Как вычислить вероятность события: разбор задачи

Дано: в урне 15 шаров, из них 6 белых, 5 чёрных и 4 красных. Найти: вероятность того, что наудачу вынутый шар белый; что он белый или чёрный; что при двух извлечениях с возвратом оба шара белые.

Шары различаются только цветом, значит все исходы равновозможны и работает классическое определение вероятности $P(A) = m/n$. Дальше подключаются две теоремы: сложение для несовместных событий и умножение для независимых. Ответ: $P(A) = 0{,}4$, $P(A + B) \approx 0{,}733$, $P(C) = 0{,}16$. Калькулятор сверху пересчитывает эти и ещё две вероятности под любой состав урны, а ниже идёт решение по шагам.

Решение по шагам

Дано. Состав урны:

Найти: $P(A)$ - вынут белый шар; $P(A + B)$ - вынут белый или чёрный; $P(C)$ - при двух извлечениях с возвратом оба шара белые.

Шаг 1. Общее число исходов. Опыт состоит в том, что из урны наудачу вынимают один шар. Исходом считается конкретный вытащенный шар, поэтому исходов ровно столько, сколько шаров:

$$n = 6 + 5 + 4 = 15.$$

Эти 15 исходов равновозможны, попарно несовместны (за одно извлечение вынимают только один шар) и образуют полную группу - ровно те три условия, при которых классическая формула вообще применима.

Шаг 2. Вероятность белого шара. Событию $A$ благоприятны те исходы, в которых вынутый шар белый; их $m = 6$:

$$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} = 0{,}4.$$

Значит, белый шар появляется в 40 случаях из 100. Заодно видно основное свойство: $0 \le P(A) \le 1$, а вероятность противоположного события $\bar{A}$ (шар не белый) равна $1 - 0{,}4 = 0{,}6$.

Шаг 3. Белый или чёрный: теорема сложения. Обозначим через $B$ появление чёрного шара. События $A$ и $B$ несовместны: один шар не может быть одновременно белым и чёрным, поэтому вероятности просто складываются:

$$P(A + B) = P(A) + P(B) = \frac{6}{15} + \frac{5}{15} = \frac{11}{15} \approx 0{,}733.$$

Тот же ответ даёт короткий путь через противоположное событие: «не белый и не чёрный» означает «красный», красных шаров четыре, поэтому $P(A + B) = 1 - \frac{4}{15} = \frac{11}{15}$. Совпадение двух способов - бесплатная проверка арифметики.

Шаг 4. Два белых подряд с возвратом: теорема умножения. После первого извлечения шар возвращают в урну и шары перемешивают, состав не меняется, и второе извлечение ничего не знает о первом. События независимы, значит вероятности перемножаются:

$$P(C) = P(A) \cdot P(A) = \frac{6}{15} \cdot \frac{6}{15} = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{25} = 0{,}16.$$

Ответ: $P(A) = \frac{6}{15} = 0{,}4$; $P(A + B) = \frac{11}{15} \approx 0{,}733$; $P(C) = \frac{4}{25} = 0{,}16$.

Формула и откуда она берётся

Классическое определение вероятности выглядит так:

$$P(A) = \frac{m}{n},$$

где $n$ - общее число элементарных исходов опыта, а $m$ - число исходов, благоприятствующих событию $A$. Формула не постулат, а следствие трёх требований к схеме опыта: исходов конечное число, они попарно несовместны и равновозможны. Если каждому из $n$ исходов приписать одинаковую вероятность $1/n$, то вероятность события складывается из $m$ одинаковых слагаемых и получается $m/n$.

Отсюда сразу три свойства, которыми удобно себя проверять. Вероятность достоверного события равна единице: ему благоприятны все исходы, $m = n$. Вероятность невозможного события равна нулю: $m = 0$. Любая вероятность лежит между нулём и единицей, поэтому ответ вида 1,2 или $-0{,}3$ означает ошибку в подсчёте, а не редкий случай.

Главная работа при решении задачи приходится не на деление, а на подсчёт $m$ и $n$. Ошибиться проще всего именно здесь: достаточно неправильно описать, что считается элементарным исходом, и обе величины поедут. Полезное правило: сначала словами сформулируй, что такое один исход в твоём опыте, и только потом считай.

Сложение и умножение: какое правило когда включать

Сложение отвечает на вопрос «или», умножение - на вопрос «и». Но у обоих правил есть условие применимости, и именно его чаще всего игнорируют.

Складывать вероятности напрямую можно только для несовместных событий, которые не могут произойти вместе. В нашей задаче белый и чёрный шар несовместны, поэтому $P(A + B) = P(A) + P(B)$. Если события совместны (например, «студент сдал математику» и «студент сдал физику»), то из суммы нужно вычесть вероятность их пересечения, иначе общая часть учтётся дважды; подробный разбор этого случая есть в статье про вероятность суммы совместных событий.

Перемножать вероятности напрямую можно только для независимых событий. Извлечение с возвратом даёт независимость: урна возвращается в исходное состояние. Если же шар не возвращают, второе извлечение зависит от первого, и работает общая теорема умножения $P(AB) = P(A) \cdot P(B \mid A)$, где второй множитель - условная вероятность второго события при условии, что первое уже произошло.

