Как определить среднюю скорость течения: пошаговое решение

Дано: скоростная вертикаль глубиной $h = 1{,}20$ м; скорости течения на пяти горизонтах: у поверхности $0{,}78$, на $0{,}2h$ - $0{,}74$, на $0{,}6h$ - $0{,}62$, на $0{,}8h$ - $0{,}52$, у дна $0{,}38$ м/с. Найти: среднюю скорость течения на вертикали.

Среднюю скорость не измеряют напрямую: вертушка даёт скорость только в той точке, где стоит её лопастной винт, а среднее по глубине собирают из нескольких точечных измерений со своими весами. Пятиточечный способ даёт ответ $v_{\text{ср}} = 0{,}628$ м/с; двухточечный на тех же данных выдаёт $0{,}630$ м/с, одноточечный - $0{,}620$ м/с. Калькулятор сверху пересчитывает эпюру под любую глубину и любые показания и сразу показывает расхождение сокращённых способов с пятиточечным.

Решение по шагам

Дано: $h = 1{,}20$ м, скорости на горизонтах поверхность, $0{,}2h$, $0{,}6h$, $0{,}8h$, дно. Найти: среднюю скорость на вертикали $v_{\text{ср}}$ и элементарный расход $q$.

Шаг 1. Переводим обороты вертушки в скорость. Вертушка не показывает метры в секунду: она считает обороты винта, а скорость получают по тарировочному уравнению прибора $v = a n + b$, где $n = N / t$ - число оборотов в секунду, $a$ - шаг винта, $b$ - поправка на трение в подшипниках. Для горизонта $0{,}6h$ прибор дал $N = 240$ оборотов за $t = 100$ с при паспортных $a = 0{,}245$ и $b = 0{,}032$:

$$n = \frac{N}{t} = \frac{240}{100} = 2{,}40\ \text{об/с}, \qquad v_{0{,}6} = 0{,}245 \cdot 2{,}40 + 0{,}032 = 0{,}620\ \text{м/с}.$$

Так же обрабатывается каждый горизонт. Дальше в задаче скорости уже даны в метрах в секунду, поэтому пересчёт нужен только один раз, как проверка размерности.

Шаг 2. Выписываем эпюру скоростей. Горизонты задаются долей глубины, а не абсолютными отметками, поэтому сначала переводим доли в метры от поверхности.

Скорость монотонно падает ко дну - это нормальная эпюра открытого русла в свободном состоянии, без ледяного покрова и зарослей.

Шаг 3. Осредняем пятиточечным способом. Веса горизонтов в этой формуле фиксированы и в сумме дают 10:

$$v_{\text{ср}} = 0{,}1\,\bigl(v_{\text{пов}} + 3v_{0{,}2} + 3v_{0{,}6} + 2v_{0{,}8} + v_{\text{дно}}\bigr).$$

Подставляем измеренные значения:

$$v_{\text{ср}} = 0{,}1\,(0{,}78 + 3 \cdot 0{,}74 + 3 \cdot 0{,}62 + 2 \cdot 0{,}52 + 0{,}38) = 0{,}1 \cdot 6{,}28 = 0{,}628\ \text{м/с}.$$

Шаг 4. Проверяем сокращёнными способами. Если бы измерения вели не по пяти точкам, а по двум или по одной, ответ был бы таким:

$$v_{\text{ср}}^{(2)} = \frac{v_{0{,}2} + v_{0{,}8}}{2} = \frac{0{,}74 + 0{,}52}{2} = 0{,}630\ \text{м/с}, \qquad v_{\text{ср}}^{(1)} = v_{0{,}6} = 0{,}620\ \text{м/с}.$$

Расхождение двухточечного способа с пятиточечным - $+0{,}3\ \%$, одноточечного - $-1{,}3\ \%$. Это и есть цена сокращения программы измерений: она укладывается в собственную погрешность вертушки, поэтому на практике на средних глубинах спокойно работают двумя точками.

Шаг 5. Считаем элементарный расход. Средняя скорость на вертикали сразу даёт расход через полосу единичной ширины - эту величину потом используют при построении эпюры элементарных расходов:

$$q = v_{\text{ср}}\, h = 0{,}628 \cdot 1{,}20 = 0{,}754\ \text{м}^2/\text{с}.$$

Ответ. Средняя скорость течения на вертикали $v_{\text{ср}} = \textbf{0,628 м/с} \approx \textbf{0,63 м/с}$; элементарный расход на вертикали $q = \textbf{0,754 м}^2\textbf{/с}$.

