Как определить площадь живого сечения: решение

Дано: гидроствор шириной $B = 12$ м, промерные вертикали через $b = 2$ м, глубины от левого уреза к правому: $0$; $0{,}45$; $0{,}95$; $1{,}30$; $1{,}15$; $0{,}70$; $0$ м. Найти: площадь живого сечения $S$, смоченный периметр $\chi$ и гидравлический радиус $R$.

Площадь живого сечения по промерам глубин находят способом трапеций: створ режется промерными вертикалями на отсеки, каждый отсек считается трапецией с основаниями-глубинами, площади отсеков складываются. Ответ: $S = 9{,}10$ м², $\chi = 12{,}32$ м, $R = 0{,}739$ м. Калькулятор сверху пересчитывает тот же створ под любые глубины, шаг вертикалей и наличие ледяного покрова.

Решение по шагам

Дано: $B = 12$ м, $b = 2$ м, семь промерных точек с глубинами выше. Найти: $S$, $\chi$, $R$, среднюю глубину $h_{\text{ср}}$.

Шаг 1. Сводим промеры в журнал. Расстояния отсчитываются от постоянного начала - закреплённой на берегу точки. Урезы воды обязательно заносятся как вертикали с нулевой глубиной: без них потеряются два береговых треугольника.

Шаг 2. Считаем площадь каждого отсека. Между соседними вертикалями дно считается прямой линией, поэтому отсек - трапеция с основаниями $h_i$ и $h_{i+1}$ и высотой $b$:

$$f_i = \frac{h_i + h_{i+1}}{2}\, b .$$

Для первого отсека $f_1 = \dfrac{0 + 0{,}45}{2}\cdot 2 = 0{,}45$ м², для второго $f_2 = \dfrac{0{,}45 + 0{,}95}{2}\cdot 2 = 1{,}40$ м². Остальные считаются так же.

Шаг 3. Складываем площади отсеков. Сумма шести трапеций и есть живое сечение створа:

$$S = \sum_{i=1}^{6} f_i = 0{,}45 + 1{,}40 + 2{,}25 + 2{,}45 + 1{,}85 + 0{,}70 = 9{,}10\ \text{м}^2 .$$

Попутно находится средняя глубина створа: $h_{\text{ср}} = S / B = 9{,}10 / 12 = 0{,}76$ м. Она вдвое меньше наибольшей глубины $1{,}30$ м - обычная картина для равнинного русла.

Шаг 4. Находим смоченный периметр. Это длина ломаной линии дна от уреза до уреза. Каждое звено - гипотенуза треугольника с катетами $b$ и перепадом глубин:

$$\chi = \sum_{i=1}^{6} \sqrt{b^2 + (h_{i+1} - h_i)^2} .$$

Первое звено: $\sqrt{2^2 + 0{,}45^2} = 2{,}050$ м, второе $\sqrt{2^2 + 0{,}50^2} = 2{,}062$ м, дальше $2{,}030$; $2{,}006$; $2{,}050$; $2{,}119$ м. Сумма даёт $\chi = 12{,}32$ м. Заметь: линия свободной поверхности длиной $12$ м в периметр не входит - вода трётся о дно и берега, а не о воздух.

Шаг 5. Делим одно на другое. Гидравлический радиус - отношение площади к смоченному периметру:

$$R = \frac{S}{\chi} = \frac{9{,}10}{12{,}32} = 0{,}739\ \text{м} .$$

Ответ: $S = 9{,}10$ м², $\chi = 12{,}32$ м, $R = 0{,}739$ м, $h_{\text{ср}} = 0{,}76$ м.

Формула живого сечения и откуда она берётся

Живым сечением называют ту часть поперечного сечения потока, по которой вода действительно движется. Прилагательное «живое» противопоставляет её мёртвым пространствам: заводям за выступом берега, зарослям тростника, застойным зонам у ледяных заберегов. Геометрически они внутри контура русла, но переноса воды не дают, и при точных расчётах их площадь вычитают.

Способ трапеций опирается на единственное допущение: между двумя соседними промерами дно идёт прямой линией. Допущение тем вернее, чем чаще стоят вертикали, поэтому на переломах рельефа - на бровке, у ямы, на границе переката - вертикаль ставят дополнительно, не выдерживая равномерный шаг. Формула при этом не меняется, просто у каждого отсека своя высота $b_i$.

Смоченный периметр $\chi$ и гидравлический радиус $R$ появляются не из геометрии, а из механики потока. Сопротивление движению создаётся трением о смоченную границу, поэтому важна не сама площадь, а то, какая длина стенки приходится на единицу площади. Величина $R = S/\chi$ - это приведённый размер потока: у неглубокого широкого русла он мал, и вода тормозится сильнее, чем в компактном глубоком сечении той же площади.

У широких равнинных рек гидравлический радиус почти равен средней глубине. В нашем створе отношение ширины к средней глубине равно $12 / 0{,}76 \approx 16$, и $R = 0{,}739$ м отличается от $h_{\text{ср}} = 0{,}758$ м всего на $2{,}6\ \%$. Правило работает при $B / h_{\text{ср}} > 10$: смоченный периметр в таком русле близок к ширине, и дробь сокращается. На узком глубоком канале или в трубе эта замена недопустима.

Живое сечение правильной формы: лоток, канал, труба

Если русло искусственное, промеры не нужны - сечение задано чертежом, и площадь берётся по готовой формуле. Ниже $b$ - ширина по дну, $h$ - глубина наполнения, $m$ - коэффициент заложения откоса, $d$ - диаметр трубы.

