Как определить норму осадков: расчёт по ряду лет

Дано: годовые суммы осадков на метеостанции за 12 лет наблюдений: 512, 638, 447, 701, 585, 623, 498, 556, 672, 534, 609 и 465 мм. Найти: норму осадков, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации и относительную погрешность нормы, а затем проверить, хватает ли 12 лет для точности 5 %.

Норма осадков - это средняя многолетняя сумма, поэтому считают её как обычное среднее арифметическое ряда. Вся остальная работа уходит не на вычисление среднего, а на ответ, насколько этому среднему можно верить. Ответ: норма $x_0 = 570$ мм, $\sigma = 81{,}4$ мм, $C_v = 0{,}143$, погрешность нормы 4,1 %, ряда из 12 лет достаточно. Калькулятор сверху пересчитывает все эти величины под любой ряд, а оранжевая линия показывает, с какого года накопленная средняя перестаёт выходить из коридора допустимой погрешности.

Решение по шагам

Дано: $n = 12$ годовых сумм осадков, допустимая погрешность нормы $\varepsilon_{\text{доп}} = 5\ \%$. Найти: $x_0$, $\sigma$, $C_v$, $\varepsilon$.

Шаг 1. Складываем ряд и делим на число лет. Другого определения у нормы нет: это средняя многолетняя величина, то есть сумма всех годовых сумм, делённая на количество лет наблюдений.

$$x_0 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{6840}{12} = 570\ \text{мм}.$$

Шаг 2. Находим отклонения каждого года от нормы и их квадраты. Сами отклонения для оценки разброса не годятся: их сумма по определению равна нулю, и это хорошая проверка арифметики первого шага. Работают с квадратами отклонений.

Шаг 3. Считаем среднее квадратическое отклонение. Сумму квадратов делим на $n - 1$, а не на $n$. Ряд наблюдений - это выборка из бесконечного климатического ряда, норма в знаменателе сама оценена по этим же данным, и делитель $n - 1$ компенсирует потерю одной степени свободы.

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - x_0)^2}{n - 1}} = \sqrt{\frac{72\,938}{11}} = \sqrt{6630{,}7} = 81{,}4\ \text{мм}.$$

Шаг 4. Переводим разброс в безразмерный вид. Восемьдесят миллиметров - это много или мало, зависит от того, сколько выпадает всего, поэтому отклонение делят на норму:

$$C_v = \frac{\sigma}{x_0} = \frac{81{,}4}{570} = 0{,}143.$$

Шаг 5. Оцениваем погрешность самой нормы. Разброс по годам и погрешность нормы - разные вещи: отдельные годы гуляют на $\pm 81$ мм, но среднее из двенадцати таких лет устойчивее в $\sqrt{n}$ раз.

$$\sigma_{x_0} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{81{,}4}{\sqrt{12}} = 23{,}5\ \text{мм}, \qquad \varepsilon = \frac{C_v}{\sqrt{n}} \cdot 100\ \% = \frac{14{,}3}{3{,}46} = 4{,}1\ \%.$$

Ответ: норма осадков $x_0 = 570$ мм, среднее квадратическое отклонение $\sigma = 81{,}4$ мм, коэффициент вариации $C_v = 0{,}143$, погрешность нормы $\pm 23{,}5$ мм, или 4,1 %. Погрешность укладывается в допуск 5 %, значит ряда из 12 лет для этой станции достаточно.

Формула нормы и откуда она берётся

Норма осадков - статистическая оценка математического ожидания годовой суммы. Само математическое ожидание неизвестно и недостижимо: климат не даёт бесконечного ряда, а тот, что есть, ещё и меняется. Наилучшей оценкой при примерно симметричном распределении служит среднее арифметическое, поэтому формула нормы так проста.

