Как рассчитать центробежный насос: напор и мощность

Дано: подача $Q = 12$ л/с, геометрическая высота подъёма $H_{\text{г}} = 18$ м, трубопровод $d = 100$ мм и $L = 120$ м, коэффициент гидравлического трения $\lambda = 0{,}03$, сумма коэффициентов местных сопротивлений $\sum\zeta = 8$, КПД насоса $\eta = 0{,}7$. Найти: требуемый напор, рабочую точку и мощность двигателя.

Рассчитать центробежный насос значит сложить геометрическую высоту подъёма с потерями напора в трубопроводе, по полученной паре «подача плюс напор» взять насос из каталога и проверить его по рабочей точке и по мощности. Ответ: требуемый напор 23,24 м, рабочая точка 12,2 л/с при 23,40 м, мощность на валу 4,00 кВт, двигатель 5,5 кВт. Калькулятор сверху пересчитает всё под твои диаметры и длины и сразу покажет пересечение характеристик.

Решение по шагам

Шаг 1. Средняя скорость и скоростной напор. Площадь живого сечения трубы и скорость потока:

$$S = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{3{,}1416 \cdot 0{,}1^2}{4} = 0{,}00785\ \text{м}^2, \qquad v = \frac{Q}{S} = \frac{0{,}012}{0{,}00785} = 1{,}53\ \text{м/с}.$$

Скорость попала в рекомендуемый для напорных водоводов коридор 0,8-2,5 м/с, значит диаметр выбран разумно и переделывать трубопровод не придётся. Подробнее связка подачи, сечения и скорости разобрана в задаче про расход жидкости в трубе. Дальше всюду понадобится скоростной напор:

$$\frac{v^2}{2g} = \frac{1{,}53^2}{2 \cdot 9{,}81} = 0{,}119\ \text{м}.$$

Шаг 2. Потери напора по длине. Считаем по формуле Дарси-Вейсбаха: длина, делённая на диаметр, даёт число «калибров» трубы, и каждый из них съедает свою долю скоростного напора.

$$h_l = \lambda \, \frac{L}{d} \cdot \frac{v^2}{2g} = 0{,}03 \cdot \frac{120}{0{,}1} \cdot 0{,}119 = 36 \cdot 0{,}119 = 4{,}28\ \text{м}.$$

Шаг 3. Местные потери. Задвижки, колена, обратный клапан и вход в трубу заданы суммарным коэффициентом $\sum\zeta = 8$:

$$h_{\text{м}} = \sum\zeta \cdot \frac{v^2}{2g} = 8 \cdot 0{,}119 = 0{,}95\ \text{м}.$$

Суммарные потери напора в трубопроводе:

$$h_w = h_l + h_{\text{м}} = 4{,}28 + 0{,}95 = 5{,}24\ \text{м}.$$

Шаг 4. Требуемый напор насоса. Оба резервуара открыты в атмосферу, поэтому разность давлений в напор не входит:

$$H_{\text{тр}} = H_{\text{г}} + h_w = 18 + 5{,}24 = 23{,}24\ \text{м}.$$

Шаг 5. Рабочая точка. Из каталога берём насос, у которого напор при закрытой задвижке $H_0 = 30$ м, а подача при нулевом напоре $Q_0 = 26$ л/с. Тогда крутизна характеристики $b = H_0 / Q_0^2 = 30/676 = 0{,}0444$, а сопротивление сети $S_{\text{с}} = h_w / Q^2 = 5{,}24/144 = 0{,}0364$ (подача в л/с). Приравниваем напоры:

$$Q_{\text{раб}} = \sqrt{\frac{H_0 - H_{\text{г}}}{b + S_{\text{с}}}} = \sqrt{\frac{30 - 18}{0{,}0444 + 0{,}0364}} = \sqrt{148{,}6} = 12{,}2\ \text{л/с},$$ $$H_{\text{раб}} = H_{\text{г}} + S_{\text{с}} Q_{\text{раб}}^2 = 18 + 0{,}0364 \cdot 148{,}6 = 23{,}40\ \text{м}.$$

Подача в рабочей точке чуть больше требуемых 12 л/с, то есть насос перекрывает задание с небольшим запасом.