Формула осреднения: откуда берутся веса 1-3-3-2-1

По определению средняя скорость на вертикали - это интеграл эпюры, делённый на глубину:

$$v_{\text{ср}} = \frac{1}{h}\int_0^h v(z)\, \mathrm{d}z .$$

Интеграл посчитать нечем: непрерывной функции $v(z)$ у гидролога нет, есть пять чисел. Поэтому берут формулу трапеций по тем горизонтам, где стояла вертушка. Шаги между ними неодинаковые: $0{,}2h$, затем $0{,}4h$, затем $0{,}2h$ и $0{,}2h$. Складываем площади четырёх трапеций и делим на $h$:

$$\frac{1}{h}\left[\frac{v_{\text{пов}} + v_{0{,}2}}{2}\,0{,}2h + \frac{v_{0{,}2} + v_{0{,}6}}{2}\,0{,}4h + \frac{v_{0{,}6} + v_{0{,}8}}{2}\,0{,}2h + \frac{v_{0{,}8} + v_{\text{дно}}}{2}\,0{,}2h\right].$$

Раскрываем скобки и собираем коэффициенты при каждой скорости: получается ровно $0{,}1$; $0{,}3$; $0{,}3$; $0{,}2$; $0{,}1$. Пятиточечная формула - не эмпирическая подгонка, а формула трапеций для стандартного набора горизонтов, и веса $3$ у $v_{0{,}2}$ и $v_{0{,}6}$ появляются потому, что эти точки обслуживают самый широкий участок глубины.

Сокращённые способы опираются на форму эпюры. В турбулентном потоке она близка к логарифмической, а у такой кривой местная скорость совпадает со средней по вертикали примерно на глубине $0{,}63h$ - отсюда и единственный горизонт $0{,}6h$ в одноточечном способе. У той же логарифмической кривой полусумма значений на $0{,}2h$ и $0{,}8h$ тоже почти точно равна среднему: отклонения в обе стороны от середины взаимно гасятся. Форма профиля задаётся режимом течения, и почему поток в реке практически всегда турбулентный, разобрано в статье про число Рейнольдса.

Какой способ выбрать: глубина, лёд и время измерения

Программу измерений выбирают по глубине вертикали, а не по желанию: чем мельче, тем меньше горизонтов помещается между поверхностью и дном, не попадая в зону их влияния.

На каждом горизонте вертушку выдерживают не меньше $100$ с. Причина не в приборе, а в самом потоке: мгновенная скорость в турбулентной струе пульсирует на $10$–$20\ \%$, и короткое измерение фиксирует случайную пульсацию, а не осреднённую скорость. Ста секунд хватает, чтобы пульсации взаимно погасились.

При ледоставе картина меняется: лёд создаёт вторую тормозящую границу, максимум скорости уходит с поверхности на середину глубины, а эпюра становится симметричной. Горизонты в этом случае сдвигают - одноточечный способ применяют на $0{,}5h$, трёхточечный на $0{,}15h$, $0{,}5h$ и $0{,}85h$ с простым средним арифметическим. Глубину при этом отсчитывают от нижней кромки льда, а не от его поверхности, иначе все горизонты уедут вниз.

От вертикали к средней скорости всего потока

Средняя скорость на вертикали и средняя скорость потока - разные величины, и их регулярно путают. Скорость потока получается взвешиванием вертикальных средних по площадям отсеков между вертикалями и равна расходу, делённому на площадь живого сечения:

$$v_{\text{пот}} = \frac{Q}{S} = \frac{\sum v_i f_i}{\sum f_i}.$$

Расчёт площади живого сечения по промерам и сборку расхода по отсекам подробно разбирает задача как найти расход воды в реке - здесь эти выкладки не повторяются. Важен только порядок действий: сначала осредняем по каждой вертикали, и лишь потом по ширине створа. Осреднить всё разом простым средним всех точечных измерений нельзя: глубокие вертикали несут больше воды, и их вклад должен быть больше.

Когда вертушки под рукой нет, скорость определяют поплавками. Поверхностный поплавок прошёл $39$ м за $50$ с, то есть $v_{\text{пов}} = 0{,}78$ м/с; переходный коэффициент к средней скорости обычно берут $0{,}85$, и получается $0{,}85 \cdot 0{,}78 = 0{,}663$ м/с. Против измеренных вертушкой $0{,}628$ м/с это завышение на $5{,}6\ \%$: фактическое отношение средней скорости к поверхностной на нашей вертикали равно $0{,}628 / 0{,}78 = 0{,}805$. Отсюда и репутация поплавкового способа как оценочного - на шероховатом мелком русле коэффициент падает до $0{,}80$, на глубоком гладком поднимается до $0{,}90$.

