Как найти производящую функцию: пример с решением

Дано: случайная величина $X$ распределена по биномиальному закону, $n = 5$, $p = 0{,}4$. Найти: производящую функцию $G(z)$, а через её производные - $M(X)$ и $D(X)$.

Производящая функция вероятностей собирается как $G(z) = M(z^X) = \sum_k p_k z^k$, после чего математическое ожидание читается как $G'(1)$, а дисперсия - как $G''(1) + G'(1) - [G'(1)]^2$. Ответ: $G(z) = (0{,}6 + 0{,}4z)^5$, $M(X) = 2$, $D(X) = 1{,}2$. Калькулятор сверху строит коэффициенты ряда и саму кривую $G(z)$ для трёх школьных законов, а ниже - решение по шагам с проверкой по табличным формулам.

Решение по шагам

Шаг 1. Выписываем ряд распределения. Для биномиального закона вероятность ровно $k$ успехов в пяти испытаниях равна $p_k = C_5^k \cdot 0{,}4^k \cdot 0{,}6^{\,5-k}$:

Сумма вероятностей равна единице - ряд выписан верно, можно идти дальше.

Шаг 2. Составляем производящую функцию. По определению коэффициент при $z^k$ - это вероятность $p_k$:

$$G(z) = 0{,}07776 + 0{,}25920\,z + 0{,}34560\,z^2 + 0{,}23040\,z^3 + 0{,}07680\,z^4 + 0{,}01024\,z^5.$$

Дифференцировать такой многочлен можно, но незачем: правая часть - это в точности разложение бинома Ньютона. Сворачиваем её в замкнутый вид:

$$G(z) = \sum_{k=0}^{5} C_5^k (0{,}4z)^k (0{,}6)^{5-k} = (0{,}6 + 0{,}4z)^5.$$

Контроль: при $z = 1$ получаем $G(1) = (0{,}6 + 0{,}4)^5 = 1$, как и должно быть у любой производящей функции вероятностей.

Шаг 3. Первая производная и математическое ожидание. Дифференцируем сложную функцию по $z$:

$$G'(z) = 5 \cdot (0{,}6 + 0{,}4z)^4 \cdot 0{,}4 = 2\,(0{,}6 + 0{,}4z)^4, \qquad G'(1) = 2 \cdot 1^4 = 2.$$

Значит, $M(X) = 2$.

Шаг 4. Вторая производная и факториальный момент. Дифференцируем ещё раз:

$$G''(z) = 2 \cdot 4 \cdot (0{,}6 + 0{,}4z)^3 \cdot 0{,}4 = 3{,}2\,(0{,}6 + 0{,}4z)^3, \qquad G''(1) = 3{,}2.$$

Это не $M(X^2)$, а факториальный момент $M[X(X-1)] = M(X^2) - M(X)$ - именно из-за этой разницы в формуле дисперсии появляется дополнительное слагаемое.

Шаг 5. Дисперсия. Собираем её из двух найденных чисел:

$$D(X) = G''(1) + G'(1) - [G'(1)]^2 = 3{,}2 + 2 - 2^2 = 1{,}2.$$

Шаг 6. Проверка по табличным формулам. Для биномиального закона известно, что $M(X) = np$ и $D(X) = npq$:

$$np = 5 \cdot 0{,}4 = 2, \qquad npq = 5 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}6 = 1{,}2.$$

Оба числа совпали с результатами дифференцирования, среднее квадратическое отклонение равно $\sigma = \sqrt{1{,}2} \approx 1{,}095$.

Ответ. $G(z) = (0{,}6 + 0{,}4z)^5$, $M(X) = 2$, $D(X) = 1{,}2$, $\sigma(X) \approx 1{,}1$.

Формула и откуда она берётся

Производящей функцией вероятностей целочисленной неотрицательной величины $X$ называется

$$G(z) = M\left(z^X\right) = \sum_{k=0}^{\infty} p_k z^k, \qquad |z| \le 1,$$

где $p_k = P(X = k)$. Вся информация о распределении упакована в один многочлен или ряд: коэффициент при $z^k$ - это вероятность значения $k$, и наоборот, по функции вероятности восстанавливаются как $p_k = G^{(k)}(0) / k!$. Отсюда два бесплатных контроля: $G(1) = 1$, потому что сумма вероятностей равна единице, и $G(0) = p_0$.

