Как построить многоугольник распределения: пример

Дано: дискретная случайная величина $X$ (число отказов станка за смену) принимает значения $0;\ 1;\ 2;\ 3;\ 4$ с вероятностями $0{,}1;\ 0{,}25;\ 0{,}35;\ 0{,}2;\ 0{,}1$. Найти: многоугольник распределения, $M(X)$ и $D(X)$.

Многоугольник строится в три действия: проверить, что сумма вероятностей равна единице, отметить на плоскости точки $(x_i;\ p_i)$ и соединить соседние точки отрезками. Ответ: ломаная проходит через точки $(0;\ 0{,}1)$, $(1;\ 0{,}25)$, $(2;\ 0{,}35)$, $(3;\ 0{,}2)$, $(4;\ 0{,}1)$, её вершина приходится на $x = 2$, а $M(X) = 1{,}95$, $D(X) = 1{,}2475$, $\sigma(X) \approx 1{,}12$. Калькулятор сверху перестраивает ломаную под любые вероятности и сразу показывает, сошлась ли нормировка.

Решение по шагам

Дано. Ряд распределения величины $X$:

$$\begin{array}{c|ccccc} x_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline p_i & 0{,}1 & 0{,}25 & 0{,}35 & 0{,}2 & 0{,}1 \end{array}$$

Найти: многоугольник распределения, математическое ожидание и дисперсию.

Шаг 1. Проверяем условие нормировки. Пока сумма вероятностей не равна единице, строить нечего: такой ряд задан с ошибкой, и любые характеристики по нему будут неверными.

$\sum_{i=1}^{5} p_i = 0{,}1 + 0{,}25 + 0{,}35 + 0{,}2 + 0{,}1 = 1.$

Сумма сошлась. Значит, перечислены все возможные исходы: других значений величина принимать не может, а события $X = x_i$ образуют полную группу.

Шаг 2. Выбираем оси и масштаб. По горизонтальной оси откладываем значения $x_i$, по вертикальной - вероятности $p_i$. Масштабы по осям берут разные: по горизонтали шаг в одну единицу значения, по вертикали клетка отвечает $0{,}05$. Тогда наибольшая ордината $0{,}35$ занимает семь клеток, и ломаная не вырождается в почти горизонтальную линию.

Шаг 3. Отмечаем точки ряда. Каждому столбцу таблицы отвечает одна точка плоскости: $(0;\ 0{,}1)$, $(1;\ 0{,}25)$, $(2;\ 0{,}35)$, $(3;\ 0{,}2)$, $(4;\ 0{,}1)$. Точек ровно столько, сколько значений у величины, - пять. Для наглядности из каждой точки опускают перпендикуляр на горизонтальную ось: так видно, какая вероятность какому значению отвечает.

Шаг 4. Соединяем соседние точки отрезками. Полученная ломаная и есть многоугольник распределения. Соединяют только соседние по величине $x_i$ точки и только в порядке возрастания значений; замыкать фигуру или опускать крайние звенья на ось не нужно - вне перечисленных значений вероятность равна нулю, и ломаная там просто обрывается.

Шаг 5. Находим математическое ожидание как сумму произведений значений на их вероятности:

$M(X) = \sum_{i=1}^{5} x_i p_i = 0 \cdot 0{,}1 + 1 \cdot 0{,}25 + 2 \cdot 0{,}35 + 3 \cdot 0{,}2 + 4 \cdot 0{,}1 = 1{,}95.$

Шаг 6. Находим дисперсию через второй начальный момент, так удобнее считать вручную:

$M(X^2) = 0 \cdot 0{,}1 + 1 \cdot 0{,}25 + 4 \cdot 0{,}35 + 9 \cdot 0{,}2 + 16 \cdot 0{,}1 = 5{,}05,$

$D(X) = M(X^2) - \bigl[M(X)\bigr]^2 = 5{,}05 - 1{,}95^2 = 5{,}05 - 3{,}8025 = 1{,}2475.$

$\sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{1{,}2475} \approx 1{,}12.$

Расчёт удобно вести одной таблицей - она же служит проверкой: итог второго столбца обязан равняться единице.

Ответ: многоугольник распределения - ломаная через точки $(0;\ 0{,}1)$, $(1;\ 0{,}25)$, $(2;\ 0{,}35)$, $(3;\ 0{,}2)$, $(4;\ 0{,}1)$; $M(X) = 1{,}95$ отказа за смену, $D(X) = 1{,}2475$, $\sigma(X) \approx 1{,}12$, мода распределения равна $2$.

Что такое многоугольник распределения и откуда берутся его точки

Дискретная случайная величина полностью описывается законом распределения - соответствием между её значениями и их вероятностями. Записать этот закон можно тремя способами: таблицей (рядом распределения), формулой и графиком. Многоугольник распределения и есть графическая запись: он не даёт ничего нового по сравнению с таблицей, зато форма закона видна сразу.

Абсцисса каждой точки - возможное значение величины, ордината - вероятность этого значения. Поэтому все точки лежат в полосе $0 \le p \le 1$, а сумма ординат равна единице. Это ключевое отличие от произвольного графика: здесь высоты нельзя менять независимо друг от друга, подняли одну - остальные обязаны опуститься.

Отрезки между точками физического смысла не имеют: величина не принимает промежуточных значений, и вероятность $P(X = 1{,}5)$ равна нулю. Ломаная нужна только для наглядности - чтобы глаз видел, где вероятность нарастает, а где падает. Именно поэтому строят ломаную, а не столбики: столбчатая диаграмма читается как распределение массы по интервалам, а у дискретной величины масса сосредоточена в отдельных точках.

