Как рассчитать расход жидкости: формула и пример

Дано: внутренний диаметр трубы $d_1 = 100$ мм, средняя скорость воды $v_1 = 1{,}8$ м/с, дальше участок сужается до $d_2 = 63$ мм. Найти: объёмный расход в л/с и м³/ч и скорость в узком сечении.

Расход считается по формуле $Q = v S$: площадь живого сечения находится по диаметру, умножается на среднюю скорость, результат переводится в удобные единицы. Ответ: $Q = 14{,}1$ л/с $= 50{,}9$ м³/ч, скорость в сужении $v_2 = 4{,}54$ м/с. Калькулятор сверху считает то же самое для любых диаметров и умеет второй способ, когда известны объём мерного бака и время его наполнения.

Решение по шагам

Дано: $d_1 = 100$ мм, $v_1 = 1{,}8$ м/с, $d_2 = 63$ мм. Найти: $Q$ и $v_2$.

Шаг 1. Переводим диаметры в метры. Формула расхода работает в системе СИ, а диаметры труб в справочниках даны в миллиметрах. Делим на 1000: $d_1 = 0{,}1$ м, $d_2 = 0{,}063$ м. Этот шаг кажется формальным, но именно на нём теряется больше всего баллов.

Шаг 2. Считаем площадь живого сечения. Труба круглая и заполнена целиком, поэтому живое сечение равно площади круга:

$$S_1 = \frac{\pi d_1^2}{4} = \frac{3{,}1416 \cdot 0{,}1^2}{4} = 0{,}00785\ \text{м}^2.$$

Шаг 3. Находим объёмный расход. Подставляем площадь и среднюю скорость в основную формулу:

$$Q = v_1 S_1 = 1{,}8 \cdot 0{,}00785 = 0{,}01414\ \text{м}^3/\text{с}.$$

Шаг 4. Переводим в практичные единицы. Кубометры в секунду в задачах почти не используют: расход насосов и водомеров указывают в литрах в секунду или в кубометрах в час.

$$Q = 0{,}01414 \cdot 1000 = 14{,}14\ \text{л/с}, \qquad Q = 0{,}01414 \cdot 3600 = 50{,}9\ \text{м}^3/\text{ч}.$$

Шаг 5. Считаем скорость в суженном участке. Через любое сечение трубы за секунду проходит один и тот же объём, поэтому $v_1 S_1 = v_2 S_2$. Площади относятся как квадраты диаметров, и скорость выражается сразу через них:

$$v_2 = v_1 \left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2 = 1{,}8 \cdot \left(\frac{100}{63}\right)^2 = 1{,}8 \cdot 2{,}52 = 4{,}54\ \text{м/с}.$$

Ответ. Расход жидкости $Q = 0{,}01414$ м³/с $= \textbf{14,1 л/с} = \textbf{50,9 м}^3\textbf{/ч}$, средняя скорость в сужении $\textbf{4,54 м/с}$.

Проверка занимает одну строку. Площадь узкого сечения $S_2 = \pi \cdot 0{,}063^2 / 4 = 0{,}00312$ м², и расход через него $Q = 4{,}54 \cdot 0{,}00312 = 0{,}01414$ м³/с. Число совпало с шагом 3, значит неразрывность соблюдена и арифметика верна.

Формула расхода и откуда она берётся

Объёмный расход по определению есть объём жидкости, проходящий через сечение за единицу времени: $Q = V / t$. Чтобы связать это определение со скоростью, посмотрим, какой объём успевает пройти через сечение $S$ за время $t$. Частицы, движущиеся со скоростью $v$, за это время проходят путь $v t$, то есть через сечение протискивается цилиндр длиной $v t$ и площадью $S$.

Объём такого цилиндра равен $V = S v t$. Подставляем его в определение и получаем рабочую формулу:

$$Q = \frac{V}{t} = \frac{S v t}{t} = v S.$$

Буква $S$ здесь обозначает не площадь трубы, а площадь живого сечения, то есть той части, что реально занята жидкостью. Для напорной трубы, заполненной целиком, это площадь круга по внутреннему диаметру. Для безнапорного лотка или наполовину заполненной трубы живое сечение меньше, и площадь придётся считать геометрически.

Скорость $v$ в формуле тоже особая: она средняя по сечению. Реальная скорость распределена неравномерно, у стенки жидкость тормозится вязкостью, по оси идёт быстрее всего. Среднюю скорость как раз и определяют так, чтобы произведение $v S$ дало верный расход, поэтому в расчётах ей можно пользоваться, не вникая в форму эпюры.

Перевод единиц: л/с, м³/ч, л/мин

Половина ошибок в задачах на расход приходится не на формулу, а на единицы. Все переводы держатся на двух равенствах: в кубометре 1000 литров, в часе 3600 секунд.

Запоминать всю таблицу не нужно, достаточно коэффициента 3,6 между л/с и м³/ч. Он выводится за секунду: литр в секунду это 3600 литров в час, то есть 3,6 кубометра в час.

Рядом с объёмным расходом в задачах встречается массовый: $G = \rho Q$. Для воды плотностью 1000 кг/м³ расход 0,01414 м³/с даёт $G = 14{,}14$ кг/с. Числовое значение массового расхода в кг/с совпадает с объёмным в л/с только для воды, для нефти или раствора коэффициент будет другим.

Второй способ: расход по объёму за время

Когда скорость измерить нечем, расход определяют объёмным методом: подставляют мерную ёмкость и засекают время наполнения. Формула та же исходная, $Q = V / t$.

