Как рассчитать пропускную способность канала: решение

Дано: канал трапецеидального сечения, ширина по дну $b = 3{,}0$ м, коэффициент заложения откосов $m = 1{,}5$, глубина наполнения $h = 1{,}2$ м, уклон дна $i = 0{,}0004$, коэффициент шероховатости $n = 0{,}025$. Найти: пропускную способность канала $Q$.

Пропускная способность открытого канала - это расход при равномерном движении, и находится он по формуле Шези $Q = S C \sqrt{R i}$: геометрия сечения даёт площадь и гидравлический радиус, одежда русла даёт коэффициент Шези, уклон стоит под корнем. Ответ: $Q = 3{,}93$ м³/с при средней скорости $0{,}681$ м/с. Калькулятор сверху считает тот же канал для любых размеров, уклонов и типов русла и сразу показывает, какой уклон или какая глубина нужны под требуемый расход.

Решение по шагам

Дано: $b = 3{,}0$ м, $m = 1{,}5$, $h = 1{,}2$ м, $i = 0{,}0004$, $n = 0{,}025$. Найти: $S$, $\chi$, $R$, $C$, $K$, $v$, $Q$.

Шаг 1. Площадь живого сечения. Трапеция составлена из прямоугольника шириной по дну и двух боковых треугольников; при заложении $m$ каждый треугольник отступает от дна на $mh$ по горизонтали, поэтому их суммарная площадь равна $m h^2$:

$$S = (b + m h)\, h = (3{,}0 + 1{,}5 \cdot 1{,}2) \cdot 1{,}2 = 4{,}8 \cdot 1{,}2 = 5{,}76\ \text{м}^2 .$$

Шаг 2. Смоченный периметр. В периметр входят дно и два откоса, а свободная поверхность не входит: воздух сопротивления не оказывает. Длина одного откоса по теореме Пифагора равна $h\sqrt{1 + m^2}$:

$$\chi = b + 2h\sqrt{1 + m^2} = 3{,}0 + 2 \cdot 1{,}2 \cdot \sqrt{1 + 1{,}5^2} = 3{,}0 + 2{,}4 \cdot 1{,}803 = 7{,}33\ \text{м} .$$

Шаг 3. Гидравлический радиус. Это отношение площади потока к длине его трущейся границы, то есть мера того, насколько «компактно» вода уложена в русле:

$$R = \frac{S}{\chi} = \frac{5{,}76}{7{,}33} = 0{,}786\ \text{м} .$$

Шаг 4. Коэффициент Шези. Для учебных расчётов его берут по формуле Маннинга, где вся шероховатость сидит в коэффициенте $n$ из таблицы типов русла:

$$C = \frac{1}{n} R^{1/6} = \frac{1}{0{,}025} \cdot 0{,}786^{1/6} = 40 \cdot 0{,}961 = 38{,}4\ \text{м}^{0{,}5}/\text{с} .$$

Шаг 5. Модуль расхода. Соберём всё, что не зависит от уклона, в одну величину - так задача на подбор решается устно:

$$K = S\,C\sqrt{R} = 5{,}76 \cdot 38{,}4 \cdot 0{,}887 = 196{,}3\ \text{м}^3/\text{с} .$$

Шаг 6. Расход и скорость. Осталось умножить модуль расхода на корень из уклона и разделить результат на площадь:

$$Q = K\sqrt{i} = 196{,}3 \cdot \sqrt{0{,}0004} = 196{,}3 \cdot 0{,}02 = 3{,}93\ \text{м}^3/\text{с}, \qquad v = \frac{Q}{S} = \frac{3{,}93}{5{,}76} = 0{,}681\ \text{м/с} .$$

Ответ: пропускная способность канала $Q = 3{,}93$ м³/с, средняя скорость $v = 0{,}681$ м/с, модуль расхода $K = 196{,}3$ м³/с.

Формула Шези и откуда она берётся

Равномерное движение означает, что глубина и скорость вдоль канала не меняются: вода уже разогналась, и скатывающая сила тяжести целиком уходит на трение о дно и откосы. Приравняв составляющую веса $\rho g S L i$ к силе трения $\tau \chi L$ на том же участке длиной $L$, получаем $\tau = \rho g R i$. Если принять, что касательное напряжение пропорционально квадрату скорости, из этого равенства сразу выпадает $v = C\sqrt{R i}$ - это и есть формула Шези, записанная через скорость.