Шаг 6. Мощность. Полезная мощность считается по фактическим значениям рабочей точки, а не по заданным:

$$N_{\text{п}} = \rho g Q_{\text{раб}} H_{\text{раб}} = 1000 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}0122 \cdot 23{,}40 = 2799\ \text{Вт} = 2{,}80\ \text{кВт}.$$ $$N = \frac{N_{\text{п}}}{\eta} = \frac{2{,}80}{0{,}7} = 4{,}00\ \text{кВт}, \qquad N_{\text{дв}} = k \, N = 1{,}25 \cdot 4{,}00 = 5{,}00\ \text{кВт}.$$

Ответ. Требуемый напор $H_{\text{тр}} = 23{,}24$ м; рабочая точка $Q_{\text{раб}} = 12{,}2$ л/с при $H_{\text{раб}} = 23{,}40$ м; мощность на валу 4,00 кВт, электродвигатель ближайшего типоразмера 5,5 кВт.

Формула требуемого напора и откуда она берётся

Формула $H_{\text{тр}} = H_{\text{г}} + h_w$ выглядит слишком простой, и из-за этого её часто применяют не к тому. Она получается из уравнения Бернулли, записанного для двух свободных поверхностей: в приёмном резервуаре и в напорном. На обеих поверхностях давление атмосферное, а скорость практически нулевая, поэтому скоростные и пьезометрические члены сокращаются, и насос обязан покрыть ровно две вещи: подъём жидкости на высоту $H_{\text{г}}$ и все гидравлические потери по пути.

В общем виде, когда резервуары закрыты и в них разные давления, к напору добавляется третье слагаемое:

$$H_{\text{тр}} = H_{\text{г}} + \frac{p_2 - p_1}{\rho g} + h_w.$$

Геометрическая высота отсчитывается между уровнями жидкости, а не между осью насоса и точкой излива, и в неё входит участок всасывания. Потери $h_w$ суммируются по всему тракту: и по всасывающей линии, и по нагнетательной. Разбивка на два слагаемых, трение по длине и местные сопротивления, разобрана в статьях про потери напора по формуле Дарси-Вейсбаха и про коэффициенты местных сопротивлений.

Ключевое свойство потерь: они растут как квадрат расхода. Поэтому характеристика трубопровода $H_{\text{с}}(Q) = H_{\text{г}} + S_{\text{с}} Q^2$ - парабола, поднятая над осью абсцисс на высоту подъёма. Коэффициент $S_{\text{с}}$ собирает в себе диаметр, длину, шероховатость и всю арматуру; менять его можно только переделкой трубопровода или прикрытием задвижки.

Рабочая точка: где насос будет работать на самом деле

Главная ловушка расчёта в том, что пара $(Q, H_{\text{тр}}) = (12; 23{,}24)$ - это требование к насосу, а не режим его работы. Насос с точно такой характеристикой в каталоге не найдётся: подобранный агрегат почти всегда даёт при нужной подаче чуть больший напор, и система сама уходит вправо по кривой, пока избыток напора не израсходуется на дополнительные потери.

Именно это и произошло в нашей задаче. При $Q = 12$ л/с насос развивает $30 - 0{,}0444 \cdot 144 = 23{,}61$ м против требуемых 23,24 м. Лишние 0,37 м напора разгоняют поток, подача подрастает до 12,2 л/с, потери увеличиваются, и равновесие устанавливается в точке пересечения двух кривых. Форма самой кривой $H(Q)$ и её физический смысл подробно разобраны в статье про напорную характеристику центробежного насоса - здесь она нужна только как инструмент подбора.

Практический вывод: запас по напору при подборе нужен, но умеренный. Насос с $H_0 = 45$ м на той же сети ушёл бы в рабочую точку около 18 л/с, стал бы потреблять почти вдвое больше мощности и работал бы далеко справа от точки наибольшего КПД. Избыточную подачу пришлось бы душить задвижкой, то есть греть воду вместо того, чтобы её качать. Нормальный запас по напору составляет 5-10 %, по подаче - 10-15 %.

Мощность на валу и подбор двигателя

Полезная мощность $N_{\text{п}} = \rho g Q H$ - это энергия, которую насос действительно передал жидкости за секунду. Всё, что тратится на трение в подшипниках, утечки через уплотнения и вихри внутри рабочего колеса, учитывает КПД: мощность на валу равна $N = N_{\text{п}}/\eta$. У центробежных насосов средней подачи КПД лежит в диапазоне 0,6-0,8, у нас принято 0,7.

Двигатель берут не «в упор», а с коэффициентом запаса $k$, который покрывает пусковые режимы и работу с отклонением от расчётной точки: при мощности до 1 кВт принимают $k = 1{,}5$, от 1 до 5 кВт - $k = 1{,}25$, от 5 до 50 кВт - $k = 1{,}15$. Расчётные 5,00 кВт округляются вверх до ближайшего типоразмера стандартного ряда, то есть до 5,5 кВт.

