Как найти приведённую погрешность измерения: пример

Дано: вольтметр с пределом измерений $X_N = 250$ В, действительное значение по образцовому прибору $X_{\text{д}} = 150{,}0$ В, показание поверяемого прибора $X_{\text{изм}} = 152{,}4$ В. Найти: абсолютную, относительную и приведённую погрешность, а также класс точности.

Приведённая погрешность - это абсолютная погрешность, отнесённая не к самому показанию, а к нормирующему значению шкалы, то есть $\gamma = \Delta / X_N \cdot 100\%$. Именно она нормируется стандартом и печатается на циферблате числом класса точности. Ответ: $\Delta = 2{,}4$ В, $\delta = 1{,}6\%$, $\gamma = 0{,}96\%$, класс точности 1,0. Калькулятор сверху пересчитает все три погрешности для другого предела и другой пары показаний и сразу покажет, какому классу из стандартного ряда прибор соответствует.

Решение по шагам

Дано.

Найти: $\Delta$, $\delta$, $\gamma$ и класс точности.

Шаг 1. Абсолютная погрешность. Это разность между показанием прибора и действительным значением измеряемой величины, в тех же единицах, что и сама величина:

$$\Delta = X_{\text{изм}} - X_{\text{д}} = 152{,}4 - 150{,}0 = 2{,}4\ \text{В}.$$

Знак говорит, что прибор завышает. Для оценки точности берут модуль, поэтому дальше работаем с числом 2,4 В.

Шаг 2. Относительная погрешность. Делим абсолютную погрешность на действительное значение - то, что реально показала стрелка:

$$\delta = \frac{\Delta}{X_{\text{д}}} \cdot 100\% = \frac{2{,}4}{150{,}0} \cdot 100\% = 1{,}6\%.$$

Шаг 3. Нормирующее значение. У вольтметра односторонняя шкала от 0 до 250 В, ноль стоит в её начале, поэтому нормирующим значением служит верхний предел измерений: $X_N = 250$ В. Это единственное место, где чаще всего ошибаются, и ниже разобран отдельный случай двусторонней шкалы.

Шаг 4. Приведённая погрешность. Делим ту же абсолютную погрешность уже на нормирующее значение:

$$\gamma = \frac{\Delta}{X_N} \cdot 100\% = \frac{2{,}4}{250} \cdot 100\% = 0{,}96\%.$$

Шаг 5. Класс точности. Класс - это приведённая погрешность, округлённая вверх до ближайшего числа стандартного ряда по ГОСТ 8.401-80: 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 4,0; 5,0; 6,0 и те же числа, умноженные на степени десяти, откуда берутся привычные 0,1; 0,2; 0,5. Число 0,96 попадает между 0,5 и 1,0, значит класс равен 1,0. Проверка в обратную сторону: классу 0,5 соответствует допуск $0{,}5 \cdot 250 / 100 = 1{,}25$ В, а прибор ошибся на 2,4 В, то есть в этот класс он не укладывается; классу 1,0 соответствует допуск 2,5 В, и 2,4 В в него входят.

Ответ: $\Delta = 2{,}4$ В, $\delta = 1{,}6\%$, $\gamma = 0{,}96\%$, класс точности прибора 1,0.

Формула и откуда она берётся

Все три погрешности используют одну и ту же абсолютную разность, а отличаются только тем, что стоит в знаменателе:

$$\Delta = X_{\text{изм}} - X_{\text{д}}, \qquad \delta = \frac{\Delta}{X_{\text{д}}} \cdot 100\%, \qquad \gamma = \frac{\Delta}{X_N} \cdot 100\%.$$

Абсолютная погрешность именована, две другие безразмерны и выражаются в процентах. Разница между $\delta$ и $\gamma$ принципиальна: относительная погрешность привязана к конкретному измерению и меняется от точки к точке шкалы, а приведённая привязана к прибору целиком и для него постоянна.

Почему стандарт нормирует именно $\gamma$, понятно из поведения $\delta$ у начала шкалы. Абсолютная погрешность стрелочного прибора определяется трением в опорах, люфтом и неточностью нанесения делений, то есть примерно одинакова по всей шкале. Если бы паспорт задавал относительную погрешность, её пришлось бы расписывать для каждой точки: при показании 2,5 В на том же вольтметре она достигла бы $2{,}4/2{,}5 = 96\%$, а у самого нуля обратилась бы в бесконечность. Нормирующее значение фиксировано, поэтому $\gamma$ остаётся одним числом на весь диапазон - его и печатают на шкале. Подробнее логика нормирования разобрана в статье про нормирование погрешности средств измерений.

Нормирующее значение: какое число ставить в знаменатель

Ошибка в выборе $X_N$ сразу даёт неверный класс, поэтому стандарт перечисляет случаи явно.

Отдельный случай - приборы, у которых погрешность нормируют не приведённой, а относительной погрешностью: у них класс печатают числом в кружке, и тогда он равен $\delta$, а не $\gamma$. У цифровых мультиметров вместо одного числа обычно указывают двучленную формулу вида $c/d$, где первое слагаемое отвечает за мультипликативную часть, а второе за аддитивную. Разбирать знак на циферблате помогает материал про обозначение класса точности на шкале прибора.

