Как определить цену деления прибора: формула и пример

Дано: шкала амперметра, соседние оцифрованные штрихи $A_1 = 2\ \text{А}$ и $A_2 = 3\ \text{А}$, между ними $n = 10$ делений; предел измерения $A_N = 5\ \text{А}$; класс точности $\gamma = 1{,}0$; стрелка стоит на восьмом делении после штриха 2 А. Найти: цену деления шкалы и запись результата измерения.

Цена деления равна разности двух соседних подписанных отметок, делённой на число промежутков между ними. Ответ: $C = 0{,}1$ А/дел, показание $2{,}8$ А, результат $I = (2{,}8 \pm 0{,}1)\ \text{А}$ с относительной погрешностью около $3{,}6\%$. Калькулятор сверху пересчитывает цену деления, погрешность и готовую запись результата под любую шкалу и любой класс точности, ниже - решение по шагам.

Решение по шагам

Дано.

Найти: $C$, показание $I$ и запись результата $I \pm \Delta I$.

Шаг 1. Цена деления. Берём два соседних штриха, у которых подписаны значения, и делим их разность на число промежутков между ними:

$$C = \frac{A_2 - A_1}{n} = \frac{3 - 2}{10} = 0{,}1\ \text{А/дел}.$$

Одно маленькое деление шкалы стоит 0,1 А. Обрати внимание: делили на десять промежутков, хотя штрихов между отметками 2 А и 3 А видно девять - промежутков всегда на один больше, чем внутренних штрихов.

Шаг 2. Показание прибора. Показание набирается от нижней подписанной отметки: к ней прибавляем столько цен деления, сколько делений прошла стрелка.

$$I = A_1 + k \cdot C = 2 + 8 \cdot 0{,}1 = 2{,}8\ \text{А}.$$

Шаг 3. Инструментальная погрешность по классу точности. Класс точности 1,0 означает приведённую погрешность в 1,0 % от предела измерения, а не от показания. Отсюда предел допускаемой абсолютной погрешности прибора одинаков на всей шкале:

$$\Delta_{\text{и}} = \frac{\gamma \cdot A_N}{100} = \frac{1{,}0 \cdot 5}{100} = 0{,}05\ \text{А}.$$

Шаг 4. Погрешность отсчёта. Глазом положение стрелки между штрихами точнее половины деления не определить, поэтому к погрешности прибора добавляют половину цены деления:

$$\Delta_{\text{отс}} = \frac{C}{2} = \frac{0{,}1}{2} = 0{,}05\ \text{А}.$$

Шаг 5. Суммарная погрешность и запись результата. Составляющие складываем и округляем сумму вверх до одной значащей цифры, а показание приводим к тому же разряду:

$$\Delta I = \Delta_{\text{и}} + \Delta_{\text{отс}} = 0{,}05 + 0{,}05 = 0{,}1\ \text{А}.$$ $$I = (2{,}8 \pm 0{,}1)\ \text{А}, \qquad \delta = \frac{\Delta I}{I} \cdot 100\% = \frac{0{,}1}{2{,}8} \cdot 100\% \approx 3{,}6\%.$$

Ответ. Цена деления шкалы $C = 0{,}1$ А/дел; результат измерения $I = (2{,}8 \pm 0{,}1)\ \text{А}$, относительная погрешность около $3{,}6\%$.

Формула цены деления: считаем промежутки, а не штрихи

Цена деления $C$ - это значение измеряемой величины, приходящееся на один промежуток шкалы. Формула короткая, но в ней две ловушки: какие штрихи брать и что считать буквой $n$.

$$C = \frac{A_2 - A_1}{n},$$

где $A_1$ и $A_2$ - значения двух оцифрованных (подписанных числами) штрихов, а $n$ - количество промежутков между ними. Оцифрованные штрихи нужны потому, что только у них известны значения: между мелкими делениями цену деления определить не из чего.

Штрихи брать не обязательно соседние подписанные - лишь бы промежутки считались на том же участке. Если на вольтметре подписаны отметки 0 и 100 В, а между ними 50 промежутков, то $C = 100/50 = 2$ В/дел. Ответ не изменится, если посчитать по паре 100 В и 150 В с 25 промежутками: шкала равномерная, и цена деления на ней одна и та же.

Главная арифметическая ошибка - считать штрихи вместо промежутков. Между отметками 2 А и 3 А лежит девять штрихов, но десять промежутков, и делить нужно на десять. Простой контроль: посчитай промежутки от подписанной отметки до подписанной, а не палочки на шкале.

Цену деления часто путают с ценой единицы измерения и с чувствительностью прибора. Чувствительность $S$ - величина, обратная цене деления: $S = 1/C$, она показывает, сколько делений даёт единица измеряемой величины. Для нашего амперметра $S = 1/0{,}1 = 10$ дел/А. Ещё одна соседняя характеристика - предел измерения и диапазон, они разобраны в материале про диапазон измерений и диапазон показаний.

Класс точности: как цена деления связана с погрешностью прибора

Класс точности стрелочного прибора - это приведённая погрешность в процентах: отношение предела допускаемой абсолютной погрешности к нормирующему значению, обычно к пределу измерения $A_N$. Число в кружке или без рамки на шкале и есть $\gamma$; что означают дополнительные символы, разобрано в статье про обозначение класса точности на шкале.