Для нашего примера обратная задача выглядит так: бак на 1 м³ наполняется за 70,7 с. Тогда $Q = 1 / 70{,}7 = 0{,}01414$ м³/с, то есть те же 14,14 л/с. Переключи калькулятор сверху на режим «Объём за время», и он посчитает по этим двум числам не только расход, но и среднюю скорость в трубе.

Способ хорош тем, что не зависит от формы сечения и профиля скоростей: сколько налилось, столько и прошло. Ограничение у него одно, поток должно быть куда собрать, поэтому в напорной сети так меряют только на выпуске. В остальных случаях ставят расходомер, а средняя скорость определяется трубкой Пито или ультразвуковым датчиком.

Труба переменного сечения: где скорость становится опасной

Расход вдоль трубопровода без отборов постоянен, а скорость меняется обратно квадрату диаметра. В нашей задаче диаметр уменьшился всего в 1,59 раза, а скорость выросла в 2,52 раза, с 1,8 до 4,54 м/с. Подробный вывод соотношения $S_1 v_1 = S_2 v_2$ разобран в статье про уравнение неразрывности струи.

Полученные 4,54 м/с стоит оценить не только математически. Для напорных водоводов рекомендуемый коридор средних скоростей примерно 0,8-2,5 м/с: ниже начинают выпадать взвеси, выше растёт шум, гидроудар и потери напора. На графике в калькуляторе этот коридор показан зелёной полосой, и точка суженного участка выходит из неё вверх. Вывод инженерный: такое сужение допустимо как местное, но не как рабочий диаметр линии.

Потери напора реагируют на скорость ещё резче, они пропорциональны её квадрату. Рост скорости в 2,52 раза увеличивает потери на участке примерно в 6,3 раза, а точный расчёт требует коэффициента трения, о котором есть отдельный разбор про число Рейнольдса и коэффициент гидравлического трения. Если же поток идёт по нескольким веткам, расход делится между ними обратно пропорционально сопротивлениям, и считать нужно уже параллельное соединение трубопроводов.

Истечение через отверстие: тот же расход с коэффициентом

Отдельный тип задач на расход, это истечение через отверстие или насадок. Формула $Q = v S$ работает и там, но скорость берётся не из условия, а из напора: $v = \sqrt{2 g H}$. Кроме того, струя за отверстием сжимается и тормозится, поэтому в расчёт вводят коэффициент расхода $\mu$, который для круглого отверстия в тонкой стенке равен примерно 0,62:

$$Q = \mu S \sqrt{2 g H}.$$

Для отверстия диаметром 20 мм при напоре 1,5 м получается $S = 3{,}14 \cdot 10^{-4}$ м², $\sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 1{,}5} = 5{,}42$ м/с и $Q = 0{,}62 \cdot 3{,}14 \cdot 10^{-4} \cdot 5{,}42 = 1{,}06 \cdot 10^{-3}$ м³/с, то есть 1,06 л/с. Из чего складывается $\mu$ и чем он отличается от коэффициента скорости, подробно разобрано в статье про коэффициент скорости истечения.

Частые ошибки

• Радиус подставили вместо диаметра. В формулу $S = \pi d^2 / 4$ идёт диаметр, а в формулу $S = \pi r^2$ радиус. Смешение даёт площадь и расход в четыре раза больше.
• Миллиметры не перевели в метры. Подстановка $d = 100$ вместо $0{,}1$ завышает площадь в миллион раз. Переводить единицы нужно до расчёта, а не после.
• Взяли наружный диаметр вместо внутреннего. Труба 108x4 мм имеет внутренний диаметр $108 - 2 \cdot 4 = 100$ мм, и считать нужно именно по нему.
• Перепутали л/с и м³/ч. Между ними множитель 3,6, а не 3600. Ответ 50,9 вместо 14,14 в задаче, где просили л/с, стоит целого балла.
• В сужении поделили скорость на отношение диаметров. Скорость растёт как квадрат отношения: не в 1,59 раза, а в 2,52.
• Решили, что при сужении растёт и расход. Расход остаётся прежним, меняется только скорость, иначе жидкость накапливалась бы в трубе.

FAQ

Чем объёмный расход отличается от массового? Объёмный измеряется в м³/с и л/с, массовый в кг/с, и связаны они плотностью: $G = \rho Q$. Для воды при 1000 кг/м³ число в кг/с численно совпадает с числом в л/с, но для других жидкостей это совпадение пропадает.

Как быстро перевести л/с в м³/ч? Умножить на 3,6. Обратный перевод, из м³/ч в л/с, это деление на 3,6 или умножение на 0,2778.

Меняется ли расход, если труба сужается? Нет, если по пути нет отборов и утечек. Постоянным остаётся именно расход, а средняя скорость растёт обратно пропорционально площади сечения.

По какой скорости считать, если поток неравномерный? По средней по сечению, её и дают в условии задач. Максимальная скорость по оси трубы при турбулентном режиме примерно на 15-20 процентов выше средней, и подставлять её в $Q = v S$ нельзя.

Коротко

1. Переведи диаметр в метры и найди площадь живого сечения: $S = \pi d^2 / 4$.
2. Умножь площадь на среднюю скорость: $Q = v S$, результат получится в м³/с.
3. Переведи в практичные единицы: умножь на 1000 для л/с и на 3600 для м³/ч, между л/с и м³/ч множитель 3,6.
4. Если скорость неизвестна, используй объёмный метод $Q = V / t$ по времени наполнения мерной ёмкости.
5. Скорость в другом сечении ищи из неразрывности $v_2 = v_1 (d_1 / d_2)^2$, а расход при этом не меняется.
6. В примере: $S_1 = 0{,}00785$ м², $Q = 14{,}14$ л/с $= 50{,}9$ м³/ч, $v_2 = 4{,}54$ м/с, что выше рекомендуемого коридора 0,8-2,5 м/с.