Формулы для моментов получаются почленным дифференцированием ряда. Первая производная

$$G'(z) = \sum_{k \ge 1} k\, p_k z^{k-1} \quad\Longrightarrow\quad G'(1) = \sum_{k \ge 1} k\, p_k = M(X),$$

то есть подстановка $z = 1$ после дифференцирования превращает ряд ровно в определение математического ожидания. Вторая производная даёт

$$G''(z) = \sum_{k \ge 2} k(k-1)\, p_k z^{k-2} \quad\Longrightarrow\quad G''(1) = M[X(X-1)] = M(X^2) - M(X).$$

Теперь остаётся подставить это в обычную формулу дисперсии $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$. Выражаем $M(X^2) = G''(1) + G'(1)$ и получаем рабочую формулу разбора:

$$D(X) = G''(1) + G'(1) - [G'(1)]^2.$$

Геометрический смысл первой формулы виден на правом графике калькулятора: наклон касательной к кривой $G(z)$ в точке $z = 1$ и есть математическое ожидание. Чем круче функция подходит к единице, тем больше среднее значение величины.

Важно не путать этот инструмент с одноимённым комбинаторным приёмом. В комбинаторике коэффициентами ряда служат количества объектов, а не вероятности, и равенство $G(1) = 1$ там не выполняется - про тот случай отдельно написано в разборе метода производящих функций.

Если закон задан рядом, а не формулой

В контрольных чаще встречается второй тип условия: величина задана таблицей значений и вероятностей. Алгоритм не меняется, только сворачивать нечего - производящая функция остаётся многочленом. Пусть $X$ принимает значения 0, 1, 2, 3 с вероятностями 0,1; 0,3; 0,4; 0,2. Тогда

$$G(z) = 0{,}1 + 0{,}3z + 0{,}4z^2 + 0{,}2z^3.$$

Дифференцируем как обычный многочлен: $G'(z) = 0{,}3 + 0{,}8z + 0{,}6z^2$, откуда $G'(1) = 1{,}7$, и $G''(z) = 0{,}8 + 1{,}2z$, откуда $G''(1) = 2$. Следовательно,

$$M(X) = 1{,}7, \qquad D(X) = 2 + 1{,}7 - 1{,}7^2 = 0{,}81.$$

Здесь важна одна оговорка про табличные условия. Степень переменной $z$ - это само значение величины, поэтому ряд должен состоять из целых неотрицательных чисел. Если в таблице встретилось значение $-1$ или 2,5, производящую функцию вероятностей к ней напрямую не применяют: величину сначала сдвигают или масштабируют до целой неотрицательной, а характеристики потом пересчитывают обратно по свойствам $M$ и $D$.

Прямой счёт по определению даёт те же числа: $M(X) = 0{,}3 + 0{,}8 + 0{,}6 = 1{,}7$ и $M(X^2) = 0{,}3 + 1{,}6 + 1{,}8 = 3{,}7$, значит $D(X) = 3{,}7 - 2{,}89 = 0{,}81$. Для короткого ряда прямой способ даже быстрее, и если в задаче нужны только числовые характеристики, его достаточно - он разобран отдельно в задачах о математическом ожидании и дисперсии. Производящая функция выигрывает там, где величина задана параметрами, а не таблицей, или где требуется работать с суммами величин. Если по тому же ряду нужна ещё и $F(x)$, посмотрите разбор функции распределения.

Пуассон, геометрическое распределение и сумма величин

Для стандартных законов производящие функции выведены заранее, и в задаче их обычно разрешают брать готовыми:

У геометрического закона в таблице записана та версия, где $X$ - номер испытания, на котором впервые случился успех, поэтому значения начинаются с единицы и в числителе стоит множитель $z$. В части учебников за $X$ принимают число неудач до первого успеха; тогда значения начинаются с нуля, производящая функция равна $p/(1 - qz)$, а среднее уменьшается ровно на единицу. Перед решением стоит проверить по условию, какая из двух версий имеется в виду.

Проверить любую строку таблицы можно тем же приёмом за две строчки. Для закона Пуассона $G'(z) = \lambda e^{\lambda(z-1)}$ и $G''(z) = \lambda^2 e^{\lambda(z-1)}$, значит $G'(1) = \lambda$, $G''(1) = \lambda^2$ и $D(X) = \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 = \lambda$ - знаменитое равенство среднего и дисперсии выпадает само. Переключите чипы в калькуляторе, чтобы увидеть, как при этом меняются коэффициенты ряда и кривизна графика.

