Как найти расход воды в реке: пошаговое решение

Дано: гидроствор шириной $B = 10$ м, четыре промерные вертикали через $b = 2$ м, глубины на них $0{,}6$; $1{,}1$; $1{,}2$; $0{,}7$ м, средние скорости по вертикалям $0{,}42$; $0{,}70$; $0{,}80$; $0{,}45$ м/с. Найти: расход воды $Q$.

Расход воды в реке ищут по той же основной формуле $Q = v S$, что и в трубе, только оба сомножителя приходится собирать из измерений: площадь живого сечения $S$ считается по промерам глубин, а скорость усредняется по вертикалям с учётом площади каждого отсека. Аналитический способ даёт $S = 7{,}20$ м², среднюю скорость $v_{\text{ср}} = 0{,}59$ м/с и ответ $Q = 4{,}26$ м³/с. Калькулятор сверху пересчитывает тот же створ под любые глубины, скорости и расстояния между вертикалями.

Решение по шагам

Дано: $B = 10$ м, $b = 2$ м, глубины и скорости из журнала промеров. Найти: $S$, $v_{\text{ср}}$, $Q$.

Шаг 1. Сводим измерения в журнал. Расстояния отсчитываются от постоянного начала, то есть от закреплённой на берегу точки, а не от уреза воды. Урезы записываются как вертикали с нулевой глубиной, иначе площадь у берега потеряется.

Шаг 2. Считаем площадь живого сечения. Между соседними вертикалями дно принимается прямолинейным, поэтому каждый отсек - это трапеция с высотой $b$ и основаниями $h_i$ и $h_{i+1}$:

$$S = \sum_{i=1}^{n-1} \frac{h_i + h_{i+1}}{2}\, b_i .$$

Подставляем все шесть промеров подряд, включая оба береговых треугольника:

$$S = \left(\frac{0 + 0{,}6}{2} + \frac{0{,}6 + 1{,}1}{2} + \frac{1{,}1 + 1{,}2}{2} + \frac{1{,}2 + 0{,}7}{2} + \frac{0{,}7 + 0}{2}\right) \cdot 2 = 7{,}20\ \text{м}^2 .$$

Площади отсеков по порядку: $0{,}60$; $1{,}70$; $2{,}30$; $1{,}90$; $0{,}70$ м². Их сумма и есть живое сечение створа.

Шаг 3. Находим скорость в каждом отсеке. Скорость измеряют на вертикалях, а расход течёт через отсеки между ними, поэтому для внутреннего отсека берётся полусумма скоростей его границ. У береговых отсеков вторая граница - урез, где скорость равна нулю не по всей глубине, а лишь у самой кромки; полусумму там применять нельзя. Вместо неё используют береговой коэффициент $k$: $0{,}7$ для пологого берега, $0{,}8$ для обрывистого и $0{,}5$ при мёртвом пространстве или зарослях.

$$q_i = \frac{v_i + v_{i+1}}{2}\, f_i , \qquad q_{\text{бер}} = k\, v_{\text{кр}}\, f_{\text{бер}} .$$

Шаг 4. Считаем частные расходы отсеков. Берег в задаче пологий, поэтому $k = 0{,}7$.

Шаг 5. Складываем частные расходы и находим среднюю скорость.

$$Q = \sum q_i = 0{,}176 + 0{,}952 + 1{,}725 + 1{,}188 + 0{,}221 = 4{,}26\ \text{м}^3/\text{с} .$$ $$v_{\text{ср}} = \frac{Q}{S} = \frac{4{,}26}{7{,}20} = 0{,}59\ \text{м/с} .$$

Ответ. Площадь живого сечения $S = \textbf{7,20 м}^2$, средняя скорость потока $\textbf{0,59 м/с}$, расход воды $Q = \textbf{4,26 м}^3\textbf{/с} = \textbf{4260 л/с}$.

Формула расхода: почему площадь умножается на скорость

За секунду через створ проходит слой воды толщиной $v$ и площадью $S$, поэтому объём этого слоя и есть секундный расход. Формула $Q = vS$ работает только при одном условии: скорость должна быть средней по всему сечению, а не в самой быстрой точке. В реке скорость меняется и по ширине, и по глубине, поэтому усреднять приходится дважды - сначала по вертикали, затем по ширине створа через частные расходы отсеков.

Средняя скорость на вертикали сама по себе результат измерения. При одноточечном способе вертушку опускают на глубину $0{,}6h$ от поверхности: на этом горизонте скорость близка к средней по всей вертикали. При двухточечном способе усредняют показания на $0{,}2h$ и $0{,}8h$, при пятиточечном добавляют поверхность, дно и середину с весовыми коэффициентами.

В напорном трубопроводе задача проще: сечение задано диаметром и не меняется с расходом, а скорости в разных сечениях связаны уравнением неразрывности. Этот случай подробно разобран в задаче как рассчитать расход жидкости. В открытом русле такого жёсткого сечения нет: поднялся уровень - выросли и площадь, и скорость, поэтому расход меняется быстрее уровня.

Береговые отсеки, число вертикалей и обрывистый берег

Береговой коэффициент $k$ - единственное место расчёта, где появляется опытный множитель, и именно он чаще всего вызывает вопросы. Физика простая: у пологого берега скорость гасится трением о дно на всём подходе, поэтому средняя скорость берегового треугольника заметно ниже, чем на первой вертикали. У вертикальной стенки набережной или подмытого яра вода тормозится слабее, и коэффициент поднимают до $0{,}8$. Если у берега стоит тростник или лёд примерз к отмели, часть сечения вообще не участвует в переносе воды, и берут $0{,}5$.

