Как найти равномерное распределение: разбор задачи

Дано: непрерывная случайная величина $X$ распределена равномерно на отрезке $[2;\ 8]$, то есть $a = 2$, $b = 8$. Найти: плотность $f(x)$, функцию распределения $F(x)$, математическое ожидание $M(X)$, дисперсию $D(X)$ и вероятность $P(3 < X < 5)$.

Равномерный закон задаётся всего двумя числами, границами отрезка, поэтому все характеристики считаются по коротким формулам, без единого интеграла в уме. Ответ: $f(x) = 1/6 \approx 0{,}1667$ на отрезке и ноль вне его, $F(x) = (x - 2)/6$, $M(X) = 5$, $D(X) = 3$, $P(3 < X < 5) = 1/3 \approx 0{,}3333$. Калькулятор сверху рисует эту плотность полкой постоянной высоты, и закрашенный прямоугольник над интервалом $(3;\ 5)$ и есть искомая вероятность.

Решение по шагам

Шаг 1. Плотность. Вся вероятностная масса равномерно размазана по отрезку длиной $b - a = 8 - 2 = 6$, поэтому плотность внутри постоянна, а снаружи равна нулю:

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{b - a} = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}1667, & 2 \le x \le 8, \\[4pt] 0, & x < 2 \text{ или } x > 8. \end{cases}$$

Вторая строка обязательна: без неё запись не задаёт плотность, потому что интеграл по всей оси не сойдётся к единице. Площадь полки равна $6 \cdot \tfrac{1}{6} = 1$, и это первая проверка правильности. Общая техника работы с кусочными плотностями разобрана отдельно в разборе про плотность распределения.

Шаг 2. Функция распределения. Интегрируем плотность от левой границы до текущей точки:

$$F(x) = \int_{2}^{x} \frac{1}{6}\, dt = \frac{x - 2}{6}, \quad 2 \le x \le 8,$$

а слева от отрезка $F(x) = 0$, справа $F(x) = 1$. Получается непрерывная ломаная из трёх звеньев: горизонталь на нуле, наклонный отрезок и горизонталь на единице. Наклон один и тот же на всём отрезке, потому что плотность постоянна. Свойства $F(x)$ и способ их проверки для любого закона собраны в разборе про функцию распределения.

Шаг 3. Математическое ожидание. Для равномерного закона интеграл даёт середину отрезка, и это интуитивно понятно: масса симметрична, центр тяжести лежит посередине.

$$M(X) = \int_{2}^{8} x \cdot \frac{1}{6}\, dx = \frac{a + b}{2} = \frac{2 + 8}{2} = 5.$$

Шаг 4. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Здесь формулу стоит запомнить, потому что вывод через определение занимает две строки выкладок:

$$D(X) = \frac{(b - a)^2}{12} = \frac{6^2}{12} = \frac{36}{12} = 3, \qquad \sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{3} \approx 1{,}732.$$

Дисперсия не зависит от того, где стоит отрезок на оси, а только от его длины: сдвиг $[2;\ 8]$ в $[102;\ 108]$ разброс не меняет. Если техника вычисления дисперсии через второй момент подзабылась, она разобрана в отдельном разборе про то, как вычислить дисперсию.

Шаг 5. Вероятность попадания в интервал. Самая приятная часть темы: считать ничего не нужно, достаточно поделить длины.

$$P(3 < X < 5) = \frac{5 - 3}{8 - 2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0{,}3333.$$

Тот же ответ через функцию распределения: $F(5) - F(3) = \tfrac{3}{6} - \tfrac{1}{6} = \tfrac{2}{6}$. Два способа сошлись, значит, арифметика верна.

Ответ. $f(x) = 1/6$ при $2 \le x \le 8$ и ноль вне отрезка; $F(x) = (x - 2)/6$ на отрезке, $0$ левее и $1$ правее; $M(X) = 5$; $D(X) = 3$; $\sigma(X) \approx 1{,}732$; $P(3 < X < 5) = 1/3 \approx 0{,}3333$, то есть примерно 33,3 %.

Формулы равномерного закона и откуда они берутся

Высота полки не выбирается произвольно: её диктует условие нормировки. Площадь под графиком плотности обязана равняться единице, а площадь прямоугольника есть произведение длины на высоту, откуда $h \cdot (b - a) = 1$ и $h = 1/(b - a)$. Отсюда же видно обратное соотношение: чем шире отрезок, тем ниже полка.

Формула вероятности через длины следует из той же геометрии. Вероятность попадания в интервал равна площади куска прямоугольника над этим интервалом, то есть длине куска, умноженной на постоянную высоту. Длина делится на длину, высота сокращается, и остаётся отношение. Это ровно тот приём, на котором строится геометрическая вероятность в задаче о встрече, только там отношение берётся для площадей на плоскости.

Двенадцать в знаменателе дисперсии появляется из вычисления второго момента: $M(X^2) = \frac{b^3 - a^3}{3(b - a)} = \frac{512 - 8}{18} = 28$, и тогда $D(X) = M(X^2) - M^2(X) = 28 - 25 = 3$. Число сошлось с формулой, так что знаменатель запоминается спокойно.

Другие формы условия

Прямое «дан отрезок, найдите всё» встречается в задачниках реже, чем обёртки. Разбирать их нужно одинаково: сначала вытащить из текста $a$ и $b$, дальше считать по таблице выше.