Расход получается умножением скорости на площадь: $Q = S C \sqrt{R i}$. Буквы читаются так: $S$ - площадь живого сечения в квадратных метрах, $R$ - гидравлический радиус в метрах, $i$ - уклон дна (безразмерный, для равномерного движения он совпадает с уклоном свободной поверхности), $C$ - коэффициент Шези в $\text{м}^{0{,}5}/\text{с}$, единственная размерная величина в наборе.

Коэффициент Шези не постоянен: он растёт и с гладкостью русла, и с размером потока. Формула Маннинга $C = R^{1/6}/n$ удобна тем, что после подстановки в Шези даёт компактное $Q = \dfrac{1}{n} S R^{2/3} \sqrt{i}$ - в западных учебниках расчёт ведут сразу в этом виде. Формула Павловского $C = R^{y}/n$ с показателем $y = 2{,}5\sqrt{n} - 0{,}13 - 0{,}75\sqrt{R}(\sqrt{n} - 0{,}1)$ точнее на малых и очень больших радиусах; для нашего канала она даёт $C = 37{,}9$ и $Q = 3{,}87$ м³/с, то есть расхождение около полутора процентов. Переключатель формулы есть в калькуляторе сверху.

Модуль расхода: зачем его выделяют

Модуль расхода $K = S C \sqrt{R}$ - это расход, который канал пропустил бы при уклоне, равном единице. Физического смысла такой уклон не имеет, зато величина $K$ зависит только от сечения и шероховатости и не зависит от продольного профиля. Поэтому расход записывают как $Q = K\sqrt{i}$, и все три типовые задачи решаются одним делением.

Первая строка - наш случай. Вторая и третья и есть проектные задачи, ради которых канал считают: труба или лоток должны пропустить заданный расход, а трассировщику нужно знать, каким уклоном и какой глубиной этого добиться.

Подбор уклона и глубины под требуемый расход

Пусть тот же канал должен пропускать $Q_{\text{тр}} = 5{,}0$ м³/с. Модуль расхода уже посчитан и от уклона не зависит, поэтому требуемый уклон берётся одной формулой:

$$i_{\text{тр}} = \left(\frac{Q_{\text{тр}}}{K}\right)^2 = \left(\frac{5{,}0}{196{,}3}\right)^2 = 0{,}0255^2 = 0{,}00065 .$$

Уклон приходится увеличить в полтора с лишним раза: расход растёт как корень из уклона, поэтому прибавка в расходе на четверть требует роста уклона больше чем в полтора раза. Это главная причина, по которой уклоном стараются не злоупотреблять - рельеф его редко даёт даром, а скорость при этом растёт и приближается к размывающей.

Второй путь - оставить уклон и поднять глубину. Тогда нужен модуль расхода $K = Q_{\text{тр}} / \sqrt{i} = 5{,}0 / 0{,}02 = 250$ м³/с, а глубину подбирают итерациями, потому что $K(h)$ в явном виде не обращается:

Нужные 250 м³/с попадают между 1,30 и 1,40 м, и уже вторая итерация даёт $h = 1{,}37$ м с расходом $5{,}06$ м³/с. То есть прибавка глубины на 17 сантиметров заменяет полуторакратный рост уклона: наращивать сечение почти всегда дешевле, чем искать перепад отметок. На графике калькулятора этот подбор виден сразу - горизонталь требуемого расхода пересекает кривую $Q(h)$ в искомой точке.

Проверка скорости: размыв, заиление и режим течения

Расход посчитан, но канал с таким расходом ещё может не годиться. Среднюю скорость проверяют по двум границам. Снизу стоит незаиляющая скорость около $0{,}3$ м/с: ниже неё взвешенные наносы выпадают на дно, и русло приходится чистить. Сверху стоит неразмывающая скорость, для суглинистого земляного русла это примерно $1{,}0-1{,}2$ м/с; при её превышении откосы крепят бетоном, камнем или одерновкой. Наши $0{,}681$ м/с укладываются в коридор, крепление не нужно.