Медиану вместо среднего берут редко, и только там, где распределение сильно скошено, - например, для суточных максимумов осадков или для месячных сумм в засушливых районах, где почти все значения малы, а редкий ливень даёт выброс. Годовые суммы в умеренном поясе распределены близко к нормальному закону с $C_v$ порядка 0,15–0,25, и среднее для них работает корректно.

Отдельно стоит различать норму и климатическую норму. В метеорологии под климатической нормой понимают среднее за стандартный тридцатилетний период, который Всемирная метеорологическая организация обновляет раз в десять лет: сейчас это 1991–2020 годы. Фиксированный период нужен не для точности, а для сопоставимости: две станции сравнимы только тогда, когда их нормы посчитаны за одни и те же годы. В гидрологических расчётах норму считают за весь доступный ряд, лишь бы он был однородным и достаточным по длине.

Однородность проверяют до всякой арифметики. Перенос метеоплощадки, замена осадкомера Третьякова на автоматический датчик, введение поправок на смачивание и ветровой недоучёт - всё это меняет уровень ряда, и средняя по такому ряду не описывает ни старые условия, ни новые. Формально однородность проверяют критериями Стьюдента и Фишера по двум половинам ряда или разностной интегральной кривой.

Сколько лет наблюдений нужно

Требование к длине ряда выводится из той же формулы погрешности. Если задана допустимая относительная погрешность нормы $\varepsilon_{\text{доп}}$, то из $\varepsilon = C_v / \sqrt{n}$ сразу получается минимальное число лет:

$$n_{\min} = \left(\frac{C_v}{\varepsilon_{\text{доп}}}\right)^2.$$

Для нашей станции $n_{\min} = (14{,}3 / 5)^2 = 8{,}2$, то есть девять лет. Двенадцать имеющихся лет перекрывают это требование с запасом. Обрати внимание на квадрат: чтобы уточнить норму вдвое, нужно вчетверо больше наблюдений, и именно поэтому за столетие измерений норму осадков так и не научились определять с точностью до процента.

В практике гидрологических расчётов чаще принимают допуск 10 % - это требование к норме стока в нормативных методиках. Для осадков, у которых $C_v$ обычно меньше, чем у стока, десятипроцентная точность достигается уже на ряде в 5–10 лет, а пятипроцентная требует нескольких десятков лет в засушливых районах. Подробный разбор самого коэффициента вариации с таблицей отклонений - в задаче про расчёт коэффициента вариации, а промежуточный шаг с суммой квадратов - в разборе вычисления дисперсии.

Есть и наглядная проверка, которую делает график калькулятора. Накопленная средняя - это норма, посчитанная по первым одному, двум, трём и так далее годам. На нашем ряду она скачет первые три года, а начиная с четвёртого уже не выходит из коридора $\pm 5\ \%$ вокруг итоговой нормы. Такая картинка не заменяет расчёт погрешности, потому что коридор построен вокруг оценки, полученной по тому же ряду, но она хорошо показывает, когда ряд «успокаивается».

Как восстановить пропуск в ряду

Пропущенный год не выбрасывают: ряд и так короткий, а лишняя потеря увеличивает погрешность. Значение восстанавливают по станции-аналогу методом отношений. Пусть в пропущенный год на аналоге выпало 704 мм при его собственной норме 640 мм, тогда год был влажнее обычного в $704 / 640 = 1{,}10$ раза, и на нашей станции следует ожидать:

$$x_{\text{восст}} = x_0 \cdot \frac{y}{y_0} = 570 \cdot \frac{704}{640} = 570 \cdot 1{,}10 = 627\ \text{мм}.$$

Аналог выбирают не произвольно: станция должна лежать в том же климатическом районе, обычно не далее 100–150 км, иметь длинный собственный ряд и давать коэффициент корреляции с нашей станцией не ниже 0,7–0,8 по совместным годам. Без проверки корреляции метод превращается в гадание, особенно в горах, где соседние долины различаются по увлажнению в разы.

