Как найти квантиль распределения: пример расчёта

Дано: случайная величина $X$ распределена нормально, математическое ожидание $a = 60$, среднее квадратическое отклонение $\sigma = 8$; во второй части задачи нужен квантиль распределения Стьюдента при $\nu = 15$ степенях свободы. Найти: квантиль уровня $p = 0{,}95$ нормального закона и квантиль $t_{0{,}975}(15)$.

Квантиль уровня $p$ - это точка, левее которой лежит ровно доля $p$ всех значений величины, то есть корень уравнения $F(x_p) = p$. Для нормального закона он берётся в два действия: сперва табличное $z_{0{,}95} = 1{,}645$, затем перевод в единицы самой величины. Ответы получаются $x_{0{,}95} = 73{,}16$ и $t_{0{,}975}(15) = 2{,}131$. Калькулятор сверху закрашивает площадь слева от вертикальной линии: она и равна $p$, а сама линия стоит в найденном квантиле.

Решение по шагам

Шаг 1. Записываем определение. Квантиль не вычисляют по отдельной формуле - его определяют как решение уравнения относительно $x_p$:

$$F(x_p) = P(X < x_p) = p = 0{,}95.$$

Отсюда видно, что квантиль - это обратная функция распределения: если $F$ по значению даёт вероятность, то квантиль по вероятности возвращает значение. Поэтому задача «найти квантиль» всегда начинается с того, что выписывают $F(x)$ для нужного закона.

Шаг 2. Переходим к стандартному нормальному закону. Функцию распределения нормальной величины выражают через табличную функцию Лапласа $\Phi$, и уравнение шага 1 превращается в уравнение относительно стандартизованной переменной:

$$F(x) = 0{,}5 + \Phi\!\left(\frac{x - a}{\sigma}\right), \qquad 0{,}5 + \Phi\!\left(\frac{x_p - 60}{8}\right) = 0{,}95.$$

Такой перевод нужен потому, что таблиц на каждую пару $a$ и $\sigma$ не бывает: табулируют единственный закон $N(0;\ 1)$, а все остальные к нему сводят. Если прямая задача про вероятность попадания в интервал даётся тяжело, начни с разбора нормального распределения по шагам - здесь то же преобразование читается справа налево.

Шаг 3. Снимаем значение с таблицы. Переносим $0{,}5$ вправо и получаем аргумент, который ищут в таблице:

$$\Phi(z_p) = 0{,}95 - 0{,}5 = 0{,}45 \quad \Longrightarrow \quad z_p = 1{,}645.$$

В таблице усечённой функции Лапласа значение $0{,}4500$ стоит между строками $1{,}64$ и $1{,}65$, поэтому в учебниках для уровня $0{,}95$ закрепилось округлённое $1{,}645$. Точное значение равно $1{,}6449$, и расхождение в третьем знаке на ответ не влияет.

Шаг 4. Возвращаемся к исходным единицам. Стандартизация была линейной, значит обратный переход тоже линеен:

$$x_p = a + \sigma z_p = 60 + 8 \cdot 1{,}645 = 60 + 13{,}16 = 73{,}16.$$

Шаг 5. Квантиль Стьюдента. Здесь параметр один - число степеней свободы $\nu = n - 1 = 16 - 1 = 15$. В таблице критических точек Стьюдента находим строку $\nu = 15$ и столбец, отвечающий уровню $0{,}975$ (в двусторонних таблицах он подписан как $\alpha = 0{,}05$):

$$t_{0{,}975}(15) = 2{,}131.$$

Ответ: $x_{0{,}95} = 73{,}16$; $t_{0{,}975}(15) = 2{,}131$.

Проверка занимает одну строку: подставим найденный квантиль обратно в функцию распределения. Получим $0{,}5 + \Phi\big((73{,}16 - 60)/8\big) = 0{,}5 + \Phi(1{,}645) = 0{,}95$ - совпало с уровнем из условия, значит ответ верен.

