, \\ P &= \frac{W \cdot 3600}{t} = \frac{0{,}02 \cdot 3600}{60} = 1{,}2\ \text{кВт}. \end{aligned}$$

Ответ: постоянная вольтметра $C = 2$ В/дел, показание $U = 168$ В; постоянная счётчика $C_{\text{сч}} = 0{,}8$ Вт·ч на оборот, что при 25 оборотах за минуту соответствует нагрузке 1,2 кВт.

Формула и откуда она берётся

Формула $C = A_N / N$ держится на одном допущении: шкала равномерная, то есть угол поворота стрелки пропорционален измеряемой величине. У магнитоэлектрических амперметров и вольтметров это так по построению, потому что вращающий момент рамки пропорционален току, а противодействующий момент пружины пропорционален углу. Отсюда полному отклонению стрелки на $N$ делений отвечает ровно предел измерения, а одному делению - его $N$-я часть.

Буквы читаются так: $A_N$ - номинальное значение диапазона, то самое число у последней отметки шкалы при данном положении переключателя; $N$ - полное число делений от нуля до конца шкалы, а не число подписанных отметок; $C$ - постоянная, она же чувствительность наоборот. Чувствительность $S = N / A_N$ - это обратная величина, она измеряется в делениях на вольт или делениях на ампер, и две буквы связаны как $C = 1/S$.

У приборов с неравномерной шкалой (многих омметров, логометров, выпрямительных приборов в начале диапазона) единой постоянной не существует: на разных участках одно деление стоит разного. Для таких шкал считают локальную цену деления по соседним оцифрованным отметкам, а результат читают прямо по оцифровке. Поэтому в условии задач про постоянную всегда явно или неявно стоит слово «равномерная».

Постоянная прибора и цена деления: в чём разница

Эти два понятия путают чаще всего, и в простом случае они численно совпадают. Разница в том, по какому куску шкалы они считаются и как к ним приходят.

• Цена деления берётся локально: разность двух соседних подписанных отметок делится на число промежутков между ними. Её можно найти, глядя только на шкалу, даже не зная предела. Подробный разбор именно этого счёта - в задаче как определить цену деления прибора.
• Постоянная прибора берётся глобально: весь предел делится на все деления. Для равномерной шкалы результат тот же, для неравномерной - цена деления есть, а постоянной нет.
• Постоянная привязана к диапазону, а не к шкале. У многопредельного прибора шкала одна, а постоянных столько, сколько положений у переключателя. Цену деления в этом случае тоже приходится пересчитывать, и именно поэтому оцифровка такой шкалы часто безразмерная, от 0 до 150.

Есть и третий родственник - постоянная гальванометра, которую определяют не по шкале, а по опыту с известным током: через прибор пропускают эталонную величину и делят её на полученное отклонение. Это уже градуировка, и результат зависит от схемы включения, включая добавочные резисторы и шунты. Как меняется предел при добавлении шунта, разобрано отдельно в задаче как рассчитать шунт амперметра.

Как постоянная связана с погрешностью

Постоянная сама по себе абсолютно точна: это результат деления двух чисел, записанных на приборе. Погрешность вносит не она, а класс точности прибора и отсчёт по шкале. Предел допускаемой абсолютной погрешности у стрелочных приборов нормируют от предела измерения, а не от показания, поэтому в нашей задаче при классе 1,0 он составил бы $0{,}01 \cdot 300 = 3$ В на любом участке шкалы.

Отсюда практическое правило выбора диапазона: работать нужно в последней трети шкалы. При показании 168 В на пределе 300 В относительная погрешность равна примерно 1,8 %, а если то же напряжение мерить на пределе 600 В (постоянная 4 В/дел, отсчёт 42 деления), она вырастет вдвое. Правила нормирования погрешности средств измерений разобраны в отдельной статье, а обозначения на самой шкале - в статье про класс точности на шкале прибора.

Для счётчика энергии постоянная работает иначе: по ней проверяют сам счётчик. Включают известную нагрузку, засекают время нужного числа оборотов и сравнивают расчётную энергию с фактической. Расхождение и даёт относительную погрешность учёта.

Частые ошибки

• Делят предел на число оцифрованных отметок. На шкале 150 делений может стоять всего 6 подписанных чисел. В формулу идёт полное число делений, то есть число мелких промежутков от нуля до конца шкалы.
• Считают постоянную свойством прибора, а не диапазона. После переключения предела постоянная меняется, а записанное ранее значение остаётся в тетради и портит весь расчёт.
• Забывают умножить отсчёт на постоянную. Стрелка на 84 делении - это не 84 В: цифра со шкалы без множителя не является результатом измерения.
• Путают передаточное число счётчика с его постоянной. 1250 об/(кВт·ч) и 0,0008 кВт·ч/об - взаимно обратные величины; подстановка передаточного числа вместо постоянной завышает энергию в полтора миллиона раз.
• Не приводят единицы времени. В формуле мощности через счётчик энергия в киловатт-часах, а время в секундах: без множителя 3600 мощность выходит меньше в тысячи раз.
• Применяют формулу к неравномерной шкале. У омметра деление у нуля и деление у бесконечности стоят совершенно разного, единой постоянной там нет.

FAQ

Чем постоянная прибора отличается от чувствительности? Это взаимно обратные величины. Постоянная измеряется в единицах величины на деление и показывает, сколько вольт или ампер стоит одно деление; чувствительность - в делениях на единицу величины и показывает, насколько сильно прибор реагирует. Связь простая: $C = 1/S$.

Где на приборе написана постоянная? Обычно нигде. На шкале указан диапазон или безразмерная оцифровка, а постоянную считают сами после выбора предела. Исключение - счётчики энергии: у них передаточное число печатают прямо на щитке.

Как определить постоянную, если шкала безразмерная? Именно так и задумано у многопредельных приборов: берут число у последнего деления шкалы как $N$, предел с переключателя как $A_N$ и делят одно на другое. Верхнее значение диапазона и верхнее число шкалы - разные вещи, их легко перепутать, о чём есть статья про диапазон измерений и диапазон показаний.

Как проверить счётчик по постоянной? Включить нагрузку известной мощности, засечь время $t$ за $n_{\text{об}}$ оборотов диска и сравнить учтённую энергию $n_{\text{об}} / A$ с расчётной $P t / 3600$. Разница, отнесённая к расчётной энергии, и есть погрешность счётчика.

Коротко

1. Постоянная прибора: $C = A_N / N$ - предел измерения делится на полное число делений равномерной шкалы.
2. Показание получается умножением отсчёта на постоянную: $A = n \cdot C$.
3. У вольтметра с пределом 300 В и шкалой на 150 делений $C = 2$ В/дел, и при отсчёте 84 деления показание равно 168 В.
4. Постоянная счётчика обратна передаточному числу: $C_{\text{сч}} = 1/A = 1/1250 = 0{,}0008$ кВт·ч/об, то есть 0,8 Вт·ч на оборот; 25 оборотов за минуту дают нагрузку 1,2 кВт.
5. Постоянная привязана к выбранному диапазону: смена предела меняет её, а неравномерная шкала единой постоянной не имеет вовсе.