Число вертикалей выбирают так, чтобы на каждый отсек приходилось не больше $10\%$ общего расхода, а на береговые - не больше $5\%$. В нашем створе самый нагруженный отсек даёт $1{,}725 / 4{,}26 = 40\%$ расхода, то есть для рабочих измерений вертикалей маловато: их стоило бы поставить через метр. Для учебной задачи четырёх вертикалей достаточно, но проверять долю отсека полезно всегда - калькулятор сверху позволяет уменьшить шаг и увидеть, как меняется ответ.

Схема расчёта не зависит от того, чем измерена скорость. Если вместо вертушки использовали поплавки, поверхностную скорость умножают на переходный коэффициент $0{,}80$–$0{,}90$ и дальше считают точно так же. Если известен только объём, набранный за время (маленький ручей, лоток, водослив), расход берут напрямую как $Q = W / t$, и промеры не нужны.

Проверка по формуле Шези

Когда скорость не измеряли, расход оценивают по геометрии русла и его уклону. Сначала нужен смоченный периметр - длина линии дна от уреза до уреза:

$$\chi = \sum \sqrt{b_i^2 + (h_{i+1} - h_i)^2} = 10{,}33\ \text{м}, \qquad R = \frac{S}{\chi} = \frac{7{,}20}{10{,}33} = 0{,}70\ \text{м}.$$

Величина $R$ - гидравлический радиус. У широких равнинных рек он почти совпадает со средней глубиной: здесь $h_{\text{ср}} = S / B = 0{,}72$ м против $R = 0{,}70$ м. Дальше работает формула Шези с коэффициентом по Маннингу, где $n$ - шероховатость русла, а $i$ - уклон водной поверхности:

$$Q = S\,C\sqrt{R\,i}, \qquad C = \frac{1}{n}\,R^{1/6}.$$

При $n = 0{,}030$ (русло с травой и галькой) и уклоне $i = 0{,}0005$ получаем $C = 31{,}4$, скорость $v = 31{,}4\sqrt{0{,}70 \cdot 0{,}0005} = 0{,}59$ м/с и расход $Q = 4{,}23$ м³/с. Расхождение с измеренным значением меньше $1\%$ - метод подтверждает результат промеров. Роль коэффициента $n$ здесь та же, что у коэффициента гидравлического трения в трубе: он собирает в себя все потери на трение о стенки.

Найденный расход - это мгновенная характеристика створа. Чтобы перейти к стоку за месяц или год, его умножают на длительность периода: как считают объём стока, разобрано отдельно.

Частые ошибки

• Площадь считают как $B \cdot h_{\max}$. Получается $10 \cdot 1{,}2 = 12$ м² вместо $7{,}2$ м², и расход завышается почти вдвое. Живое сечение реки - не прямоугольник, а сумма трапеций.
• Урезы не заносят в журнал. Без нулевых глубин на краях пропадают два береговых треугольника, а с ними примерно $18\%$ площади створа.
• Береговые отсеки считают по полной скорости первой вертикали. Без коэффициента $k$ ответ вырастает до $4{,}43$ м³/с, то есть на $4\%$: ошибка небольшая, но систематическая, и на узких реках она заметно больше.
• Скорости усредняют простым средним арифметическим. На симметричном створе результат почти совпадает со взвешенным, но стоит руслу стать несимметричным - расход уезжает на $10$–$15\%$. Взвешивать нужно по площадям отсеков.
• Путают скорость в точке и среднюю по вертикали. Показание вертушки у поверхности выше средней примерно на $15\%$; подставлять его в $Q = vS$ нельзя.
• Смешивают единицы. Глубины в промерных книжках часто записаны в сантиметрах, ширина - в метрах; перед расчётом всё переводится в метры, иначе площадь ошибается в сто раз.

FAQ

Чем расход воды в реке отличается от расхода жидкости в трубе? Формула одна и та же, отличается способ получить $S$ и $v$. В трубе площадь известна из диаметра, а скорость постоянна по сечению с хорошей точностью. В реке площадь набирается из промеров глубин, а скорость меняется по всему сечению, поэтому расход собирают по отсекам.

Сколько промерных вертикалей нужно ставить? По ширине створа: на реках уже $5$ м хватает пяти вертикалей, до $50$ м ставят десять и больше. Формальный критерий - доля отсека в общем расходе не выше $10\%$. Дополнительные вертикали обязательны в местах перелома дна: на бровке, у ямы, на границе переката.

Что делать, если измерена только поверхностная скорость? Умножить её на переходный коэффициент: $0{,}85$ для средних равнинных рек, $0{,}80$ для мелких с шероховатым дном, $0{,}90$ для глубоких с гладким руслом. Дальше расчёт по отсекам не меняется.

Какова точность такого измерения? Аналитический способ при достаточном числе вертикалей даёт погрешность расхода около $3$–$5\%$; основной вклад вносят скорости, а не глубины. Как складываются вклады отдельных измерений, разобрано в задаче про абсолютную погрешность.

Коротко

1. Записать журнал промеров: расстояния от постоянного начала, глубины, средние скорости по вертикалям; урезы вносятся с нулевой глубиной.
2. Найти площадь живого сечения как сумму трапеций между вертикалями: $S = 7{,}20$ м².
3. Для внутренних отсеков взять полусумму скоростей соседних вертикалей, для береговых - скорость крайней вертикали с коэффициентом $k = 0{,}7$.
4. Сложить частные расходы отсеков: $Q = 4{,}26$ м³/с, или $4260$ л/с.
5. Проверить ответ: $v_{\text{ср}} = Q / S = 0{,}59$ м/с должна попадать в диапазон измеренных скоростей, а расчёт по Шези - сходиться с результатом промеров в пределах нескольких процентов.