Третий путь - вообще не измерять скорость, а вычислить её по геометрии русла и уклону формулой Шези. Шероховатость русла играет в ней ту же роль, что коэффициент гидравлического трения в трубопроводе. Точность такой оценки ниже измерения, зато она не требует выхода на створ. Как из найденной скорости и расхода получают объём воды за период, показано в задаче про объём стока.

Частые ошибки

• Считают простое среднее арифметическое всех пяти скоростей. Получается $(0{,}78 + 0{,}74 + 0{,}62 + 0{,}52 + 0{,}38)/5 = 0{,}608$ м/с вместо $0{,}628$ м/с - занижение на $3{,}2\ \%$. Горизонты стоят неравномерно, поэтому веса обязаны быть разными.
• Меняют местами $0{,}2h$ и $0{,}8h$. Если отсчитать доли от дна, а не от поверхности, пятиточечная формула даст $0{,}606$ м/с: веса $3$ и $2$ окажутся не у тех скоростей. В двухточечном способе перестановка незаметна, поэтому ошибку легко не поймать.
• Подставляют доли глубины как метры. Горизонт $0{,}2h$ при $h = 1{,}20$ м - это $0{,}24$ м от поверхности, а не $0{,}20$ м. На малых глубинах разница уводит вертушку в придонный слой.
• Принимают поверхностную скорость за среднюю. Значение $0{,}78$ м/с завышает результат на $24\ \%$: у поверхности поток не тормозится дном и идёт быстрее всего.
• Измеряют меньше 100 с на горизонте. Ответ получится, но он будет случайной пульсацией: разброс мгновенных скоростей в турбулентном потоке сравним с разницей между соседними горизонтами.
• Смешивают среднюю скорость на вертикали со средней скоростью потока. Первая относится к одной вертикали, вторая - ко всему живому сечению и всегда меньше, потому что учитывает мелководные приберёжные отсеки.

FAQ

Почему средним горизонтом выбран именно $0{,}6h$? В турбулентном потоке эпюра близка к логарифмической, и у такой кривой местная скорость равна средней по вертикали на глубине около $0{,}63h$ от поверхности. Округление до $0{,}6h$ даёт погрешность порядка процента и удобно размечается по тросу лебёдки.

Чем средняя скорость на вертикали отличается от средней скорости потока? Первая - результат осреднения по глубине одной вертикали, вторая - по всей площади живого сечения. В нашем примере вертикаль дала $0{,}628$ м/с, а средняя скорость створа была бы заметно ниже: у берегов глубины и скорости малы, и они тянут среднее вниз.

Как определить скорость, если вертушки нет? Поплавками: измеряют время прохождения известного расстояния и умножают поверхностную скорость на переходный коэффициент $0{,}80$–$0{,}90$. Ещё вариант - расчёт по формуле Шези через уклон и гидравлический радиус. Оба способа оценочные, погрешность $10\ \%$ и выше.

Какая точность у пятиточечного способа? Погрешность средней скорости на вертикали при выдержке $100$ с и исправной тарировке составляет $2$–$3\ \%$; основной вклад вносят пульсации потока, а не сам прибор. Как складываются погрешности отдельных измерений в итоговую, разобрано в задаче про абсолютную погрешность.

Коротко

1. Перевести показания вертушки в скорость по тарировочному уравнению $v = a n + b$, где $n = N/t$: $240$ оборотов за $100$ с дают $0{,}620$ м/с.
2. Выписать эпюру: горизонты задаются долями глубины, при $h = 1{,}20$ м это $0$; $0{,}24$; $0{,}72$; $0{,}96$; $1{,}20$ м.
3. Осреднить пятиточечной формулой $v_{\text{ср}} = 0{,}1(v_{\text{пов}} + 3v_{0{,}2} + 3v_{0{,}6} + 2v_{0{,}8} + v_{\text{дно}})$: ответ $0{,}628$ м/с.
4. Проверить сокращёнными способами: двухточечный даёт $0{,}630$ м/с, одноточечный $0{,}620$ м/с, расхождение не больше $1{,}3\ \%$.
5. Умножить среднюю скорость на глубину и получить элементарный расход $q = 0{,}754$ м²/с; к средней скорости всего потока переходят уже через площадь живого сечения.