Как найти силу Архимеда: формула и пример расчёта

Дано: алюминиевая деталь массой $m = 5{,}4$ кг целиком погружена в воду; плотность алюминия $\rho_{\text{т}} = 2700$ кг/м³, плотность воды $\rho_{\text{ж}} = 1000$ кг/м³, $g = 9{,}8$ м/с². Найти: силу Архимеда $F_A$ и вес детали в воде.

Сила Архимеда равна весу вытесненной жидкости, поэтому вся задача сводится к объёму погружённой части: сначала находят объём детали по массе и плотности, затем подставляют его в формулу $F_A = \rho_{\text{ж}} g V_{\text{погр}}$. Ответ: $F_A = 19{,}6$ Н, вес детали в воде $33{,}32$ Н. Калькулятор сверху повторяет этот расчёт для любого материала и любой жидкости, ниже - решение по шагам.

Решение по шагам

Дано.

Найти нужно выталкивающую силу $F_A$ и показание динамометра, на котором деталь висит в воде.

Шаг 1. Найти объём детали. В формулу силы Архимеда входит объём, а в условии дана масса. Связывает их плотность материала:

$$V = \frac{m}{\rho_{\text{т}}} = \frac{5{,}4}{2700} = 0{,}002\ \text{м}^3 = 2\ \text{л}.$$

Здесь используется плотность алюминия, а не воды: речь о самой детали, а не о жидкости вокруг неё.

Шаг 2. Проверить, весь ли объём под водой. Алюминий плотнее воды ($2700 > 1000$), поэтому деталь тонет и погружается целиком. Значит, объём погружённой части равен полному объёму:

$$V_{\text{погр}} = V = 0{,}002\ \text{м}^3.$$

Этот шаг пропускать нельзя: у плавающего тела под водой оказывается только часть объёма, и подстановка полного $V$ даст завышенный ответ.

Шаг 3. Подставить в формулу силы Архимеда.

$$F_A = \rho_{\text{ж}} \, g \, V_{\text{погр}} = 1000 \cdot 9{,}8 \cdot 0{,}002 = 19{,}6\ \text{Н}.$$

Шаг 4. Найти вес детали в воде. В воздухе деталь весит $P = mg = 5{,}4 \cdot 9{,}8 = 52{,}92$ Н. В воде динамометр показывает разность веса и выталкивающей силы:

$$P' = P - F_A = 52{,}92 - 19{,}6 = 33{,}32\ \text{Н}.$$

Ответ. $F_A = 19{,}6$ Н, вес детали в воде $P' = 33{,}32$ Н. Деталь «потеряла» 19,6 Н, то есть около 37 % своего веса.

Формула силы Архимеда и что в неё подставлять

Основная формула короткая, но каждая буква в ней относится к своему объекту:

$$F_A = \rho_{\text{ж}} \, g \, V_{\text{погр}},$$

где $\rho_{\text{ж}}$ - плотность жидкости или газа (кг/м³), $g$ - ускорение свободного падения (9,8 или 9,81 м/с²), $V_{\text{погр}}$ - объём вытесненной жидкости, то есть объём подводной части тела (м³). Сила направлена вертикально вверх и приложена в центре тяжести вытесненного объёма.

Откуда она берётся, видно на цилиндре с площадью основания $S$, у которого верхняя грань лежит на глубине $h_1$, а нижняя - на глубине $h_2$. Давление растёт с глубиной, поэтому снизу жидкость давит сильнее, чем сверху, и разность сил давления равна

$$F_A = (\rho_{\text{ж}} g h_2 - \rho_{\text{ж}} g h_1) S = \rho_{\text{ж}} g (h_2 - h_1) S = \rho_{\text{ж}} g V.$$

Полный разбор закона с условием плавания и разбором частных случаев есть в статье закон Архимеда и условие плавания тел; родственная задача о распределённом давлении на стенку разобрана в материале про силу давления жидкости на плоскую стенку. Здесь важно другое: в формуле нет ни глубины, ни формы тела, ни плотности материала. Одна и та же деталь на глубине 10 см и 10 м испытывает одинаковые 19,6 Н.

Три способа найти объём погружённой части

На практике вся сложность задачи именно в объёме: сила считается в одно действие, а $V_{\text{погр}}$ приходится добывать из того, что дано в условии.

Второй способ удобен, когда тело правильной формы: стальной кубик со стороной 5 см имеет объём $125$ см³, то есть $1{,}25 \cdot 10^{-4}$ м³, и в воде на него действует $F_A = 1000 \cdot 9{,}8 \cdot 1{,}25 \cdot 10^{-4} = 1{,}225$ Н. Третий способ - школьная лабораторная работа: тело опускают в мензурку и смотрят, на сколько поднялся уровень; прирост 100 мл соответствует $10^{-4}$ м³ и силе 0,98 Н.

Отдельный случай - полые и составные тела. У бочки, понтона или закрытой трубы вытесняется весь наружный объём вместе с воздухом внутри, поэтому объём для силы Архимеда считают по внешним габаритам, а не по объёму металла. Именно поэтому стальной корпус судна держится на воде: средняя плотность корпуса с воздушными отсеками оказывается меньше плотности воды, хотя плотность самой стали больше в 7,8 раза. Если же тело погружено не полностью и удерживается силой, в формулу идёт только подводная часть габаритного объёма.