Проверим на канале с шириной по дну $2{,}0$ м, заложением откосов $m = 1{,}5$ и глубиной $1{,}2$ м:

$$S = (2{,}0 + 1{,}5\cdot 1{,}2)\cdot 1{,}2 = 4{,}56\ \text{м}^2, \qquad \chi = 2{,}0 + 2\cdot 1{,}2\sqrt{1 + 1{,}5^2} = 6{,}33\ \text{м}, \qquad R = 0{,}721\ \text{м} .$$

Здесь ширина поверху равна $5{,}6$ м, а средняя глубина $4{,}56 / 5{,}6 = 0{,}81$ м - она уже заметно больше гидравлического радиуса, потому что откосы добавляют к периметру больше, чем к площади. Для трубы, заполненной ровно наполовину, счёт совсем короткий: $R = d/4$ независимо от диаметра.

Как живое сечение меняется с уровнем и подо льдом

Живое сечение - не константа русла, а функция уровня воды. Поднялся уровень на $\Delta H$ - площадь выросла примерно на $B\,\Delta H$, где $B$ берётся по ширине потока на этой отметке. В нашем створе подъём на $20$ см добавит около $12 \cdot 0{,}2 = 2{,}4$ м², то есть четверть площади: мелкое широкое русло реагирует на уровень очень резко. Построенная по серии промеров зависимость $S(H)$ называется кривой площадей и позволяет получать сечение по одному отсчёту уровня, без выезда на створ.

Зимой картина меняется сильнее всего. Лёд перекрывает поток сверху, глубины отсчитываются уже не от поверхности воды, а от нижней кромки льда, и вода трётся теперь о две границы. Смоченный периметр вырастает на ширину ледяного перекрытия: при той же площади $9{,}10$ м² он станет $12{,}32 + 12 = 24{,}3$ м, а гидравлический радиус упадёт до $0{,}374$ м, то есть вдвое. Именно поэтому подо льдом при том же уровне река несёт заметно меньше воды.

Найденное сечение - половина ответа в большинстве гидрометрических задач: дальше его умножают на среднюю скорость, чтобы получить расход. Как собирается скорость по вертикали, разобрано в задаче как определить среднюю скорость течения, а весь расчёт целиком, вместе с частными расходами отсеков и проверкой по формуле Шези, - в разборе как найти расход воды. Для напорной трубы задача проще: там живое сечение совпадает с сечением трубы, см. как рассчитать расход жидкости.

Частые ошибки

• Площадь считают как $B \cdot h_{\max}$. Получается $12 \cdot 1{,}3 = 15{,}6$ м² вместо $9{,}10$ м², то есть завышение на $71\ \%$. Живое сечение реки - сумма трапеций, а не прямоугольник.
• Урезы не заносят в журнал. Без двух нулевых глубин на краях пропадают береговые отсеки, а это $0{,}45 + 0{,}70 = 1{,}15$ м², почти $13\ \%$ площади.
• В смоченный периметр включают свободную поверхность. Добавив $12$ м ширины, получают $\chi = 24{,}3$ м и заниженный вдвое радиус. Поверхность воды входит в периметр только подо льдом, когда сверху появляется твёрдая граница.
• Периметр считают как сумму шагов $b$. Тогда $\chi = 12$ м вместо $12{,}32$ м: забыт наклон дна. На пологом створе разница мала, но на обрывистом берегу звено периметра может быть вдвое длиннее шага.
• Смешивают единицы. В промерных книжках глубины часто записаны в сантиметрах, а расстояния в метрах; перед расчётом всё переводится в метры, иначе площадь ошибается в сто раз.
• Гидравлический радиус принимают равным половине глубины или радиусу трубы. Для полукруглого сечения $R = d/4$, для широкого русла $R \approx h_{\text{ср}}$ - никакой универсальной «половины» не существует.

FAQ

Чем живое сечение отличается от поперечного сечения русла? Поперечное сечение - весь контур русла до бровок, включая сухие части берега и застойные зоны. Живое сечение - только та часть, что занята движущейся водой на момент измерения. При низком уровне живое сечение может быть в разы меньше полного.

Сколько промерных вертикалей нужно? По нормам гидрометрии - столько, чтобы на один отсек приходилось не больше $10\ \%$ площади, а на береговой не больше $5\ \%$. В нашем створе самый крупный отсек даёт $26{,}9\ \%$: для учебной задачи шести отсеков хватает, для рабочих измерений вертикали стоило бы поставить через метр.

Входит ли в смоченный периметр линия уреза? Нет: периметр - это длина контакта воды с руслом, урез сам по себе точка, а не отрезок. Спорный случай - вертикальная стенка набережной или подмытый яр: там к периметру добавляется высота стенки, равная глубине у берега.

Зачем вообще нужен гидравлический радиус? Он входит в формулу Шези и в число Рейнольдса для открытого потока: скорость пропорциональна $\sqrt{R\,i}$, где $i$ - уклон. Через него площадь сечения связывается с сопротивлением русла, роль которого в трубах играет коэффициент гидравлического трения.

Коротко

1. Записать журнал: расстояния от постоянного начала и глубины, урезы - с нулевой глубиной.
2. Разбить створ на отсеки и найти площадь каждого как трапеции: $f_i = \dfrac{h_i + h_{i+1}}{2} b$.
3. Сложить площади отсеков: $S = 9{,}10$ м²; попутно $h_{\text{ср}} = S / B = 0{,}76$ м.
4. Сложить звенья линии дна: $\chi = \sum \sqrt{b^2 + \Delta h^2} = 12{,}32$ м; свободную поверхность не включать.
5. Разделить одно на другое: $R = S/\chi = 0{,}739$ м. Проверка для широкого русла - $R$ должен быть чуть меньше средней глубины.