После вставки восстановленного года норма по 13 годам станет $(6840 + 627) / 13 = 574$ мм. Сдвиг всего 4 мм, или 0,8 % - существенно меньше погрешности нормы 4,1 %, так что на саму норму один восстановленный год почти не влияет. Смысл восстановления в другом: сохранить непрерывность ряда для расчётов, где годы идут подряд, - водного баланса, разностной интегральной кривой, оценки объёма стока по годам. Восстановленные значения всегда помечают в таблице, потому что они менее надёжны и в расчёт $C_v$ вносят сглаживание.

Частые ошибки

• Делят сумму квадратов отклонений на $n$ вместо $n - 1$. На ряде из 12 лет это занижает $\sigma$ примерно на 4 %, а на ряде из 5 лет - уже на 11 %.
• Путают разброс по годам и погрешность нормы, записывая ответ как «570 ± 81 мм». Через $\sigma$ характеризуют отдельный год, норму - через $\sigma / \sqrt{n} = 23{,}5$ мм.
• Считают годовую норму как среднее из двенадцати месячных норм. Годовая норма - их сумма, среднее месячное значение меньше ровно в 12 раз.
• Берут ряд, в середине которого станцию перенесли или сменили осадкомер, и получают среднее между двумя разными уровнями. Однородность проверяется до расчёта нормы.
• Округляют норму до десятых долей миллиметра при погрешности в 23 мм. Норму записывают целыми миллиметрами, а лучше сразу с погрешностью.
• Принимают тридцатилетний период как обязательный для любой задачи. Тридцать лет - стандарт климатической нормы для сопоставимости станций, а достаточность ряда под заданную точность считается через $C_v$ и $n_{\min}$.

FAQ

Чем норма осадков отличается от средней за период? Формула одна и та же, разница в статусе периода. Норма считается за стандартный или за весь доступный однородный ряд и используется как опорная величина, а средняя за произвольные пять лет - просто среднее этих пяти лет и ни с чем не сопоставима.

За какой период считают климатическую норму сейчас? За 1991–2020 годы: Всемирная метеорологическая организация обновляет тридцатилетний базовый период каждые десять лет. Именно с этой нормой сравнивают сообщения вида «осадков выпало 130 % от нормы».

Можно ли считать норму, если в ряду есть пропуски? Да, но сначала пропуски восстанавливают по станции-аналогу, а восстановленные значения помечают. Если пропусков больше 10–15 % длины ряда или они идут подряд несколько лет, норму по такому ряду не считают, а весь ряд приводят к длинному ряду станции-аналога.

Как определить норму месячных или сезонных осадков? Алгоритм тот же, но коэффициент вариации у месячных сумм в 2–3 раза выше, чем у годовых, поэтому для той же точности нужен ряд в несколько раз длиннее. Из-за квадрата в формуле $n_{\min}$ рост $C_v$ вдвое требует вчетверо больше лет.

Коротко

1. Норма осадков - средняя многолетняя сумма: $x_0 = \frac{1}{n}\sum x_i$. Для ряда из 12 лет с суммой 6840 мм это 570 мм.
2. Разброс по годам: $\sigma = \sqrt{\sum (x_i - x_0)^2 / (n - 1)} = \sqrt{72\,938 / 11} = 81{,}4$ мм, отсюда $C_v = 81{,}4 / 570 = 0{,}143$.
3. Погрешность самой нормы меньше разброса в $\sqrt{n}$ раз: $\sigma_{x_0} = 23{,}5$ мм, или $\varepsilon = 4{,}1\ \%$.
4. Достаточность ряда: $n_{\min} = (C_v / \varepsilon_{\text{доп}})^2 = (14{,}3 / 5)^2 = 8{,}2 \to 9$ лет. Имеющихся 12 лет хватает.
5. Пропуск восстанавливают по аналогу через отношение: $570 \cdot 704 / 640 = 627$ мм; норма по 13 годам становится 574 мм, то есть сдвигается в пределах погрешности.