Отсюда важное следствие: абсолютная погрешность $\Delta_{\text{и}} = \gamma A_N / 100$ постоянна по всей шкале, а относительная растёт к её началу. В нашем примере на показании 2,8 А относительная погрешность около 3,6 %, а на показании 0,5 А та же абсолютная погрешность 0,05 А даст уже 10 %. Отсюда практическое правило электроизмерений: предел выбирают так, чтобы стрелка стояла во второй половине шкалы, ближе к верхнему пределу.

Цена деления и класс точности связаны не случайно. Производитель дробит шкалу так, чтобы половина деления была сопоставима с пределом допускаемой погрешности: мельчить дальше нет смысла, лишние штрихи создают иллюзию точности, которой у прибора нет. В нашей задаче обе составляющие вышли одинаковыми, по 0,05 А, - шкала согласована с классом. График в калькуляторе сверху показывает это наглядно: погрешность отсчёта падает с ростом числа делений как гипербола, а линия предела по классу горизонтальна, и после их пересечения точность упирается в сам прибор.

Как записать результат измерения

Запись результата - это не только число, но и погрешность с той же разрядностью. Порядок такой: посчитать погрешность, округлить её вверх до одной значащей цифры, а затем округлить показание до того же разряда.

$$A = (A_{\text{изм}} \pm \Delta A)\ \text{ед.}, \qquad \delta = \frac{\Delta A}{A_{\text{изм}}} \cdot 100\%.$$

Запись вида $2{,}80 \pm 0{,}1$ некорректна: сотые доли в показании не имеют смысла, если погрешность лежит в десятых. Обратный случай, $2{,}8 \pm 0{,}05$, тоже неверен - показание надо было довести до сотых. Подробные правила согласования разрядов собраны в материале про округление результата измерения и погрешности, а техника перевода абсолютной погрешности в относительную и подсчёт верных значащих цифр разобраны в задаче как найти абсолютную погрешность.

Если измерение однократное, как в нашей задаче, случайную составляющую не оценивают: погрешность целиком складывается из инструментальной и отсчётной. При многократных измерениях к ним добавляется случайная составляющая, и складывают уже квадратично.

Цена деления типовых приборов

Формула одна и та же для любой равномерной шкалы, меняются только единицы:

Отдельный случай - неравномерная шкала: у омметров, некоторых частотомеров и приборов с квадратичной характеристикой деления к концу шкалы сжимаются, и единой цены деления не существует. Для таких приборов цену деления определяют локально, на конкретном участке, и класс точности нормируют не по пределу, а по длине шкалы (в обозначении под числом появляется галочка).

Частые ошибки

• Считают штрихи, а не промежутки. Между двумя подписанными отметками промежутков на один больше, чем штрихов внутри. Из-за этого $n$ занижают на единицу, и цена деления получается завышенной.
• Берут неоцифрованные штрихи. Разность значений известна только для подписанных отметок, иначе в числителе формулы стоит взятое с потолка число.
• Погрешность по классу считают от показания. Приведённая погрешность нормируется по пределу измерения: $\Delta_{\text{и}} = \gamma A_N / 100$, а не $\gamma I / 100$. Это разные числа, и вторая формула занижает погрешность.
• Забывают делить класс на сто. Класс 1,0 - это 1,0 %, то есть коэффициент 0,01. Умножение предела на 1,0 вместо 0,01 даёт погрешность в сто раз больше.
• Приравнивают погрешность отсчёта к цене деления. Отсчётная составляющая равна половине деления, а не целому делению.
• Записывают результат с несогласованными разрядами. Показание и погрешность округляют до одного и того же разряда, погрешность - вверх и до одной значащей цифры.

FAQ

Чем цена деления отличается от предела измерения? Цена деления - это шаг шкалы, значение одного промежутка. Предел измерения - максимальное значение, которое прибор способен показать, то есть значение крайнего правого штриха. У амперметра из задачи цена деления 0,1 А, а предел 5 А.

Как найти цену деления, если подписаны не соседние отметки? Так же: делим разность значений подписанных отметок на число промежутков между ними. Для равномерной шкалы результат не зависит от выбранной пары штрихов, так что удобнее брать участок, где промежутки легко пересчитать.

Можно ли считать погрешность просто как половину цены деления? В школьной физике так и делают, потому что класс точности не задан. В электроизмерениях этого мало: у прибора есть собственный предел допускаемой погрешности по классу, и он может оказаться больше половины деления. Корректно брать сумму двух составляющих.

Как связаны цена деления и чувствительность прибора? Обратно: $S = 1/C$. Чем меньше цена деления, тем выше чувствительность и тем больше делений отклоняется стрелка на единицу измеряемой величины. Повышать чувствительность дроблением шкалы бессмысленно, если класс точности остаётся прежним.

Коротко

1. Цена деления считается по двум подписанным отметкам: $C = (A_2 - A_1)/n$, где $n$ - число промежутков между ними, а не число штрихов.
2. Показание набирается от нижней подписанной отметки: $I = A_1 + kC$.
3. Инструментальная погрешность берётся по классу точности от предела шкалы: $\Delta_{\text{и}} = \gamma A_N / 100$; погрешность отсчёта равна половине деления.
4. Результат записывают как $I \pm \Delta I$ с согласованными разрядами; относительная погрешность равна $\Delta I / I \cdot 100\%$.
5. Для задачи с амперметром: $C = 0{,}1$ А/дел, $I = (2{,}8 \pm 0{,}1)\ \text{А}$, $\delta \approx 3{,}6\%$.