Проверка на кавитацию: допустимая высота всасывания

Подбор не закончен, пока насос не проверен на всасывание. Если абсолютное давление на входе в рабочее колесо падает до давления насыщенного пара, вода вскипает, пузырьки схлопываются на лопастях, и насос теряет напор и разрушается. Ограничение записывают через допустимый кавитационный запас $\Delta h_{\text{доп}}$ из паспорта, у нашего насоса он равен 3,5 м:

$$H_{\text{вс}} \le \frac{p_{\text{а}} - p_{\text{нп}}}{\rho g} - \Delta h_{\text{доп}} - h_{\text{вс}} = 10{,}33 - 0{,}24 - 3{,}5 - 0{,}6 = 6{,}0\ \text{м}.$$

Здесь 10,33 м - атмосферное давление в метрах водяного столба, 0,24 м - давление насыщенного пара воды при 20 градусах, 0,6 м - потери во всасывающей линии. Ось насоса можно поднять над уровнем воды в приёмном резервуаре не более чем на 6 м. Горячая вода резко ужесточает условие: при 60 градусах давление пара даёт уже 2,0 м, и допустимая высота всасывания падает примерно до 4,2 м.

Частые ошибки

• В требуемый напор подставляют давление насоса из паспорта. Напор задаётся сетью, а не насосом: сначала считают $H_{\text{г}} + h_w$, и только потом ищут агрегат, который это перекрывает.
• Считают потери только по длине. На коротких трубопроводах с обилием арматуры местные потери сопоставимы с потерями по длине; выбросив $\sum\zeta$, можно занизить напор на 10-20 %.
• Забывают всасывающую линию. И потери в ней, и её геометрия входят в расчёт: потери - в $h_w$, а высота подъёма отсчитывается от уровня в приёмном резервуаре, а не от оси насоса.
• Мощность считают по требуемой подаче, а не по рабочей точке. Насос уходит вправо по характеристике, и потребляемая мощность растёт вместе с подачей - на этом занижают двигатель.
• Путают полезную мощность и мощность на валу. Делить на КПД нужно обязательно: при $\eta = 0{,}7$ разница составляет почти полтора раза.
• Берут насос с большим запасом «чтобы наверняка». Избыточный напор придётся дросселировать задвижкой, КПД в этой точке падает, а счёт за электроэнергию растёт.

FAQ

Чем подача насоса отличается от расхода? Ничем по смыслу: подача - это объёмный расход, который насос прогоняет через себя, обычно её обозначают той же буквой $Q$ и измеряют в л/с или м³/ч. Термин «подача» используют, когда говорят про насос, «расход» - когда про трубопровод.

Как перевести напор в давление? По формуле $p = \rho g H$. Напор 23,4 м водяного столба соответствует $1000 \cdot 9{,}81 \cdot 23{,}4 \approx 230$ кПа, то есть примерно 2,3 бар. Именно поэтому паспортные данные бытовых насосов часто дают в барах, а гидравлический расчёт ведут в метрах.

Что делать, если подача в рабочей точке меньше требуемой? Либо брать более напорный насос, либо уменьшать сопротивление сети: увеличить диаметр трубы, убрать лишние колена и арматуру. Увеличение диаметра действует сильнее всего - потери убывают примерно как пятая степень диаметра при фиксированном расходе.

Можно ли получить нужную подачу двумя насосами? Да, но схему выбирают по характеру сети: параллельное включение наращивает подачу при том же напоре, последовательное - напор при той же подаче. На крутой характеристике сети параллельные насосы дают заметно меньше двойной подачи, потому что с ростом расхода потери растут квадратично.

Коротко

1. Считаем скорость $v = Q/S$ и скоростной напор $v^2/2g$; проверяем, что скорость лежит в коридоре 0,8-2,5 м/с.
2. Находим потери: по длине по Дарси-Вейсбаху и местные через $\sum\zeta$; в примере $h_w = 5{,}24$ м.
3. Требуемый напор $H_{\text{тр}} = H_{\text{г}} + h_w = 18 + 5{,}24 = 23{,}24$ м - это и есть заявка на насос.
4. Рабочую точку ищем на пересечении характеристик насоса и сети: $Q_{\text{раб}} = 12{,}2$ л/с при $H_{\text{раб}} = 23{,}40$ м.
5. Мощность на валу $N = \rho g Q H/\eta = 4{,}00$ кВт, двигатель с запасом $k = 1{,}25$ - 5,5 кВт; в конце проверяем допустимую высоту всасывания, она равна 6,0 м.