Что видно по многоугольнику без расчётов

Вершина ломаной - мода распределения, то самое значение, которое выпадает чаще прочих. В разобранной задаче вершина стоит над $x = 2$, поэтому $M_o = 2$. Значений-вершин может быть и два: если две наибольшие вероятности равны, распределение называют двухмодальным, и ломаная идёт с двумя пиками.

Математическое ожидание - центр тяжести ломаной, а не её вершина. В примере $M(X) = 1{,}95$ чуть левее моды, потому что правый хвост ряда короче левого. Совпадают мода и ожидание только у симметричного распределения. Подробный разбор счёта - в задачах как найти математическое ожидание и как вычислить дисперсию.

Разброс читается по ширине ломаной: чем более пологая фигура, тем больше дисперсия. Узкий острый пик означает, что величина почти всегда принимает одно значение, и $\sigma$ близка к нулю. Передвинь ползунки в калькуляторе сверху: при переносе вероятности к краям ряда дисперсия растёт, хотя сумма остаётся прежней.

Если одна из вероятностей неизвестна

Типовая вариация условия: часть вероятностей дана, одна обозначена буквой. Пусть $X$ принимает значения $1;\ 2;\ 3;\ 4$ с вероятностями $0{,}15;\ p_2;\ 0{,}3;\ 0{,}25$. Недостающую вероятность ищут из условия нормировки:

$p_2 = 1 - (0{,}15 + 0{,}3 + 0{,}25) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3.$

Дальше всё как в основном разборе: точки $(1;\ 0{,}15)$, $(2;\ 0{,}3)$, $(3;\ 0{,}3)$, $(4;\ 0{,}25)$ и ломаная через них. Здесь распределение двухмодальное - две вершины одинаковой высоты над $x = 2$ и $x = 3$.

Второй вариант условия - ряда нет вовсе, его надо составить самому. Например, стрелок делает три независимых выстрела с вероятностью попадания $0{,}6$; величина $X$ - число попаданий. Вероятности считают по формуле Бернулли: $P(0) = 0{,}064$, $P(1) = 0{,}288$, $P(2) = 0{,}432$, $P(3) = 0{,}216$. Сумма равна единице, ломаная строится по этим четырём точкам, а ожидание проверяется формулой $M(X) = np = 1{,}8$.

Чем многоугольник отличается от полигона частот и от графика F(x)

Многоугольник распределения строится по вероятностям - теоретическим, известным заранее. Внешне на него похож полигон частот, но тот строится по выборке: его ординаты - частоты $n_i$ или частости $w_i$, полученные из опыта. Полигон частот приближается к многоугольнику распределения с ростом объёма выборки - на этом стоит вся математическая статистика.

Третий график, который путают с многоугольником, - функция распределения $F(x) = P(X < x)$. Она накапливает вероятности, поэтому её график не ломаная, а ступенчатая линия: между значениями ряда $F(x)$ постоянна, а в точках $x_i$ прыгает вверх ровно на $p_i$. Ординаты многоугольника - сами вероятности, ординаты ступенчатого графика - их накопленные суммы.

Частые ошибки

• Строят график, не проверив сумму вероятностей. Если $\sum p_i \ne 1$, ряд задан неверно: либо потеряно одно из значений, либо в условии опечатка.
• Соединяют точки в том порядке, в каком они выписаны в условии. Значения $x_i$ должны идти по возрастанию, иначе ломаная получится с самопересечениями.
• Рисуют столбчатую диаграмму вместо ломаной. Гистограмма - инструмент для интервальных рядов, у дискретной величины строят именно многоугольник.
• Берут одинаковый масштаб по обеим осям. Вероятности не превышают единицы, и при равном масштабе график сплющивается в почти горизонтальную линию.
• Продлевают ломаную влево и вправо до оси и считают это частью ответа. За пределами перечисленных значений вероятность равна нулю, и звеньев там нет.
• Путают моду и математическое ожидание. Вершина ломаной - мода, а $M(X)$ обычно в вершину не попадает и вообще может не совпасть ни с одним значением ряда.

FAQ

Нужно ли соединять крайние точки с осью? Для многоугольника распределения - нет, ломаная начинается в первой точке и заканчивается в последней. Опускание крайних звеньев на ось принято для полигона частот в статистике, и переносить этот приём сюда не стоит.

Можно ли строить многоугольник для непрерывной величины? Нет. У непрерывной величины вероятность отдельного значения равна нулю, и точек $(x_i;\ p_i)$ просто не существует. Её закон распределения изображают графиком плотности или функции распределения.

Что делать, если значений очень много, например тридцать? Строить по всем точкам, но подписывать не каждую. Для рядов с большим числом значений ломаная превращается в плавную кривую, и по ней уже видно, к какому известному закону близко распределение.

Как проверить построение? Три признака: сумма ординат равна единице, все ординаты положительны и не превышают единицы, абсциссы идут по возрастанию. Если все три выполнены, а вершина стоит над самой большой вероятностью из таблицы, чертёж верен.

Коротко

1. Выписать ряд распределения: значения $x_i$ в верхней строке, вероятности $p_i$ в нижней.
2. Проверить нормировку $\sum p_i = 1$; если вероятность одна неизвестна, найти её как $1$ минус сумма остальных.
3. Отметить точки $(x_i;\ p_i)$, взяв по осям разный масштаб: значения по горизонтали, вероятности по вертикали.
4. Соединить соседние точки отрезками в порядке возрастания $x_i$, крайние звенья на ось не опускать.
5. Для примера с отказами станка ответ такой: вершина над $x = 2$, $M(X) = 1{,}95$, $D(X) = 1{,}2475$, $\sigma(X) \approx 1{,}12$.