• Даны характеристики, нужны границы. Пусть $M(X) = 5$ и $D(X) = 3$. Из дисперсии $(b - a)^2 = 36$, то есть $b - a = 6$; из ожидания $a + b = 10$. Система решается устно и даёт $a = 2$, $b = 8$, наш же отрезок.
• Ожидание транспорта. Автобусы ходят каждые 12 минут, пассажир приходит наудачу, значит, время ожидания равномерно на $[0;\ 12]$. Среднее ожидание $6$ минут, дисперсия $144/12 = 12$, вероятность ждать не более 4 минут равна $4/12 = 1/3$.
• Ошибка округления. Она равномерна на $[-0{,}5;\ 0{,}5]$, так что $M(X) = 0$, $D(X) = 1/12 \approx 0{,}0833$, $\sigma \approx 0{,}289$. Эта модель лежит в основе оценки погрешности приборов.
• Интервал вылезает за отрезок. Для $P(5 < X < 12)$ учитывается только пересечение с $[2;\ 8]$: $P = (8 - 5)/6 = 0{,}5$. Часть интервала правее восьмёрки вероятности не добавляет, потому что там плотность нулевая.
• Обратная задача. Найти $x_p$, левее которого величина оказывается с вероятностью $0{,}9$: из $(x_p - 2)/6 = 0{,}9$ получаем $x_p = 7{,}4$. Общий взгляд на такие задачи есть в разборе про квантиль распределения.

Проверка ответа и сравнение с другими законами

Быстрых проверок три. Первая: площадь полки равна единице. Вторая: ожидание обязано лежать ровно посередине отрезка, и для симметричной плотности оно совпадает с медианой, у нас обе величины равны 5. Третья: сигма должна быть заметно меньше половины длины отрезка, ведь $\sigma = (b - a)/\sqrt{12} \approx 0{,}289\,(b - a)$.

Полезная деталь для самоконтроля: вероятность попасть в интервал $M \pm \sigma$ у равномерного закона равна $2\sigma/(b - a) = 2/\sqrt{12} \approx 0{,}577$ при любых границах. У нормального распределения в тот же интервал попадает 0,683, и это не совпадение: у колокола масса стянута к центру, а у полки размазана до краёв. Сравнение с показательным распределением даёт другой контраст: там медиана всегда меньше среднего из-за скоса вправо, а здесь они равны по симметрии. Подробный теоретический разбор самого закона с выводом каждой формулы лежит в статье про равномерное распределение непрерывной случайной величины.

Частые ошибки

• Пишут плотность одной строкой. Запись $f(x) = 1/6$ без указания отрезка и без нуля снаружи задаёт константу на всей оси, а её интеграл бесконечен. В ответе должны стоять обе ветки.
• Путают плотность и вероятность. Значение $f(x) = 0{,}1667$ не вероятность, а высота полки: у непрерывной величины вероятность попасть в конкретную точку равна нулю. Вероятность получается только умножением высоты на длину.
• Делят на 6 вместо 12 в дисперсии. В знаменателе стоит 12, а квадрат берётся от длины отрезка, а не от его границ. Ошибка $D(X) = (b^2 - a^2)/12$ встречается особенно часто.
• Берут длину интервала за пределами отрезка. Если интервал выходит за $[a;\ b]$, в числитель идёт только пересечение. Вероятность больше единицы или странно большая доля почти всегда означает именно этот промах.
• Теряют сдвиг в функции распределения. На отрезке $F(x) = (x - a)/(b - a)$, а не $x/(b - a)$: вычесть левую границу нужно обязательно, иначе $F(a)$ не обнулится.
• Спорят про строгие и нестрогие неравенства. Для непрерывной величины $P(3 < X < 5)$ и $P(3 \le X \le 5)$ совпадают, потому что вероятность отдельной точки равна нулю.

FAQ

Чем равномерное распределение отличается от равновозможных исходов в классической схеме? Идея одна, реализация разная. В классической схеме конечное число исходов, и каждый имеет вероятность $1/n$. Здесь исходов континуум, вероятность каждого отдельного значения равна нулю, а «равноправие» выражается постоянной плотностью и тем, что любые два интервала одинаковой длины внутри отрезка равновероятны.

Как обозначают равномерный закон? В русских учебниках пишут $X \sim R[a;\ b]$ или просто «$X$ распределена равномерно на $[a;\ b]$», в англоязычной литературе $X \sim U(a, b)$. Дискретный аналог, когда величина принимает $n$ значений с вероятностями $1/n$, называют дискретным равномерным распределением, и формулы у него другие.

Совпадают ли мода, медиана и среднее? Медиана и математическое ожидание совпадают и равны середине отрезка. Моды у равномерного закона нет: плотность не имеет максимума в одной точке, любая точка отрезка «равно популярна». Это отличает его от нормального и показательного законов, где мода определена однозначно.

Зачем нужен равномерный закон на практике? Им моделируют ошибку округления, момент прихода события внутри известного промежутка, время ожидания транспорта с фиксированным интервалом и координату случайно брошенной точки. Кроме того, генераторы случайных чисел выдают именно равномерную величину на $[0;\ 1]$, а любое другое распределение получают из неё преобразованием через обратную функцию $F^{-1}$.

Коротко

1. Равномерный закон задаётся парой границ: плотность $f(x) = 1/(b - a)$ внутри отрезка и ноль вне его, вторая ветка обязательна.
2. Функция распределения линейна на отрезке: $F(x) = (x - a)/(b - a)$, левее нуль, правее единица.
3. Числовые характеристики: $M(X) = (a + b)/2$ совпадает с медианой, $D(X) = (b - a)^2/12$, $\sigma = (b - a)/\sqrt{12}$.
4. Вероятность попадания в интервал считается отношением длин $P(c < X < d) = (d - c)/(b - a)$, причём берётся только пересечение с отрезком.
5. Для примера с $a = 2$ и $b = 8$: $f(x) = 1/6 \approx 0{,}1667$, $F(x) = (x - 2)/6$, $M(X) = 5$, $D(X) = 3$, $\sigma \approx 1{,}732$ и $P(3 < X < 5) = 1/3 \approx 0{,}3333$.