Давление жидкости на дно и стенки сосуда: формулы и задачи

Давление жидкости на дно и стенки сосуда - одна из первых тем гидростатики, и почти все задачи по ней сводятся к одной формуле $p = \rho g h$. Сложность не в формуле, а в том, что на дно и на стенку жидкость давит по-разному: на дно давление одинаково по всей площади, а на вертикальную стенку оно растёт с глубиной, поэтому силу нельзя посчитать как «давление умножить на площадь» без оговорок. Ниже разберём, откуда берётся каждая формула, как найти силу давления на дно и на стенку, где находится центр давления и почему форма сосуда не влияет на силу на дно. Чтобы сразу почувствовать связь глубины, плотности и силы, покрути калькулятор ниже: он считает давление на дно, обе силы и показывает эпюру давления на стенку.

Откуда берётся формула давления

Давление в покоящейся жидкости создаётся весом столба жидкости над рассматриваемой точкой. Выделим внутри жидкости вертикальный столбик с площадью основания $S$ и высотой $h$. Его вес равен $P = m g = \rho V g = \rho g h S$, а давление на основание - это вес, делённый на площадь:

$p = \frac{P}{S} = \frac{\rho g h S}{S} = \rho g h.$

Площадь сократилась - значит, гидростатическое давление зависит только от плотности жидкости $\rho$, ускорения свободного падения $g$ и глубины $h$, но не от площади и не от формы сосуда. Это ключевой вывод: давление на глубине $h$ одно и то же в узкой трубке и в широком бассейне.

Рассчитать для своей задачи

Если над поверхностью жидкости есть атмосферное давление $p_0$ (открытый сосуд), полное давление на глубине равно $p = p_0 + \rho g h$. В большинстве школьных задач атмосферу не учитывают и считают только давление, создаваемое самой жидкостью, - именно его и даёт формула $p = \rho g h$.

Сила давления на дно сосуда

На горизонтальное дно все точки находятся на одной глубине $h$ (это уровень жидкости над дном), поэтому давление на дно одинаково по всей площади и равно $p_{дно} = \rho g h$. Силу давления на дно находим обычным образом - давление умножаем на площадь дна:

$F_{дно} = p_{дно} \cdot S_{дно} = \rho g h \, S_{дно}.$

Для прямоугольного дна со сторонами $a$ и $b$ площадь $S_{дно} = a b$. Возьмём типичные числа: вода $\rho = 1000$ кг/м³, уровень $h = 2$ м, дно $1{,}5 \times 1{,}5$ м. Тогда $p_{дно} = 1000 \cdot 9{,}8 \cdot 2 = 19{,}6$ кПа, а сила $F_{дно} = 19600 \cdot 2{,}25 = 44{,}1$ кН. Эти же числа выдаёт калькулятор при значениях по умолчанию - можно сверить.

Рассчитать для своей задачи

Важно не путать вес жидкости и силу давления на дно: они равны только у сосуда с вертикальными стенками (цилиндр, прямоугольный бак). У расширяющегося или сужающегося кверху сосуда сила давления на дно может быть больше или меньше веса налитой жидкости - это и есть гидростатический парадокс, о нём ниже.

Сила давления на стенку сосуда

На вертикальную стенку давление действует не одинаково: у поверхности глубина равна нулю и давление нулевое, а у дна глубина равна $h$ и давление максимально, $\rho g h$. Зависимость линейная, поэтому распределение давления по высоте стенки - это треугольник (эпюра давления). Силу нельзя считать как «максимальное давление на площадь»: нужно брать среднее давление. Для линейного распределения среднее давление - это полусумма крайних значений, то есть половина от давления у дна:

$p_{ср} = \frac{0 + \rho g h}{2} = \frac{\rho g h}{2}.$

Тогда сила давления на прямоугольную стенку шириной $b$ и высотой, равной уровню жидкости $h$, равна среднему давлению на площадь стенки $S_{ст} = h b$:

$F_{ст} = p_{ср} \cdot S_{ст} = \frac{\rho g h}{2} \cdot h b = \frac{1}{2} \rho g h^2 b.$

Обрати внимание: сила на стенку растёт пропорционально квадрату глубины $h^2$, а сила на дно - только пропорционально первой степени $h$. Поэтому у глубоких резервуаров и плотин нагрузка на стенки нарастает особенно быстро. Для наших чисел ($h = 2$ м, $b = 1{,}5$ м, вода) получаем $F_{ст} = 0{,}5 \cdot 1000 \cdot 9{,}8 \cdot 4 \cdot 1{,}5 = 29{,}4$ кН - меньше силы на дно, потому что на стенку давит лишь среднее давление, а на дно полное.