Формула и откуда она берётся

Формально квантилем уровня $p$ непрерывной величины называют число $x_p$, для которого $F(x_p) = p$. Существование и единственность такого числа держатся на двух свойствах функции распределения: она непрерывна и строго возрастает там, где плотность положительна. Поэтому горизонтальная прямая на уровне $p$ пересекает график $F(x)$ ровно один раз - эту точку пересечения и рисует пунктирная кривая в калькуляторе.

Для нормального закона формула сворачивается до одной строки. Из $F(x_p) = p$ и вида $F$ следует $\Phi\big((x_p - a)/\sigma\big) = p - 0{,}5$, откуда

$$x_p = a + \sigma\, z_p, \qquad z_p = \Phi^{-1}(p - 0{,}5).$$

Здесь $z_p$ - квантиль стандартного нормального закона, то самое табличное число, а $a$ и $\sigma$ просто сдвигают и растягивают шкалу. Именно поэтому одной таблицы хватает на все нормальные распределения сразу.

У дискретных величин строгого равенства $F(x_p) = p$ может не быть: функция распределения ступенчата и через уровень $p$ перепрыгивает. Тогда квантилем называют наименьшее $x$, при котором $F(x) \geqslant p$, то есть берут ближайшую ступеньку сверху. Как устроены эти ступеньки, показано в разборе функции распределения дискретной величины.

Таблицы: где искать z и t

Вся сложность табличной части в том, что таблицы подписаны по-разному. В таблице усечённой функции Лапласа аргументом служит $p - 0{,}5$, в таблице интегральной функции - сам уровень $p$, а в таблицах Стьюдента чаще стоит не $p$, а двусторонний уровень значимости $\alpha = 2(1 - p)$. Перед тем как читать число, посмотри на шапку столбца.

Вот значения, которые встречаются в задачах чаще всего:

Столбец Стьюдента здесь рассчитан для $\nu = 15$, и хорошо видно главное свойство: квантили $t$ крупнее нормальных. При $\nu = 5$ разрыв ещё заметнее ($t_{0{,}975} = 2{,}571$ против $1{,}960$), при $\nu = 30$ он почти исчезает ($2{,}042$), а в пределе таблица Стьюдента переходит в нормальную. Откуда берётся сам параметр $\nu$ и почему он равен $n - 1$, разобрано в статье про степени свободы распределения Стьюдента.

Квантиль и доверительный интервал

Вторая часть условия нужна не сама по себе: квантиль Стьюдента - это готовый множитель доверительного интервала. Для выборки $n = 16$ с выборочным средним $\bar{x} = 60$ и исправленным стандартным отклонением $s = 8$ интервал надёжности $0{,}95$ строится так:

$$\bar{x} \pm t_{0{,}975}(15)\,\frac{s}{\sqrt{n}} = 60 \pm 2{,}131 \cdot \frac{8}{4} = 60 \pm 4{,}26.$$

Границы получаются $(55{,}74;\ 64{,}26)$. Уровень квантиля берут $0{,}975$, а не $0{,}95$, потому что интервал двусторонний: по $2{,}5$ процента вероятности уходит в каждый хвост, и слева от верхней границы остаётся $97{,}5$ процента значений. Перепутанный здесь уровень - самая частая ошибка во всей теме.

Тот же множитель работает и в обратную сторону: если нужную точность интервала задали заранее, из этой формулы выражают $n$ и получают объём выборки. А когда квантиль сравнивают с расчётной статистикой, он превращается в критическое значение - так устроен критерий Стьюдента и его аналоги для других законов, например критические точки Фишера.

Квартили, медиана и другие уровни

Отдельные квантили носят собственные имена. Квантиль уровня $0{,}5$ - это медиана: у симметричного нормального закона она совпадает с математическим ожиданием, в нашей задаче равна ровно $60$. Квантили уровней $0{,}25$ и $0{,}75$ называют нижним и верхним квартилями, уровня $0{,}1$ и кратных ему - децилями, сотых долей - процентилями.

Для наших данных нижний квартиль равен $60 - 0{,}6745 \cdot 8 = 54{,}60$, верхний $65{,}40$, а межквартильный размах $10{,}79$ - в этот интервал попадает средняя половина значений. Полезно помнить и симметрию: квантиль уровня $1 - p$ зеркален квантилю уровня $p$ относительно медианы, поэтому $x_{0{,}05} = 2 \cdot 60 - 73{,}16 = 46{,}84$, и отдельно его считать не нужно.

