Закон Архимеда: условие плавания тел и формула

Закон Архимеда отвечает на простой на вид вопрос: почему стальной гвоздь тонет, а стальной корабль - нет, и почему лёд держится на воде, выставив наружу лишь десятую часть. Всё сводится к одной силе и одному сравнению. На тело, погружённое в жидкость или газ, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной этим телом жидкости. А плавает тело или тонет, решает сравнение двух плотностей - тела и жидкости. Ниже разберём формулу выталкивающей силы, выведем условие плавания тел через плотности, покажем, как найти долю погружённого объёма, и где студенты чаще всего ошибаются. Чтобы сразу почувствовать связь плотностей, объёма и сил, покрути калькулятор ниже: он считает выталкивающую силу и вес, сам решает, всплывёт тело или утонет, и показывает глубину погружения.

Формула выталкивающей силы

Закон Архимеда формулируется так: на тело, погружённое в жидкость или газ, действует выталкивающая сила, направленная вверх и равная весу жидкости, вытесненной телом. В виде формулы это:

$F_A = \rho_ж \, g \, V_{погр},$

где $\rho_ж$ - плотность жидкости, $g$ - ускорение свободного падения, а $V_{погр}$ - объём той части тела, которая находится под поверхностью жидкости. Обрати внимание: в формулу входит объём именно погружённой части, а не всего тела. Если тело утоплено целиком, $V_{погр}$ равен полному объёму $V$; если плавает - только подводной доле.

Рассчитать для своей задачи

Откуда берётся эта сила физически? Давление в жидкости растёт с глубиной по закону $p = \rho_ж g h$. На нижнюю грань погружённого тела жидкость давит снизу вверх сильнее, чем на верхнюю грань сверху вниз, потому что низ глубже. Разность этих давлений, умноженная на площадь, и даёт результирующую силу, направленную вверх, - выталкивающую. Поэтому она не зависит ни от плотности самого тела, ни от его формы, а только от вытесненного объёма и плотности жидкости.

Условие плавания тел через плотности

На плавающее или покоящееся в жидкости тело действуют две силы: вниз - сила тяжести (вес) $P = \rho_т g V$, вверх - выталкивающая сила $F_A$. Их сравнение и определяет судьбу тела. Возможны три случая:

• $F_A > P$ - тело всплывает;
• $F_A = P$ - тело в равновесии (плавает или зависает в толще);
• $F_A < P$ - тело тонет.

Если тело погружено целиком, $V_{погр} = V$, и сравнение сил сводится к сравнению плотностей. Подставив $F_A = \rho_ж g V$ и $P = \rho_т g V$, видим, что $g$ и $V$ сокращаются, и остаётся чистое условие плавания тел:

$\rho_т < \rho_ж \ \Rightarrow \ \text{всплывает}, \qquad \rho_т = \rho_ж \ \Rightarrow \ \text{зависает}, \qquad \rho_т > \rho_ж \ \Rightarrow \ \text{тонет}.$

Рассчитать для своей задачи

Именно поэтому стальной гвоздь ($\rho \approx 7800$ кг/м³) в воде тонет, а кусок дерева ($\rho \approx 500$–$700$ кг/м³) - плавает. Корабль же сделан из стали, но внутри полый: средняя плотность всей конструкции вместе с воздухом внутри корпуса оказывается меньше плотности воды, поэтому он держится на плаву.

Доля погружённого объёма

Когда тело легче жидкости, оно всплывает не полностью, а ровно настолько, чтобы выталкивающая сила сравнялась с весом. В этом положении равновесия $F_A = P$:

$\rho_ж \, g \, V_{погр} = \rho_т \, g \, V.$

Сократив $g$ и выразив отношение объёмов, получаем удобную формулу для доли погружённой части:

$\frac{V_{погр}}{V} = \frac{\rho_т}{\rho_ж}.$

Эта дробь показывает, какая доля объёма тела уходит под воду. Для льда ($\rho_т = 900$ кг/м³) в воде ($\rho_ж = 1000$ кг/м³) отношение равно $0{,}9$ - под водой 90 % объёма, над поверхностью лишь 10 %. Отсюда и знаменитое «вершина айсберга»: видна только десятая часть. В калькуляторе выше эта доля показана и числом, и наглядно - кубик погружается на ту же глубину, что и даёт формула.