Полезно заодно посмотреть на число Фруда. Средняя глубина равна площади, делённой на ширину поверху $B = b + 2mh = 6{,}6$ м, то есть $h_{\text{ср}} = 5{,}76/6{,}6 = 0{,}873$ м, и $\mathrm{Fr} = v / \sqrt{g h_{\text{ср}}} = 0{,}681 / 2{,}93 = 0{,}23$. Значение много меньше единицы: течение спокойное, уклон докритический, гидравлического прыжка в канале не будет. Именно на этом держится допущение о равномерном движении, из которого выведена формула Шези. Скорость в канале, кстати, измеряют так же, как в реке, - по вертикалям вертушкой, как определить среднюю скорость течения разобрано отдельно.

Обратная задача, где по измеренному расходу восстанавливают коэффициент шероховатости, решается той же формулой, только $n$ выражается из неё последним действием. А в напорном трубопроводе аналогом расчёта служит расход жидкости по уравнению неразрывности, где сечение заполнено целиком и гидравлический радиус равен четверти диаметра; сопротивление там считают не через $n$, а через коэффициент гидравлического трения и число Рейнольдса.

Частые ошибки

• Свободную поверхность включают в смоченный периметр. Ширина поверху $6{,}6$ м к $\chi$ не добавляется, иначе периметр вырастает вдвое, а гидравлический радиус падает почти вдвое вместе с ответом.
• Длину откоса считают равной $mh$ вместо $h\sqrt{1 + m^2}$. Заложение $m$ - это горизонтальная проекция, а трётся вода о наклонную грань.
• Уклон подставляют в промилле или в процентах. В формулу Шези идёт безразмерная величина: $0{,}0004$, а не $0{,}4$ и не $0{,}04$.
• Забывают корень над уклоном. Без него ответ завышается в пятьдесят раз именно потому, что $\sqrt{0{,}0004} = 0{,}02$, а не $0{,}0004$.
• Путают $R^{1/6}$ в коэффициенте Шези с $R^{2/3}$ в объединённой формуле Маннинга. Шестая степень корня стоит только в $C$; после подстановки в Шези показатели складываются в две трети, и подставлять $2/3$ дважды нельзя.
• Считают, что расход растёт пропорционально глубине. Он растёт быстрее: одновременно увеличиваются и площадь, и гидравлический радиус, поэтому прибавка глубины на четверть даёт прибавку расхода примерно наполовину.

FAQ

Чем пропускная способность отличается от расхода? Численно это тот же расход, но при полном расчётном наполнении и равномерном движении. Расход измеряют у существующего потока, пропускную способность вычисляют для русла как его предел при заданных глубине и уклоне.

Можно ли считать по формуле Шези трубу, работающую неполным сечением? Да, безнапорная труба - это то же открытое русло, просто живое сечение считается как сегмент круга. Площадь и смоченный периметр берутся по углу наполнения, дальше расчёт не отличается ни на шаг.

Почему в одних задачах дают $n$, а в других сразу $C$? Коэффициент шероховатости $n$ - табличная характеристика материала русла, она не зависит от размеров. Коэффициент Шези $C$ зависит ещё и от гидравлического радиуса, поэтому его обычно не задают, а вычисляют по Маннингу или Павловскому.

Какое сечение выгоднее при той же площади? Гидравлически наивыгоднейшее: у него наименьший смоченный периметр, а значит наибольшие $R$ и $Q$. Для трапеции с $m = 1{,}5$ это отношение $b/h = 2(\sqrt{1 + m^2} - m) = 0{,}61$. Наш канал шире такого профиля, и при той же площади $5{,}76$ м² наивыгоднейшее сечение пропустило бы $4{,}06$ м³/с вместо $3{,}93$.

Коротко

1. Считаем геометрию: $S = (b + mh)h = 5{,}76$ м², $\chi = b + 2h\sqrt{1 + m^2} = 7{,}33$ м, $R = S/\chi = 0{,}786$ м.
2. Берём коэффициент Шези по Маннингу: $C = R^{1/6}/n = 38{,}4\ \text{м}^{0{,}5}/\text{с}$.
3. Сворачиваем геометрию в модуль расхода $K = S C \sqrt{R} = 196{,}3$ м³/с.
4. Получаем ответ: $Q = K\sqrt{i} = 3{,}93$ м³/с, средняя скорость $v = Q/S = 0{,}681$ м/с.
5. Для требуемых $5{,}0$ м³/с нужен уклон $i = (Q_{\text{тр}}/K)^2 = 0{,}00065$ либо глубина $h = 1{,}37$ м при прежнем уклоне; скорость в обоих случаях остаётся между незаиляющей и неразмывающей.