Главное преимущество метода проявляется на суммах. Если $X$ и $Y$ независимы, то

$$G_{X+Y}(z) = M\left(z^{X+Y}\right) = M\left(z^X\right) M\left(z^Y\right) = G_X(z)\, G_Y(z),$$

то есть свёртка распределений заменяется обычным умножением. Возьмём $X$ из условия задачи и независимую $Y$ с параметрами $n = 3$, $p = 0{,}4$. Тогда

$$G_{X+Y}(z) = (0{,}6 + 0{,}4z)^5 (0{,}6 + 0{,}4z)^3 = (0{,}6 + 0{,}4z)^8,$$

и по виду функции сразу ясно: сумма снова биномиальна с $n = 8$ и тем же $p$. Дифференцирование даёт $M = 8 \cdot 0{,}4 = 3{,}2$ и $D = 8 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}6 = 1{,}92$. Считать свёртку вероятностей вручную не пришлось вовсе.

Частые ошибки

• Дисперсию считают как $G''(1) - [G'(1)]^2$. Потерянное слагаемое $G'(1)$ - самая частая ошибка темы: вторая производная даёт $M[X(X-1)]$, а не $M(X^2)$, поэтому в формуле обязательно три слагаемых.
• Подставляют $z = 1$ до дифференцирования. Функция $G(1)$ тождественно равна единице, её производная - ноль. Сначала находят $G'(z)$ как функцию, и только потом подставляют единицу.
• Дифференцируют по параметру, а не по $z$. В выражении $(0{,}6 + 0{,}4z)^5$ переменная только одна - это $z$; буквы $n$, $p$, $q$, $\lambda$ считаются константами.
• Путают производящую функцию вероятностей с производящей функцией моментов. Первая построена на $M(z^X)$, вторая - на $M(e^{tX})$, и у них разные правила извлечения моментов. Комплексный аналог разобран в статье про характеристическую функцию.
• Составляют $G(z)$ для непрерывной или отрицательной величины. Производящая функция вероятностей определена только для целых неотрицательных значений: коэффициентом при $z^k$ должна быть вероятность конкретного целого $k$.
• Не проверяют нормировку. Равенство $G(1) = 1$ проверяется за секунду и ловит и потерянный множитель, и ошибку в ряде распределения.

FAQ

Чем производящая функция отличается от характеристической? Определением аргумента: производящая функция вероятностей равна $M(z^X)$ и работает только с целочисленными неотрицательными величинами, характеристическая равна $M(e^{itX})$ и существует у любой случайной величины, включая непрерывные. Для целочисленных величин они связаны подстановкой $z = e^{it}$.

Как по $G(z)$ восстановить сами вероятности? По формуле $p_k = G^{(k)}(0)/k!$: разложение функции в ряд Маклорена возвращает ряд распределения. Если $G(z)$ - многочлен, вероятности просто читаются как коэффициенты при степенях $z$, ничего считать не нужно.

Обязательно ли искать $M(X)$ именно через производящую функцию? Нет. Если ряд короткий, прямой подсчёт $\sum k p_k$ быстрее. Метод окупается, когда закон задан параметрами, когда нужна сумма независимых величин или когда требуются моменты высших порядков: третья производная в единице даёт $M[X(X-1)(X-2)]$.

Что означает значение $G(0)$? Это вероятность нулевого значения: $G(0) = p_0$. Для биномиального закона из условия $G(0) = 0{,}6^5 = 0{,}07776$ - вероятность того, что в пяти испытаниях не будет ни одного успеха.

Коротко

1. Выписать ряд распределения и составить $G(z) = \sum p_k z^k$; для стандартных законов сразу взять замкнутую форму, для биномиального это $(q + pz)^n$.
2. Проверить нормировку: $G(1)$ обязано равняться единице.
3. Найти $G'(z)$ и подставить $z = 1$ - это и есть $M(X)$.
4. Найти $G''(z)$, подставить $z = 1$ и собрать дисперсию по формуле $D(X) = G''(1) + G'(1) - [G'(1)]^2$.
5. Для условия $n = 5$, $p = 0{,}4$ ответ: $G(z) = (0{,}6 + 0{,}4z)^5$, $M(X) = 2$, $D(X) = 1{,}2$, что совпадает с табличными $np$ и $npq$.