Вес тела в жидкости

Отдельный частый сюжет задач - вес тела, полностью погружённого в жидкость, но при этом тонущего или подвешенного на нити. Динамометр в этом случае показывает не полный вес, а его уменьшение на выталкивающую силу:

$P_{в\,жидкости} = P_{в\,воздухе} - F_A = \rho_т g V - \rho_ж g V.$

Это та самая «потеря веса», которую обнаружил Архимед. Для алюминиевого бруска ($\rho_т = 2700$ кг/м³) объёмом $V$ в воде вес уменьшится в $2700/(2700-1000) \approx 1{,}6$ раза, но останется положительным - брусок тонет. А если бы плотность тела стала меньше плотности воды, «вес в жидкости» формально стал бы отрицательным: это и означает, что тело выталкивается вверх и всплывает.

Частые ошибки

• Подставляют в $F_A$ плотность тела вместо плотности жидкости. Выталкивающая сила определяется жидкостью, в которую погрузили тело: в формуле стоит $\rho_ж$, а не $\rho_т$.
• Берут полный объём тела вместо погружённого. Для плавающего тела в $F_A$ входит только подводная часть $V_{погр}$, а не весь объём $V$.
• Сравнивают веса вместо плотностей. Условие плавания - это сравнение плотностей тела и жидкости, а не их масс или объёмов по отдельности.
• Забывают перевести объём в кубометры. Если плотность в кг/м³, то объём должен быть в м³: 1 л $= 0{,}001$ м³, 1 см³ $= 10^{-6}$ м³.
• Считают, что тяжёлые тела всегда тонут. Тонет не тяжёлое, а более плотное: огромный айсберг массой в тонны плавает, потому что его плотность меньше, чем у воды.

FAQ

Почему выталкивающая сила не зависит от глубины погружения? Пока тело погружено целиком, объём вытесненной жидкости не меняется с глубиной, поэтому и $F_A = \rho_ж g V$ остаётся постоянной. Растёт давление и снизу, и сверху одинаково, а важна именно их разность. Сила изменится только если тело начнёт выходить из жидкости, уменьшая $V_{погр}$.

Как закон Архимеда работает в газах? Точно так же: воздух тоже выталкивает тело с силой, равной весу вытесненного воздуха. Просто плотность воздуха ($\approx 1{,}3$ кг/м³) мала, поэтому для обычных тел эта сила незаметна. Но воздушный шар с гелием или горячим воздухом внутри имеет среднюю плотность меньше плотности окружающего воздуха и взлетает по тому же условию плавания.

Изменится ли осадка тела при переходе из пресной воды в солёную? Да. Солёная вода плотнее ($\rho_ж \approx 1025$ кг/м³), поэтому по формуле $V_{погр}/V = \rho_т/\rho_ж$ доля погружения уменьшается - тело всплывает чуть выше. Поэтому в Мёртвом море держаться на воде проще, чем в реке.

Коротко

Выталкивающая сила равна весу вытесненной жидкости: $F_A = \rho_ж g V_{погр}$. Судьбу тела решает сравнение плотностей: при $\rho_т < \rho_ж$ оно всплывает, при $\rho_т = \rho_ж$ зависает в толще, при $\rho_т > \rho_ж$ тонет. Плавающее тело погружается на долю $V_{погр}/V = \rho_т/\rho_ж$, а его вес в жидкости уменьшается на $F_A$. Главное - не путать плотность тела и жидкости и брать в формулу именно погружённый объём.