Как рассчитать коэффициент вариации: решение по шагам

Дано: заработная плата 10 рабочих бригады, тыс. руб.: 25, 33, 34, 37, 39, 41, 43, 46, 47, 55. Найти: коэффициент вариации и вывод об однородности бригады по уровню оплаты.

Считаем по неизменной цепочке: среднее, отклонения от среднего, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и только в конце деление отклонения на среднее. Ответ: $\bar{x} = 40$ тыс. руб., $\sigma = 8$ тыс. руб., $V = 20\%$, совокупность однородна. Калькулятор сверху пересчитывает те же четыре показателя по любому ряду, а ниже идёт разбор с полной таблицей отклонений.

Решение по шагам

Дано. Заработная плата рабочих бригады, тыс. руб.:

Найти: коэффициент вариации $V$.

Шаг 1. Средний уровень ряда. Значения не сгруппированы, каждое встречается по одному разу, поэтому работает простая средняя арифметическая:

$$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{25 + 33 + 34 + 37 + 39 + 41 + 43 + 46 + 47 + 55}{10} = \frac{400}{10} = 40.$$

Средняя зарплата по бригаде равна 40 тыс. руб. Это та база, относительно которой дальше будет измеряться весь разброс, поэтому ошибка на этом шаге испортит и все следующие.

Шаг 2. Отклонения от среднего и их квадраты. Вычитаем среднее из каждого значения и возводим разность в квадрат:

Сумма самих отклонений вышла нулевой, и это не совпадение, а обязательное свойство средней арифметической. Оно же служит бесплатной проверкой: если сумма во второй строке не обнулилась, среднее посчитано неверно или где-то потерян знак. Именно из-за этого нуля отклонения приходится возводить в квадрат, а не просто складывать.

Шаг 3. Дисперсия. Дисперсия - это средний квадрат отклонения от среднего. Делим накопленную сумму квадратов на число значений:

$$\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{640}{10} = 64.$$

Шаг 4. Среднее квадратическое отклонение. Извлекаем корень и возвращаемся к исходным единицам измерения, к тысячам рублей:

$$\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{64} = 8 \ \text{тыс. руб.}$$

Шаг 5. Коэффициент вариации. Делим отклонение на средний уровень и переводим долю в проценты:

$$V = \frac{\sigma}{\bar{x}} \cdot 100\% = \frac{8}{40} \cdot 100\% = 20\%.$$

Ответ. Средняя зарплата $\bar{x} = 40$ тыс. руб., среднее квадратическое отклонение $\sigma = 8$ тыс. руб., коэффициент вариации $V = 20\%$. Типичное отклонение зарплаты от средней составляет пятую часть этой средней; значение не дотягивает до порога 33%, поэтому бригаду считают однородной по оплате труда, а средние 40 тыс. руб. - представительной характеристикой.

Формула коэффициента вариации и что она означает

Коэффициент вариации - это отношение среднего квадратического отклонения к средней величине, выраженное в процентах:

$$V = \frac{\sigma}{\bar{x}} \cdot 100\%, \qquad \sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}}, \qquad \bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}.$$

В числителе стоит абсолютная мера разброса, в знаменателе - уровень, вокруг которого этот разброс происходит. Деление одного на другое убирает единицы измерения: рубли в числителе сокращаются с рублями в знаменателе, и остаётся чистое число. Поэтому коэффициент вариации и называют относительным показателем колеблемости.

Практический смысл ответа читается прямо из процента. Значение 20% означает, что типичное отклонение зарплаты от средней составляет 20% этой средней, то есть около 8 тыс. руб. при среднем уровне 40 тыс. руб. Тот же разброс в 8 тыс. руб. при средней зарплате 80 тыс. руб. дал бы уже $V = 10\%$: абсолютная колеблемость та же, а относительная вдвое меньше.

Отсюда главное применение показателя - сравнение рядов, у которых разные единицы или разный масштаб. Сравнивать по одному лишь $\sigma$ бригаду с зарплатами в тысячах рублей и бригаду со стажем в годах бессмысленно, а по $V$ - корректно. Что означают конкретные значения процента и где проходят границы однородности, подробно разобрано в статье про интерпретацию коэффициента вариации.

Проверка вторым способом: через средний квадрат

Ту же дисперсию можно получить, не выписывая таблицу отклонений. Есть эквивалентная формула: средний квадрат значений минус квадрат среднего.

$$\sigma^2 = \overline{x^2} - \left(\bar{x}\right)^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \bar{x}^{\,2}.$$

Считаем сумму квадратов исходных значений: $625 + 1089 + 1156 + 1369 + 1521 + 1681 + 1849 + 2116 + 2209 + 3025 = 16\,640$. Тогда

$$\sigma^2 = \frac{16\,640}{10} - 40^2 = 1664 - 1600 = 64,$$

то есть ровно то же значение, что и в шаге 3. Совпадение двух независимых способов - самая надёжная проверка расчёта, и на контрольной она занимает две строки. Второй способ удобнее, когда среднее получилось дробным: в таблице отклонений дробные разности пришлось бы округлять на каждой строке, а здесь округление происходит один раз в самом конце.

