Как построить пьезометрическую линию: пример расчёта

Дано: бак с отметкой уровня воды $H_0 = 12{,}0$ м, из него идёт трубопровод из двух участков: первый $d_1 = 100$ мм длиной $l_1 = 40$ м с осью на отметке $6{,}0$ м, второй $d_2 = 125$ мм длиной $l_2 = 30$ м с понижением оси до $3{,}0$ м. Расход $Q = 12$ л/с, коэффициент гидравлического трения $\lambda = 0{,}03$, вход в трубу с острой кромкой ($\zeta_{\text{вх}} = 0{,}5$). Найти: отметки напоров в характерных сечениях, построить пьезометрическую и напорную линии, определить давление в конце.

Порядок один и тот же для любой схемы: считаем потери на каждом участке, вычитаем их из начального напора и получаем линию полного напора, а потом опускаемся от неё вниз на скоростной напор и получаем пьезометрическую линию. Ответ: суммарные потери $1{,}853$ м, полный напор в конце $10{,}15$ м, напор давления там же $7{,}10$ м вод. ст., или $69{,}6$ кПа. Калькулятор сверху перестраивает обе линии под другие диаметры, длины, расход и отметки, а ниже идёт расчёт по шагам.

Решение по шагам

Шаг 1. Скорости и скоростные напоры. Площадь живого сечения находим по диаметру, скорость - делением расхода на площадь (подробнее это разобрано в задаче про расход жидкости):

$$\begin{aligned} S_1 &= \frac{\pi d_1^2}{4} = \frac{3{,}1416 \cdot 0{,}1^2}{4} = 0{,}00785\ \text{м}^2, & v_1 &= \frac{0{,}012}{0{,}00785} = 1{,}53\ \text{м/с}, \\ S_2 &= \frac{\pi d_2^2}{4} = \frac{3{,}1416 \cdot 0{,}125^2}{4} = 0{,}01227\ \text{м}^2, & v_2 &= \frac{0{,}012}{0{,}01227} = 0{,}978\ \text{м/с}. \end{aligned}$$

Скоростные напоры: $\dfrac{v_1^2}{2g} = \dfrac{1{,}53^2}{19{,}62} = 0{,}119$ м и $\dfrac{v_2^2}{2g} = \dfrac{0{,}978^2}{19{,}62} = 0{,}049$ м. Это и есть будущий зазор между двумя линиями: на первом участке он 12 см, на втором меньше 5 см.

Шаг 2. Потери напора. Их четыре: вход в трубу, трение на первом участке, внезапное расширение на стыке и трение на втором участке.

$$\begin{aligned} h_{\text{вх}} &= \zeta_{\text{вх}} \frac{v_1^2}{2g} = 0{,}5 \cdot 0{,}119 = 0{,}059\ \text{м}, \\ h_{\text{тр1}} &= \lambda \frac{l_1}{d_1} \frac{v_1^2}{2g} = 0{,}03 \cdot \frac{40}{0{,}1} \cdot 0{,}119 = 1{,}428\ \text{м}, \\ h_{\text{расш}} &= \frac{(v_1 - v_2)^2}{2g} = \frac{(1{,}53 - 0{,}978)^2}{19{,}62} = 0{,}015\ \text{м}, \\ h_{\text{тр2}} &= \lambda \frac{l_2}{d_2} \frac{v_2^2}{2g} = 0{,}03 \cdot \frac{30}{0{,}125} \cdot 0{,}049 = 0{,}351\ \text{м}. \end{aligned}$$

Сумма: $\sum h_w = 0{,}059 + 1{,}428 + 0{,}015 + 0{,}351 = 1{,}853$ м. Почти всё съедает трение на узком первом участке - это типично, и именно поэтому напорная линия там самая крутая.

