Как решить задачу на встречу: разбор с чертежом

Дано: двое приходят наудачу и независимо между 12:00 и 13:00, каждый ждёт другого 20 минут и уходит. Найти: вероятность того, что встреча состоится. Классическое определение $P = m/n$ здесь не годится: моментов прихода бесконечно много и посчитать благоприятные исходы штуками нельзя. Работает геометрическая вероятность: пара моментов прихода задаёт точку квадрата $60 \times 60$, встрече отвечает полоса $|x - y| \le 20$ вдоль диагонали, а ответ равен отношению площадей. Ответ: $P = 5/9 \approx 0{,}556$, то есть около 55,6 %. Калькулятор сверху рисует этот квадрат и пересчитывает вероятность под любую длину интервала и любое время ожидания.

Решение по шагам

Шаг 1. Вводим координаты. Отсчитываем время в минутах от 12:00 и обозначаем через $x$ момент прихода первого, через $y$ - момент прихода второго. По условию оба приходят где-то внутри часа, поэтому

$$0 \le x \le 60, \qquad 0 \le y \le 60.$$

Пара $(x, y)$ - это точка квадрата со стороной 60 минут. Слово «наудачу» означает ровно одно: точка попадает в любую часть квадрата с вероятностью, пропорциональной площади этой части, и ни одна минута часа ничем не выделена.

Шаг 2. Записываем условие встречи. Первый стоит на месте от момента $x$ до момента $x + 20$, второй - от $y$ до $y + 20$. Встреча состоится тогда и только тогда, когда эти два отрезка времени пересекаются:

$$y \le x + 20 \quad \text{и} \quad y \ge x - 20, \qquad \text{то есть} \qquad |x - y| \le 20.$$

Неравенство говорит простую вещь: приходы должны разойтись не больше чем на 20 минут. Геометрически это полоса шириной 20 минут по обе стороны от диагонали $y = x$.

Шаг 3. Считаем площадь всех исходов. Это площадь квадрата:

$$S_{\text{кв}} = 60^2 = 3600\ \text{мин}^2.$$

Шаг 4. Считаем площадь благоприятной области. Полосу удобнее найти вычитанием: вне неё остаются два прямоугольных треугольника в противоположных углах квадрата. Верхний левый - случай $y > x + 20$, когда второй пришёл слишком поздно и первый уже ушёл. Нижний правый - случай $y < x - 20$, когда наоборот ушёл второй. Катеты у каждого треугольника равны $60 - 20 = 40$ минутам:

$$S_{\text{тр}} = 2 \cdot \frac{40 \cdot 40}{2} = 1600\ \text{мин}^2, \qquad S_{\text{встр}} = 3600 - 1600 = 2000\ \text{мин}^2.$$

Шаг 5. Делим площади.

$$P = \frac{S_{\text{встр}}}{S_{\text{кв}}} = \frac{2000}{3600} = \frac{5}{9} \approx 0{,}556.$$

Ответ: $P = \dfrac{5}{9} \approx 0{,}556$, встреча состоится примерно в 55,6 % случаев.

Ответ стоит проверить на крайних значениях. Если бы никто никого не ждал, полоса выродилась бы в диагональ нулевой площади и вероятность стала бы нулевой. Если бы каждый ждал весь час, треугольники исчезли бы и вероятность равнялась единице. Наши 5/9 лежат между этими крайностями и растут вместе со временем ожидания - калькулятор сверху это показывает: сдвинь ползунок, и полоса расширится.

Формула и откуда она берётся

В общем виде задача выглядит так: интервал длится $T$ минут, каждый готов ждать $t$ минут. Треугольники вне полосы имеют катеты $T - t$, поэтому

$$P = 1 - \frac{(T - t)^2}{T^2} = 1 - \left(\frac{T - t}{T}\right)^2.$$

Подстановка $T = 60$, $t = 20$ даёт $1 - (40/60)^2 = 1 - 4/9 = 5/9$ - тот же ответ, что и через площади. Формулу стоит запомнить, но выводить её лучше каждый раз чертежом: в вариантах условия меняются именно границы области, а не арифметика.

За формулой стоит геометрическое определение вероятности. Если исход опыта - случайная точка, равномерно брошенная в область $G$, то вероятность попасть в подобласть $g$ равна отношению мер:

$$P(A) = \frac{S_g}{S_G}.$$

Мерой может быть длина, площадь или объём - в зависимости от того, сколько чисел задают исход. Здесь исход задают два числа, поэтому мера - площадь. Это прямое обобщение подсчёта исходов штуками: в классическом определении вероятности делят число благоприятных исходов на общее число, а здесь делят площадь благоприятной области на площадь всей области.

Почему точка распределена равномерно, тоже стоит проговорить. Момент прихода каждого - непрерывная случайная величина, равномерная на отрезке от 0 до 60 минут; её функция распределения растёт линейно, а плотность постоянна. Приходы независимы, поэтому совместная плотность пары постоянна на всём квадрате, и вероятность попадания в фигуру пропорциональна её площади. Без равномерности и независимости отношение площадей считать нельзя: пришлось бы интегрировать плотность по области.