Расчёт по сгруппированному ряду с частотами

Если данные уже сведены в ряд распределения, каждое значение входит в расчёт столько раз, сколько единиц его имеют. Формулы становятся взвешенными: вместо простых сумм берутся суммы с частотами $f_i$.

$$\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}, \qquad \sigma^2 = \frac{\sum f_i (x_i - \bar{x})^2}{\sum f_i}.$$

Возьмём распределение 20 рабочих другого цеха по заработной плате. Для интервального ряда сначала находят середины интервалов - полусумму нижней и верхней границ:

Средняя зарплата равна $800 / 20 = 40$ тыс. руб., дисперсия $2000 / 20 = 100$, отклонение $\sigma = 10$ тыс. руб., коэффициент вариации $V = 10 / 40 \cdot 100\% = 25\%$. Средний уровень тот же, что в первой бригаде, а относительный разброс заметно больше: 25% против 20%. Именно так задача про сравнение двух совокупностей и решается - через проценты, а не через рубли.

Если вместо частот заданы вероятности, схема расчёта не меняется, только сумма весов равна единице; такой вариант разобран в задаче про математическое ожидание и дисперсию.

Делить на n или на n минус 1

Это главная развилка, из-за которой один и тот же ряд даёт два разных ответа. В общей теории статистики совокупность считают заданной целиком, и дисперсию делят на $n$ - так посчитано выше. В математической статистике те же 10 чисел трактуются как выборка из большой генеральной совокупности, и чтобы оценка не была смещённой, делитель уменьшают на единицу:

$$s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}} = \sqrt{\frac{640}{9}} \approx 8{,}43, \qquad V = \frac{8{,}43}{40} \cdot 100\% \approx 21{,}1\%.$$

Разница в ответах чуть больше процентного пункта и тем меньше, чем длиннее ряд: при $n = 100$ она уже незаметна. Вывод об однородности от делителя не меняется. Ориентируйся на формулировку задания: слова про генеральную совокупность или сплошное наблюдение означают деление на $n$, слово «выборка» - на $n - 1$. В калькуляторе сверху делитель переключается чипами, а подробный разбор выборочного варианта есть в статье про коэффициент вариации выборки.

Частые ошибки

• Делят отклонение на сумму значений, а не на среднее. В знаменателе стоит именно $\bar{x}$; деление на 400 вместо 40 занижает ответ ровно в десять раз.
• Забывают умножить на 100%. Ответ 0,2 формально верен как коэффициент, но задание почти всегда требует проценты, и вывод об однородности без процентов не формулируется.
• Ставят в числитель дисперсию вместо отклонения. Дисперсия измеряется в квадратах рублей, и деление её на среднее даёт величину без экономического смысла: $64 / 40 = 1{,}6$ - это не проценты и не разы.
• Складывают отклонения без возведения в квадрат. Их сумма всегда равна нулю, поэтому пропуск квадрата даёт $\sigma = 0$ при любом разбросе.
• В сгруппированном ряду теряют частоты. Простое среднее по серединам интервалов $(20 + 30 + 40 + 50 + 60)/5$ тоже даст 40, но дисперсия без весов выйдет 200 вместо 100, и ответ удвоится.
• Берут границы интервала вместо середины. В интервальном ряду в расчёт идёт полусумма границ, а не нижняя граница.
• Округляют слишком рано. Если $\sigma$ округлить до целых уже на четвёртом шаге, при дробных данных ответ уедет на десятые доли процента. Округляют один раз - готовый ответ, обычно до десятых.

FAQ

Чем коэффициент вариации отличается от среднего квадратического отклонения? Отклонение $\sigma$ - абсолютная мера разброса в единицах признака: рубли, годы, штуки. Коэффициент $V$ - относительная мера в процентах от среднего. Первое отвечает на вопрос «на сколько в среднем отклоняются значения», второе - «много это или мало по сравнению со средним уровнем».

При каком значении совокупность считается однородной? В учебной статистике порог однородности - 33%. Значение до 33% говорит об однородной совокупности и представительной средней, от 33% до 50% - о средней однородности, свыше 50% - о неоднородности, при которой одна лишь средняя данные описывает плохо.

Может ли коэффициент вариации быть больше 100%? Да, если отклонение превышает среднее. Так бывает у сильно скошенных рядов с редкими крупными значениями: зарплаты вместе с доходами топ-менеджеров, площади участков, страховые выплаты. Формально расчёт верен, а вывод один - совокупность неоднородна, и её нужно разбивать на группы.

Как посчитать коэффициент вариации в Excel? Среднее даёт функция СРЗНАЧ, отклонение по всей совокупности - СТАНДОТКЛОН.Г (делитель $n$), по выборке - СТАНДОТКЛОН.В (делитель $n - 1$). Коэффициент вариации - это отношение второй функции к первой, умноженное на 100 и отформатированное как процент.

Коротко

1. Считаем среднее: $\bar{x} = 400 / 10 = 40$ тыс. руб.
2. Находим отклонения от среднего, возводим их в квадрат и суммируем: $\sum (x_i - \bar{x})^2 = 640$; контроль - сумма самих отклонений равна нулю.
3. Делим сумму квадратов на $n$ и получаем дисперсию $\sigma^2 = 64$, из корня - отклонение $\sigma = 8$ тыс. руб.
4. Делим отклонение на среднее и переводим в проценты: $V = 8 / 40 \cdot 100\% = 20\%$.
5. Сравниваем с порогом 33%: 20% меньше, значит совокупность однородна, а средняя зарплата 40 тыс. руб. её описывает корректно.