Где приложена сила: центр давления

Раз давление на стенку растёт с глубиной, равнодействующая приложена не в середине стенки, а ниже - ближе к дну, где давление больше. Точку приложения равнодействующей называют центром давления. Для треугольной эпюры он совпадает с центром тяжести треугольника, который лежит на расстоянии одной трети высоты от основания, то есть на глубине:

$y_д = \frac{2}{3} h.$

Для $h = 2$ м это глубина $1{,}33$ м от поверхности. Координата центра давления важна в задачах на момент силы: например, при расчёте, с какой силой нужно удерживать шлюзовой щит или дверцу, и где к ней приложить эту силу. В калькуляторе центр давления отмечен золотой точкой на эпюре - подвигай уровень жидкости и увидишь, что он всегда остаётся на двух третях глубины от поверхности.

Гидростатический парадокс

Самый частый источник ошибок - мысль, что сила давления на дно равна весу налитой жидкости. Это не так. Давление на дно зависит только от высоты столба $h$, а не от того, сколько всего жидкости в сосуде. Возьмём три сосуда с одинаковой площадью дна и одинаковым уровнем жидкости: узкую вазу, прямой цилиндр и расширяющуюся кверху воронку. Уровень один, площадь дна одна - значит, и давление на дно $\rho g h$, и сила $F_{дно}$ у всех трёх одинаковы, хотя жидкости налито совершенно разное количество.

Рассчитать для своей задачи

Объяснение в том, что у наклонных стенок жидкость давит на них, а стенки по третьему закону Ньютона давят на жидкость, и вертикальная составляющая этой реакции добавляется к весу или вычитается из него. В итоге сила на дно определяется только высотой столба. Этот результат и называют гидростатическим парадоксом: сила давления на дно не зависит ни от формы сосуда, ни от полного веса жидкости.

Частые ошибки

• Считают силу на стенку как $\rho g h \cdot S$. На стенке давление меняется с глубиной, поэтому берут среднее: $F_{ст} = \tfrac{1}{2}\rho g h^2 b$, а не максимальное давление на всю площадь.
• Путают силу давления на дно с весом жидкости. Они совпадают только у сосуда с вертикальными стенками; в общем случае сила на дно равна $\rho g h S_{дно}$ независимо от формы.
• Подставляют глубину в сантиметрах или плотность в г/см³. В СИ глубина в метрах, плотность в кг/м³, тогда давление получается в паскалях. Литры и сантиметры нужно перевести до подстановки.
• Прикладывают равнодействующую к середине стенки. Центр давления для треугольной эпюры лежит на глубине $\tfrac{2}{3}h$, а не на $\tfrac{1}{2}h$.
• Забывают про атмосферное давление, когда оно важно. В закрытых сосудах и манометрических задачах добавляют $p_0$; в школьных задачах на давление самой жидкости его обычно опускают.

FAQ

Почему давление на дно не зависит от формы сосуда? Потому что давление определяется только высотой столба жидкости над точкой: $p = \rho g h$. При одинаковом уровне жидкости глубина у дна одна и та же, поэтому и давление, и сила на дно одинаковы у сосудов любой формы с равной площадью дна. Это и есть гидростатический парадокс.

Чему равна сила давления на боковую стенку? Для прямоугольной стенки, смоченной до уровня $h$ и шириной $b$, сила равна $F_{ст} = \tfrac{1}{2}\rho g h^2 b$. Она меньше силы на дно той же ширины, потому что на стенку действует среднее давление $\rho g h / 2$, а на дно - полное $\rho g h$.

На какой глубине приложена сила давления на стенку? Равнодействующая приложена в центре давления - на глубине $\tfrac{2}{3}h$ от поверхности, то есть на трети высоты от дна. Это следует из того, что эпюра давления треугольная, а центр тяжести треугольника лежит ближе к его широкому основанию.

Коротко

Все задачи на давление жидкости на дно и стенки сосуда держатся на формуле $p = \rho g h$. На дно давление одинаково, поэтому $F_{дно} = \rho g h S_{дно}$. На вертикальную стенку давление растёт с глубиной линейно, сила равна среднему давлению на площадь $F_{ст} = \tfrac{1}{2}\rho g h^2 b$, а её линия действия проходит через центр давления на глубине $\tfrac{2}{3}h$. Сила на дно зависит только от высоты столба, а не от формы сосуда и не от количества жидкости - в этом суть гидростатического парадокса.