Условие часто формулируют не через уровень, а через хвост: «найдите значение, которое превышают лишь 5 процентов деталей». Это тот же квантиль уровня $p = 1 - 0{,}05 = 0{,}95$, просто названный с другой стороны. Прежде чем лезть в таблицу, переведи проценты из условия в левостороннюю вероятность - иначе снимешь число не из той строки.

Частые ошибки

• Ищут в таблице $p$ вместо $p - 0{,}5$. Усечённая функция Лапласа меняется от $0$ до $0{,}5$, и значения $0{,}95$ в ней просто нет; аргументом должно быть $0{,}45$.
• Путают уровень квантиля и уровень значимости. Для двустороннего интервала надёжности $\gamma = 0{,}95$ нужен квантиль уровня $0{,}975$, а не $0{,}95$: $\alpha = 1 - \gamma$ делится пополам между хвостами.
• Забывают обратный переход $x_p = a + \sigma z_p$. Ответ $1{,}645$ - это квантиль стандартного закона, у него нет размерности; величина из условия измеряется в своих единицах.
• Берут в таблице Стьюдента строку $n$ вместо $\nu = n - 1$. Для $n = 16$ строка пятнадцатая, и число выходит $2{,}131$, а не $2{,}120$.
• Считают квантиль для дискретной величины по равенству. Там нужно наименьшее $x$ с условием $F(x) \geqslant p$, иначе решения не будет вовсе.
• Теряют знак при $p < 0{,}5$. Квантили левой половины отрицательны: $z_{0{,}05} = -1{,}645$, а не $+1{,}645$.

FAQ

Чем квантиль отличается от вероятности? Это взаимно обратные величины. Вероятность отвечает на вопрос «какая доля значений левее данной точки», а квантиль - на обратный: «какая точка отсекает заданную долю». В калькуляторе сверху это одна и та же кривая $F(x)$, прочитанная по вертикали или по горизонтали.

Почему квантиль Стьюдента больше нормального? Потому что при малой выборке стандартное отклонение оценивают по тем же данным, и в оценке появляется дополнительный разброс. Распределение Стьюдента учитывает его более тяжёлыми хвостами, поэтому для той же надёжности требуется отойти от центра дальше. С ростом $\nu$ разница тает: уже при $\nu = 30$ отличие идёт в третьем знаке.

Как найти квантиль без таблицы? Точной формулы для обратной нормальной функции не существует, используют численные приближения - именно так считает калькулятор на этой странице. В Excel подойдут функции НОРМ.ОБР и СТЬЮДЕНТ.ОБР, в Python - scipy.stats.norm.ppf и scipy.stats.t.ppf.

Квантиль пишут с одним индексом или с двумя? У однопараметрических таблиц индекс один: $z_{0{,}95}$. У Стьюдента, хи-квадрат и Фишера в скобках дополнительно указывают степени свободы: $t_{0{,}975}(15)$. Встречается и запись $t_{\alpha,\ \nu}$ через уровень значимости - она означает то же число, но уровень в ней дополнительный.

Коротко

1. Квантиль уровня $p$ - корень уравнения $F(x_p) = p$, то есть значение обратной функции распределения.
2. Для нормального закона уравнение сводят к таблице: $\Phi(z_p) = p - 0{,}5$, при $p = 0{,}95$ получаем $z_p = 1{,}645$.
3. Обратный переход к единицам величины: $x_p = a + \sigma z_p = 60 + 8 \cdot 1{,}645 = 73{,}16$.
4. Квантиль Стьюдента ищут по строке $\nu = n - 1$: при $\nu = 15$ и уровне $0{,}975$ это $2{,}131$.
5. Отсюда доверительный интервал $60 \pm 2{,}131 \cdot 8/\sqrt{16} = (55{,}74;\ 64{,}26)$, а проверка ответа - подстановка квантиля обратно в $F(x)$.