Тот же опыт без возврата и событие «хотя бы один»

Изменим условие: два шара вынимают подряд и первый не возвращают. Тогда перед вторым извлечением в урне остаётся 14 шаров, из них 5 белых:

$$P(C_{\text{б/в}}) = \frac{6}{15} \cdot \frac{5}{14} = \frac{30}{210} = \frac{1}{7} \approx 0{,}143.$$

Вероятность заметно ниже, чем 0,16 с возвратом, и это логично: один белый шар уже ушёл из урны. Тот же результат получается комбинаторно, если считать исходами неупорядоченные пары шаров, - этот способ разобран в статье про вероятность через сочетания, здесь он не нужен, потому что теорема умножения короче.

Отдельно стоит разобрать формулировку «хотя бы один». Пусть шары вынимают дважды с возвратом; найдём вероятность того, что хотя бы один из них белый. Прямой перебор потребовал бы сложить три случая (белый только первый, только второй, оба), поэтому переходят к противоположному событию «ни одного белого»:

$$P = 1 - \left(\frac{9}{15}\right)^2 = 1 - \frac{81}{225} = \frac{144}{225} = 0{,}64.$$

Приём с противоположным событием экономит время почти во всех задачах со словами «хотя бы один», «не менее одного», «есть хоть одна». Когда вероятности отдельных событий найдены, следующий шаг курса - собрать из них ряд распределения и найти числовые характеристики; как это делается, показано в разборе математического ожидания.

Частые ошибки

• Исходами считают цвета, а не шары. Цветов три, поэтому появляется соблазн написать $P = 1/3$. Но три цвета не равновозможны: белых шаров шесть, а красных четыре. Элементарный исход - конкретный шар, значит $n = 15$.
• Складывают вероятности совместных событий. Формула $P(A + B) = P(A) + P(B)$ верна только для несовместных событий. Для совместных из суммы вычитают $P(AB)$, иначе ответ окажется завышенным и может превысить единицу.
• Извлечение без возврата считают независимым. Запись $\frac{6}{15} \cdot \frac{6}{15}$ для задачи без возврата - самая частая ошибка темы. Без возврата второй множитель равен $\frac{5}{14}$: уменьшаются и число белых шаров, и общее число шаров.
• Уменьшают только один из двух знаменателей. Варианты $\frac{6}{15} \cdot \frac{5}{15}$ и $\frac{6}{15} \cdot \frac{6}{14}$ встречаются постоянно. Проверяй, что второй дробью описано состояние урны именно после первого извлечения.
• Путают «хотя бы один» и «ровно один». Событие «хотя бы один белый» включает случай, когда белыми оказались оба шара, поэтому его вероятность (0,64) больше, чем у «ровно одного белого» (0,48).
• Не проверяют сумму по полной группе. Вероятности вынуть белый, чёрный и красный шар обязаны в сумме давать единицу: $\frac{6}{15} + \frac{5}{15} + \frac{4}{15} = 1$. Если сумма не сошлась, ошибка в подсчёте благоприятных исходов.

FAQ

Чем вероятность отличается от частоты? Вероятность вычисляют до опыта из условий задачи, частоту - после серии опытов как отношение числа появлений события к числу испытаний. При большом числе испытаний частота колеблется около вероятности: если вынимать шар с возвратом тысячу раз, белый выпадет примерно 400 раз, но точного равенства ждать не стоит.

Может ли вероятность получиться больше единицы? Нет. Число благоприятных исходов не превосходит общего числа исходов, поэтому $m/n \le 1$. Ответ больше единицы почти всегда означает, что вероятности совместных событий сложили без вычитания пересечения либо перепутали местами числитель и знаменатель.

Как понять, складывать вероятности или умножать? Смотри на связку в условии. «Или», «либо», «хотя бы один из перечисленных цветов» - сложение, причём проверь несовместность. «И», «оба», «подряд», «одновременно» - умножение, причём проверь независимость. Если события зависимы, второй множитель берут условной вероятностью.

Что делать, если исходы не равновозможны? Классическая формула не применяется: перед делением нужно либо переопределить опыт так, чтобы исходы стали равновозможными (например, считать не цвета, а шары), либо перейти к статистическому определению вероятности через частоту, либо к геометрическому, если исход задаётся точкой области.

Коротко

1. Опиши словами, что такое один элементарный исход, и посчитай их общее число $n$; здесь $n = 15$ шаров.
2. Посчитай число благоприятных исходов $m$ и подставь в классическую формулу $P(A) = m/n$: $P(A) = \frac{6}{15} = 0{,}4$.
3. Для события «или» проверь несовместность и складывай: $P(A + B) = \frac{11}{15} \approx 0{,}733$.
4. Для события «и» проверь независимость и умножай: с возвратом $P(C) = \frac{4}{25} = 0{,}16$, без возврата $\frac{6}{15} \cdot \frac{5}{14} = \frac{1}{7} \approx 0{,}143$.
5. Проверь ответ: каждая вероятность лежит на отрезке от 0 до 1, а сумма вероятностей полной группы событий равна единице.