Если участники ждут разное время

Условие часто усложняют: первый готов ждать $a$ минут, второй $b$ минут. Верхнюю границу полосы задаёт прямая $y = x + a$, нижнюю - прямая $y = x - b$, полоса перестаёт быть симметричной относительно диагонали. Треугольники теперь разные, с катетами $T - a$ и $T - b$:

$$P = 1 - \frac{(T - a)^2 + (T - b)^2}{2T^2}.$$

Возьмём тот же час, но пусть первый ждёт 15 минут, а второй 25. Тогда

$$P = 1 - \frac{45^2 + 35^2}{2 \cdot 60^2} = 1 - \frac{2025 + 1225}{7200} = 1 - \frac{3250}{7200} = \frac{79}{144} \approx 0{,}549.$$

Вероятность почти не изменилась по сравнению с 5/9, хотя суммарное время ожидания осталось прежним. Это не случайность: сумма квадратов при фиксированной сумме слагаемых минимальна, когда слагаемые равны, поэтому равное ожидание даёт максимальную вероятность встречи. Переключи чип в калькуляторе на режим разных ожиданий - и увидишь, как полоса перекашивается, а число почти не меняется.

Той же формулой решаются задачи, где вместо людей стоят суда, поезда или заявки на сервер: «разгрузка длится 2 часа» - это и есть время, которое второй участник вынужден ждать. Меняется только смысл букв, чертёж остаётся прежним.

Обратная задача: сколько ждать ради нужной вероятности

Иногда спрашивают не вероятность, а время ожидания. Выразим $t$ из общей формулы:

$$\left(\frac{T - t}{T}\right)^2 = 1 - P \quad \Longrightarrow \quad t = T\left(1 - \sqrt{1 - P}\right).$$

Для $P = 0{,}5$ и $T = 60$ получаем $t = 60(1 - \sqrt{0{,}5}) = 60(1 - 0{,}7071) \approx 17{,}6$ минуты, то есть примерно 17 минут 34 секунды. Ответ красив тем, что не зависит от длины интервала в долях: ждать нужно около 29 % всего окна, чтобы шансы сравнялись. А вот вероятность 0,9 обойдётся заметно дороже: $t = 60(1 - \sqrt{0{,}1}) \approx 41$ минуту, почти три четверти часа. Квадрат в формуле работает против нас: чтобы убрать последние проценты риска, приходится ждать почти всё окно.

Приём с вычитанием «плохой» области - геометрический двойник перехода к противоположному событию: в дискретных схемах так же удобнее считать вероятность хотя бы одного успеха через произведение вероятностей промахов.

Частые ошибки

• Считать вероятность как $t / T$. Отношение 20/60 = 1/3 - это доля времени, а не доля площади. Задача двумерная, и делить нужно площади, иначе ответ занижается почти вдвое.
• Забыть про второй треугольник. Вне полосы лежат две области: опоздать может и первый, и второй. Если вычесть только один треугольник, получится 2800/3600, то есть завышенные 78 %.
• Взять катет 60 вместо 40. Катет треугольника равен $T - t$, а не $T$: полоса «съедает» у него ровно время ожидания.
• Перепутать время прихода и время ожидания. Фраза «ждёт 20 минут» относится к длительности ожидания, а не к окну, в котором человек появляется; окно задано отдельно и равно часу.
• Смешать единицы. Если интервал задан в часах, а ожидание в минутах, переведите всё в одни единицы до подстановки: в отношении площадей размерность сокращается только при одинаковых единицах.
• Решать неравенство только в одну сторону. Условие встречи двустороннее: $-20 \le x - y \le 20$. Одно неравенство $x - y \le 20$ описывает половину полосы плюс лишний угол.

FAQ

Почему нельзя применить формулу $P = m/n$? Классическое определение требует конечного числа равновозможных исходов, а здесь их бесконечно много: моментом прихода может быть любое вещественное число из отрезка. Вероятность каждого отдельного момента равна нулю, поэтому считают не исходы, а меру множества исходов.

Изменится ли ответ, если неравенство строгое? Нет. Граница области - две прямые, а площадь отрезка прямой равна нулю. Событие «пришли ровно с разницей в 20 минут» имеет нулевую вероятность, так что $|x - y| \le 20$ и $|x - y| < 20$ дают одинаковые 5/9.

Что делать, если окна прихода разные? Например, первый приходит с 12:00 до 13:00, а второй с 12:00 до 12:30. Тогда область всех исходов - прямоугольник, а не квадрат, и полосу приходится обрезать его границами. Логика та же: площадь благоприятной части делится на площадь прямоугольника, но границы удобнее искать чертежом или интегралом, как при вычислении площади фигуры через интеграл.

Как проверить ответ, если под рукой нет чертежа? Подставьте в формулу два крайних случая: при $t = 0$ должно получиться 0, при $t = T$ - единица. Если формула проходит обе проверки и растёт по $t$, она записана верно. Дополнительно ответ подтверждает моделирование: сгенерируйте пары случайных чисел из отрезка и посчитайте долю тех, у которых разность по модулю не превышает 20.

Коротко

1. Обозначь моменты прихода через $x$ и $y$: пара $(x, y)$ - точка квадрата со стороной $T$, вся область исходов имеет площадь $T^2$.
2. Запиши условие встречи неравенством $|x - y| \le t$ (при разном ожидании: $-b \le x - y \le a$) и начерти соответствующую полосу вдоль диагонали.
3. Найди площадь полосы через дополнение: квадрат минус два треугольника с катетами $T - t$, то есть $T^2 - (T - t)^2$.
4. Раздели площади: $P = 1 - \left(\dfrac{T - t}{T}\right)^2$; при разных ожиданиях $P = 1 - \dfrac{(T-a)^2 + (T-b)^2}{2T^2}$.
5. Для условия «час, ждут по 20 минут» получается $S_{\text{встр}} = 2000$ мин², $S_{\text{кв}} = 3600$ мин² и ответ $P = 5/9 \approx 0{,}556$.