Закон Архимеда: расчёт выталкивающей силы

Закон Архимеда - это основа гидростатики и аэростатики: он объясняет, почему тела в жидкости или газе теряют часть веса, почему подводные лодки погружаются и всплывают, почему воздушные шары поднимаются. В центре всего - выталкивающая сила, которая действует на любое погружённое тело независимо от формы, материала и способа погружения. Разберём, как её рассчитать, от каких величин она зависит и как правильно применять формулу в задачах. Чтобы сразу почувствовать зависимости, подвигай ползунки в калькуляторе ниже.

Формула выталкивающей силы

Выталкивающая сила $F_A$ (её ещё называют силой Архимеда или подъёмной силой жидкости) вычисляется по формуле:

$$F_A = \rho_ж \cdot g \cdot V_{погр},$$

где:

• $\rho_ж$ - плотность жидкости или газа, кг/м³;
• $g = 9{,}81$ м/с² - ускорение свободного падения;
• $V_{погр}$ - объём погружённой части тела, м³.

Это и есть математическая запись закона Архимеда: на тело, погружённое в жидкость, действует выталкивающая сила, равная весу жидкости, вытесненной этим телом.

Рассчитать для своей задачи

Важнейшее следствие: выталкивающая сила не зависит от глубины погружения (если тело целиком под поверхностью). Она зависит только от плотности жидкости и от объёма погружённой части. Поэтому металлический шарик на глубине 10 см и на глубине 10 м испытывает одинаковую $F_A$.

Физический смысл: сила равна весу вытесненной жидкости

Откуда берётся выталкивающая сила? Давление в жидкости растёт с глубиной: нижняя грань погружённого тела испытывает большее давление, чем верхняя. Разность давлений и создаёт результирующую силу, направленную вверх.

Простейший вывод. Рассмотрим цилиндр высотой $h$ и площадью основания $S$, нижняя грань которого находится на глубине $h_2$, верхняя - на глубине $h_1$. Давление на нижнюю грань $p_2 = \rho_ж g h_2$, на верхнюю $p_1 = \rho_ж g h_1$. Разность сил давления:

$$F_A = (p_2 - p_1) \cdot S = \rho_ж g (h_2 - h_1) S = \rho_ж g \cdot V_{цил}.$$

Для тел произвольной формы вывод сложнее (через интеграл давления по поверхности), но результат тот же: $F_A = \rho_ж g V_{погр}$.

Масса вытесненной жидкости $m_ж = \rho_ж \cdot V_{погр}$, её вес $P_ж = \rho_ж g V_{погр} = F_A$. Поэтому и говорят: «выталкивающая сила равна весу вытесненной жидкости».

Рассчитать для своей задачи

Из формулы видно: $F_A$ линейно зависит как от $V_{погр}$, так и от $\rho_ж$. Если плотность жидкости вдвое больше - выталкивающая сила вдвое больше. Если тело погружено вдвое глубже (при частичном погружении) - $F_A$ тоже вдвое больше.

Единицы измерения и перевод объёма

На практике объём часто задают в литрах, сантиметрах кубических или дециметрах кубических. Переводы:

• 1 л = 1 дм³ = 0,001 м³;
• 1 см³ = $10^{-6}$ м³;
• 1 мл = 1 см³.

Если плотность в кг/м³, объём подставляем в м³ - получаем $F_A$ в ньютонах. Все три величины должны быть в системе СИ.

Пример расчёта: металлический цилиндр в воде

Условие. Стальной цилиндр объёмом $V = 200$ см³ полностью погружён в воду ($\rho_ж = 1000$ кг/м³). Найдите выталкивающую силу.

Решение. Переводим объём: $V = 200 \cdot 10^{-6} = 2 \cdot 10^{-4}$ м³. Поскольку тело погружено целиком, $V_{погр} = V$. Подставляем:

$$F_A = \rho_ж g V_{погр} = 1000 \cdot 9{,}81 \cdot 2 \cdot 10^{-4} = 1{,}962\ \text{Н}.$$

Масса вытесненной воды: $m_ж = \rho_ж V = 1000 \cdot 2 \cdot 10^{-4} = 0{,}2$ кг = 200 г. Вес воды: $P_ж = 0{,}2 \cdot 9{,}81 = 1{,}962$ Н - совпадает с $F_A$, проверка верна.