Единицы - главный источник арифметических провалов. В системе СИ объём берётся в кубометрах, поэтому переводить нужно всегда: $1$ л $= 10^{-3}$ м³, $1$ см³ $= 10^{-6}$ м³, $1$ мл $= 10^{-6}$ м³. Литры, подставленные в формулу напрямую, завышают ответ ровно в тысячу раз.

Если тело плавает: сила Архимеда равна весу

Когда плотность тела меньше плотности жидкости, тело всплывает и останавливается в положении, где выталкивающая сила уравновешивает вес. Тогда считать по полному объёму нельзя, зато ответ получается сразу:

$$F_A = P = mg.$$

Возьмём сосновый брусок того же объёма 2 л с плотностью 520 кг/м³. Его масса $m = 520 \cdot 0{,}002 = 1{,}04$ кг, вес $P = 1{,}04 \cdot 9{,}8 = 10{,}19$ Н - столько же составляет и сила Архимеда. Погружённый объём находится из равенства $\rho_{\text{ж}} g V_{\text{погр}} = \rho_{\text{т}} g V$:

$$\frac{V_{\text{погр}}}{V} = \frac{\rho_{\text{т}}}{\rho_{\text{ж}}} = \frac{520}{1000} = 0{,}52.$$

Под водой находится 52 % бруска, то есть 1,04 л. Доля погружения равна отношению плотностей - это самая полезная формула для качественных вопросов вроде «какая часть льдины под водой».

Проверка ответа и другие жидкости

Ответ удобно проверять через отношение сил: для полностью погружённого тела

$$\frac{F_A}{P} = \frac{\rho_{\text{ж}} g V}{\rho_{\text{т}} g V} = \frac{\rho_{\text{ж}}}{\rho_{\text{т}}} = \frac{1000}{2700} \approx 0{,}37.$$

Ровно 37 % веса и «потеряла» деталь - значит, шаги сошлись. Если поменять жидкость, изменится только первый множитель, а объём и масса останутся прежними:

Последняя строка показывает границу применимости расчёта: в ртути выталкивающая сила больше веса детали, равновесия при полном погружении нет, и задача переходит в случай плавания из предыдущего раздела. Калькулятор сверху отслеживает это сам: при смене жидкости он пересчитывает долю погружения и меняет вывод.

Частые ошибки

• Подставляют плотность тела вместо плотности жидкости. В формуле $F_A = \rho_{\text{ж}} g V$ стоит плотность среды. Плотность материала нужна только для того, чтобы найти объём по массе.
• Берут полный объём у плавающего тела. Если тело плавает, под жидкостью лишь часть объёма, и $F_A$ равна весу тела, а не $\rho_{\text{ж}} g V$.
• Забывают перевести объём в кубометры. Ответ «19 600 Н» вместо 19,6 Н - это литры, оставленные в формуле.
• Считают, что сила растёт с глубиной. У полностью погружённого тела $F_A$ от глубины не зависит: глубина в формулу не входит.
• Путают вес в жидкости с массой. Динамометр показывает силу в ньютонах, а не «сколько килограммов осталось»; чтобы получить кажущуюся массу, показание делят на $g$.
• Смешивают $g = 9{,}8$ и $g = 10$ в одной задаче. Расхождение около 2 % ломает сходимость проверки $F_A / P = \rho_{\text{ж}} / \rho_{\text{т}}$.

FAQ

Зависит ли сила Архимеда от глубины погружения? Нет, пока тело целиком под поверхностью. В формулу входят только плотность жидкости и вытесненный объём. Растёт с глубиной давление, но разность давлений на нижнюю и верхнюю грани остаётся прежней.

Как найти силу Архимеда, если известны только вес в воздухе и вес в воде? Вычесть одно из другого: $F_A = P - P'$. Для нашей детали $52{,}92 - 33{,}32 = 19{,}6$ Н. Отсюда же находится объём тела $V = F_A / (\rho_{\text{ж}} g)$ и плотность материала $\rho_{\text{т}} = m / V$.

Что подставлять в формулу - плотность тела или жидкости? Плотность жидкости. Плотность тела определяет только, утонет тело или всплывёт, и участвует в расчёте объёма. Тела из разных материалов, но одинакового объёма испытывают одинаковую выталкивающую силу.

Действует ли сила Архимеда в воздухе? Да, закон работает и для газов. Для той же детали объёмом 2 л при плотности воздуха 1,29 кг/м³ получается $F_A = 1{,}29 \cdot 9{,}8 \cdot 0{,}002 \approx 0{,}025$ Н - примерно 0,05 % веса, поэтому в обычных расчётах этой поправкой пренебрегают.

Коротко

1. Найти объём тела: по массе и плотности $V = m / \rho_{\text{т}}$, по размерам или по вытесненной жидкости; перевести в м³.
2. Сравнить плотности: при $\rho_{\text{т}} > \rho_{\text{ж}}$ тело тонет и $V_{\text{погр}} = V$, иначе тело плавает.
3. Для погружённого тела посчитать $F_A = \rho_{\text{ж}} g V_{\text{погр}}$; для плавающего сразу $F_A = mg$.
4. Вес в жидкости получить как $P' = mg - F_A$, а долю погружения - как отношение плотностей.
5. Для примера с алюминиевой деталью: $V = 0{,}002$ м³, $F_A = 19{,}6$ Н, вес в воде $33{,}32$ Н.