Выбор диапазона: почему 0,96 процента превращаются в 1,6

Класс 1,0 не означает, что любое измерение этим вольтметром выполнено с точностью 1 процент. Предел допускаемой абсолютной погрешности постоянен и равен

$$\Delta_{\text{доп}} = \frac{\gamma_{\text{кл}} \cdot X_N}{100} = \frac{1{,}0 \cdot 250}{100} = 2{,}5\ \text{В},$$

а относительная погрешность конкретного измерения получается делением этой постоянной на текущее показание:

$$\delta(X) = \frac{\Delta_{\text{доп}}}{X} \cdot 100\% = \gamma_{\text{кл}} \cdot \frac{X_N}{X}.$$

При $X = 150$ В это даёт $1{,}0 \cdot 250/150 \approx 1{,}67\%$ - и найденные в задаче 1,6 процента почти упираются в этот предел. Если бы то же напряжение мерили вольтметром с пределом 150 В того же класса, допуск составил бы 1,5 В, а относительная погрешность - ровно 1,0 процента. Отсюда практическое правило: диапазон подбирают так, чтобы показание попадало в верхнюю треть шкалы, а не брали прибор «с запасом». Та же зависимость всплывает, когда по шкале считают цену деления и погрешность отсчёта.

Обратная задача: класс известен, погрешность неизвестна

Чаще встречается обратный ход: класс напечатан на приборе, и по нему надо оценить погрешность измерения. Манометр класса 1,5 с пределом 1,6 МПа даёт $\Delta_{\text{доп}} = 1{,}5 \cdot 1{,}6/100 = 0{,}024$ МПа, то есть 24 кПа по всей шкале. При показании 0,60 МПа относительная погрешность равна $0{,}024/0{,}60 \cdot 100\% = 4\%$, а при показании 1,5 МПа - всего 1,6 процента. Результат записывают как $p = (0{,}600 \pm 0{,}024)$ МПа, округляя погрешность до одной-двух значащих цифр и подгоняя разряд самого значения под разряд погрешности. Правила записи и округления результата подробнее разобраны там, где считают абсолютную и относительную погрешность приближения.

Частые ошибки

• Делить на показание вместо нормирующего значения. Так получается относительная погрешность: в нашем примере 1,6 процента вместо 0,96, и класс прибора вышел бы завышенным до 2,0.
• Брать у двусторонней шкалы разность пределов. Для шкалы от минус 5 до плюс 5 А нормирующее значение равно 10 А, то есть сумме модулей, а не 5 А.
• Округлять класс вниз. Числа 0,96 в стандартном ряду нет, и записать «класс 0,9» нельзя: округление всегда идёт вверх, иначе паспорт обещает точность, которой у прибора нет.
• Путать класс точности с погрешностью измерения. Класс равен относительной погрешности только в одной точке - на пределе шкалы, во всех остальных точках $\delta$ больше.
• Терять модуль. Отклонение может быть отрицательным, но приведённая погрешность и класс - величины неотрицательные, в расчёт идёт $\lvert \Delta \rvert$.
• Проверять прибор в одной точке. При поверке снимают показания по нескольким отметкам и в класс закладывают наибольшую из найденных приведённых погрешностей.

FAQ

Чем приведённая погрешность отличается от относительной? Числитель у них один и тот же - абсолютная погрешность. В относительной знаменатель равен измеренному значению и меняется при каждом измерении, в приведённой он равен нормирующему значению шкалы и постоянен для прибора.

Может ли приведённая погрешность оказаться больше относительной? При измерении в пределах шкалы - нет. Поскольку показание не превосходит нормирующего значения, знаменатель у $\gamma$ не меньше, и потому $\gamma \le \delta$; совпадают они только при показании на самом пределе шкалы.

Как найти приведённую погрешность, если шкала начинается не с нуля? Нормирующим значением берут разность верхнего и нижнего пределов. Для термометра на 200...400 градусов это 200 градусов, а не 400.

Зачем вообще нужен стандартный ряд классов? Он делает приборы сравнимыми между собой и позволяет одним числом на циферблате задать допуск на всю шкалу. Производителю выгодно объявить ближайший больший класс: тогда любой прибор партии с запасом укладывается в обещанный предел.

Коротко

1. Найди абсолютную погрешность: $\Delta = X_{\text{изм}} - X_{\text{д}} = 152{,}4 - 150{,}0 = 2{,}4$ В.
2. Определи нормирующее значение: для односторонней шкалы с нулём в начале это верхний предел, $X_N = 250$ В.
3. Раздели одно на другое: $\gamma = 2{,}4/250 \cdot 100\% = 0{,}96\%$ - это и есть приведённая погрешность.
4. Округли вверх до стандартного ряда ГОСТ 8.401-80 - получается класс точности 1,0 при допуске 2,5 В.
5. Не путай с относительной погрешностью того же измерения: $\delta = 2{,}4/150{,}0 \cdot 100\% = 1{,}6\%$, и она тем больше, чем дальше показание от предела шкалы.