Выталкивающая сила при частичном погружении

Когда тело плавает, в формулу входит только погружённая часть объёма. Если тело объёмом $V$ плавает, погрузившись на долю $k$ (от 0 до 1):

$$F_A = \rho_ж \cdot g \cdot k V.$$

Для плавающего тела $F_A = mg = \rho_{тела} g V$, откуда:

$$k = \frac{\rho_{тела}}{\rho_ж}.$$

Например, лёд ($\rho_{лёд} \approx 917$ кг/м³) в воде ($\rho_ж = 1000$ кг/м³) погружается на $k = 917/1000 = 0{,}917$, то есть на 91,7%. Над поверхностью торчит лишь 8,3% - именно это наблюдается у айсбергов.

Выталкивающая сила в разных жидкостях и газах

Плотность жидкости кардинально влияет на $F_A$. Характерные значения плотности:

В ртути выталкивающая сила в 13,6 раза больше, чем в воде при том же объёме. Именно поэтому даже плотные металлические шары плавают в ртути. В воздухе $F_A$ мала (плотность в 833 раза меньше воды), но для воздушных шаров и дирижаблей она достигает значимых величин за счёт большого объёма.

Связь с весом тела и кажущейся потерей веса

Когда тело погружают в жидкость, его кажущийся вес уменьшается:

$$P_{кажущийся} = mg - F_A = mg - \rho_ж g V_{погр}.$$

Это легко измерить динамометром: взвесить тело в воздухе, затем в жидкости. Разность показаний и есть $F_A$. На этом принципе основано определение плотности твёрдых тел методом гидростатического взвешивания.

Частые ошибки

• Подстановка всего объёма вместо погружённого. Если тело плавает (частично над поверхностью), в формулу входит $V_{погр}$, а не полный объём $V$. Для полностью погружённого тела $V_{погр} = V$.
• Путаница единиц: литры вместо м³. Если объём в литрах, его нужно умножить на $10^{-3}$, чтобы получить м³. Подстановка литров даёт результат в 1000 раз больше.
• Использование g = 10 вместо 9,81. В задачах с требованием точности двух знаков разница существенна; уточняйте условие.
• Учёт плотности тела вместо жидкости. В формулу $F_A = \rho g V_{погр}$ входит плотность жидкости (или газа), а не тела. Плотность тела нужна только для нахождения его веса или доли погружения.
• Вычисление F_A для тонущего тела как неполного. Если тело тонет, оно может быть погружено целиком - тогда $V_{погр} = V_{тела}$, и выталкивающая сила максимальна для данного объёма.

FAQ

Зависит ли выталкивающая сила от глубины погружения? Нет, если тело целиком находится под поверхностью. Выталкивающая сила определяется только объёмом погружённой части и плотностью жидкости. На глубине 1 м и на глубине 100 м $F_A$ одинакова (при одинаковой плотности жидкости, без учёта сжимаемости).

Как найти объём тела через закон Архимеда? Из формулы $F_A = \rho_ж g V_{погр}$ выражаем $V_{погр} = F_A / (\rho_ж g)$. Если тело утоплено целиком, это и есть его объём. Такой метод используется на практике: измерили динамометром кажущуюся потерю веса в воде - нашли объём тела.

Почему подводная лодка может всплывать и погружаться? Подводная лодка изменяет свою среднюю плотность, заполняя цистерны балласта водой (увеличивает массу при том же объёме корпуса - тонет) или продувая их сжатым воздухом (уменьшает массу - всплывает). Объём корпуса и, следовательно, $F_A$ при этом остаются примерно постоянными.

Коротко

Выталкивающая сила рассчитывается по формуле $F_A = \rho_ж g V_{погр}$: она равна весу жидкости, вытесненной погружённой частью тела. Сила не зависит от глубины и от материала тела - только от плотности жидкости и от объёма погружённой части. Знание этой зависимости позволяет решать задачи на условие плавания тел и закон Архимеда и объяснять поведение тел в любой среде - от воды до ртути и воздуха.