Шаг 3. Отметки полного напора. Начинаем от уровня воды в баке: там скорость практически нулевая, избыточное давление нулевое, поэтому полный напор равен отметке свободной поверхности, $12{,}0$ м. Дальше вычитаем потери по порядку их появления:

$$\begin{aligned} H_1 &= 12{,}000 - 0{,}059 = 11{,}941\ \text{м}, \\ H_2 &= 11{,}941 - 1{,}428 = 10{,}513\ \text{м}, \\ H_3 &= 10{,}513 - 0{,}015 = 10{,}498\ \text{м}, \\ H_4 &= 10{,}498 - 0{,}351 = 10{,}147\ \text{м}. \end{aligned}$$

Шаг 4. Пьезометрические отметки. Из каждой отметки полного напора вычитаем скоростной напор того же сечения, а напор давления получаем вычитанием отметки оси трубы. Сводим всё в таблицу - её и переносят на чертёж.

Шаг 5. Построение. По горизонтали откладываем длину (масштаб 1:500), по вертикали - отметки (масштаб 1:100, вертикальный всегда крупнее). Сначала наносим ось трубопровода: горизонталь на 6,0 м до отметки 40 м, затем спуск до 3,0 м. Потом по точкам из предпоследней колонки проводим линию полного напора, по последней - пьезометрическую. Обе на прямых участках - прямые: при постоянном диаметре и расходе потери растут по длине линейно. В точках местных сопротивлений ставим вертикальные отрезки: скачок вниз на 0,059 м у входа и на 0,015 м на стыке.

Ответ: напорная линия падает с 12,000 до 10,147 м, пьезометрическая - с 12,000 до 10,098 м, давление в конечном сечении $p = 7{,}10 \cdot 1000 \cdot 9{,}81 = 69{,}6$ кПа.

Откуда берутся обе линии

Основа построения - уравнение Бернулли для потока реальной жидкости между двумя сечениями:

$$z_1 + \frac{p_1}{\rho g} + \frac{\alpha v_1^2}{2g} = z_2 + \frac{p_2}{\rho g} + \frac{\alpha v_2^2}{2g} + h_w.$$

Каждое слагаемое имеет размерность длины, то есть измеряется в метрах столба жидкости, и потому все их можно отложить на одном чертеже по вертикали. Смысл трёх слагаемых слева разобран в статье про геометрический, пьезометрический и скоростной напор - здесь важно только то, что сумма первых двух даёт пьезометрическую отметку, а сумма всех трёх - отметку полного напора.

Отсюда определения. Линия полного напора (напорная линия) соединяет точки $z + p/\rho g + v^2/2g$ и показывает полный запас удельной энергии потока. Пьезометрическая линия соединяет точки $z + p/\rho g$: это уровни, на которые поднялась бы вода в пьезометрах, врезанных в трубу. Первая всегда лежит выше второй ровно на скоростной напор, и они совпадают только там, где скорость равна нулю - например, на свободной поверхности в баке.

Коэффициент Кориолиса $\alpha$ при турбулентном режиме принимают равным единице, что мы и сделали. Проверка режима: $\mathrm{Re} = v_1 d_1 / \nu = 1{,}53 \cdot 0{,}1 / 10^{-6} \approx 1{,}5 \cdot 10^5$, то есть течение турбулентное и значение $\lambda = 0{,}03$ для стальной трубы с шероховатостью около 0,5 мм оправдано. Как $\lambda$ связан с числом Рейнольдса, показано в разборе коэффициента гидравлического трения.

Уклоны: гидравлический и пьезометрический

Крутизна линий - это и есть уклон. Гидравлический уклон $i = h_w / l$ показывает, сколько метров напора теряется на метре длины, пьезометрический уклон $i_p$ считают так же, но по пьезометрической линии. На нашем первом участке

$$i_1 = \frac{1{,}428}{40} = 0{,}0357, \qquad i_2 = \frac{0{,}351}{30} = 0{,}0117.$$

Труба стала шире - уклон упал втрое, хотя расход тот же: потери по длине пропорциональны квадрату скорости, а скорость обратно пропорциональна квадрату диаметра. Это главный практический вывод из формулы Дарси-Вейсбаха: увеличение диаметра на четверть срезает потери в разы.

Гидравлический уклон всегда положителен: энергия потока может только убывать. Пьезометрический уклон знака не имеет и на участке постоянного диаметра совпадает с гидравлическим, потому что скоростной напор не меняется.

Когда пьезометрическая линия идёт вверх

В таблице видно странное на первый взгляд место: между сечениями 2-2 и 3-3 полный напор упал с 10,513 до 10,498 м, а пьезометрическая отметка выросла с 10,394 до 10,449 м. Ошибки тут нет. На расширении скорость падает почти вдвое, скоростной напор уменьшается с 0,119 до 0,049 м, и высвободившаяся кинетическая энергия переходит в давление. Часть её съедается вихрями (те самые 0,015 м местных потерь), остальное поднимает пьезометрическую линию.

То же самое происходит на втором участке за счёт геометрии: ось трубы опускается на 3 метра, пьезометрическая отметка падает всего на 0,35 м, и напор давления вырастает с 4,45 до 7,10 м. На спусках давление в трубе растёт, на подъёмах падает - именно поэтому высокие точки трассы проверяют на вакуум.

Если пьезометрическая линия опускается ниже оси трубопровода, давление в этом месте становится меньше атмосферного. Вакуум глубже 7-8 м вод. ст. недопустим: вода вскипает при комнатной температуре, поток разрывается, и подача прекращается. Подвигай в калькуляторе отметку конца вверх при напоре в баке 12 м - линия пересечёт ось трубы, и показатель напора давления станет отрицательным.

Частые ошибки

• Начинают линию не от того уровня. Отсчёт ведётся от свободной поверхности в баке, а не от оси трубы: в баке скорость нулевая, поэтому полный напор там равен отметке уровня воды.
• Забывают потерю на входе. Она невелика (0,059 м), но сразу сдвигает обе линии вниз, и без неё все последующие отметки завышены.
• Путают, какая линия сверху. Выше всегда напорная: пьезометрическая получается вычитанием $v^2/2g$, а этот член неотрицателен.
• Строят пьезометрическую линию монотонно падающей. На расширениях и спусках она поднимается, монотонно убывает только линия полного напора.
• Смешивают пьезометрическую отметку и напор давления. Первая отсчитывается от плоскости сравнения и равна $z + p/\rho g$, второй - вертикальный отрезок от оси трубы до линии, то есть разность отметок.
• Берут одинаковые масштабы по осям. При масштабе длины 1:500 и высоты 1:100 уклон виден; при равных масштабах линии сливаются с осью трубы.

FAQ

Чем пьезометрическая линия отличается от напорной? Пьезометрическая показывает сумму геометрического и пьезометрического напоров, то есть уровень воды в пьезометрах; напорная добавляет к ней скоростной напор и показывает полную удельную энергию. Расстояние между ними по вертикали в каждом сечении равно $v^2/2g$.

Может ли пьезометрическая линия подниматься по течению? Да, на расширении трубы и на понижении трассы. Линия полного напора подниматься не может никогда: это противоречило бы закону сохранения энергии при отсутствии насоса.

Что делать, если в трубопроводе стоит насос? В сечении насоса обе линии делают вертикальный скачок вверх на величину напора насоса, а дальше снова идут вниз с гидравлическим уклоном. Потери до насоса считаются по всасывающей линии, после - по напорной.

Как построить линию, если известны показания манометров? Пьезометрическую отметку каждой точки получают как $z + p/\rho g$, где $p$ - избыточное давление манометра. Соединив две такие точки, сразу находят и потери напора между ними, и пьезометрический уклон.

Коротко

1. Посчитай скорости и скоростные напоры во всех сечениях: $v = Q/S$, $h_v = v^2/2g$.
2. Найди все потери - по длине через $\lambda \frac{l}{d} \frac{v^2}{2g}$ и местные через $\zeta \frac{v^2}{2g}$.
3. Отложи от уровня воды в баке линию полного напора, вычитая потери нарастающим итогом.
4. Опусти от неё в каждом сечении отрезок $v^2/2g$ - это и есть пьезометрическая линия; её превышение над осью трубы равно напору давления.
5. В разобранном примере потери составили 1,853 м, полный напор в конце 10,147 м, давление в конечном сечении 69,6 кПа.