Как найти критерий Стьюдента: расчёт по двум выборкам

Дано: прочность образцов из двух партий, МПа. Первая партия: 52, 55, 58, 54, 60, 57, 53, 59. Вторая: 49, 51, 54, 50, 55, 53, 52. Найти: наблюдаемое значение критерия Стьюдента, число степеней свободы и вывод о равенстве генеральных средних при уровне значимости 0,05.

Порядок действий такой: сначала по сырым числам считают выборочные средние и исправленные дисперсии, затем объединяют дисперсии в одну оценку и делят разность средних на её стандартную ошибку. Ответ получится такой: $t_{\text{набл}} \approx 2{,}97$ при $k = 13$ и $t_{\text{крит}} = 2{,}16$, то есть различие средних значимо и гипотеза о равенстве отвергается. Калькулятор сверху повторит этот расчёт для любых двух рядов чисел: вставь свои значения, и он покажет средние, дисперсии, $t_{\text{набл}}$, степени свободы и вывод.

Решение по шагам

Дано. Две независимые выборки:

Найти: $t_{\text{набл}}$, число степеней свободы $k$, критическую точку $t_{\text{крит}}$ и вывод о гипотезе $H_0: a_1 = a_2$ при $\alpha = 0{,}05$.

Шаг 1. Выборочные средние. Складываем значения каждой выборки и делим на её объём:

$$\bar{x} = \frac{52 + 55 + 58 + 54 + 60 + 57 + 53 + 59}{8} = \frac{448}{8} = 56, \qquad \bar{y} = \frac{49 + 51 + 54 + 50 + 55 + 53 + 52}{7} = \frac{364}{7} = 52.$$

Разность средних равна 4 МПа. Сама по себе она ещё ничего не доказывает: нужно понять, велика ли эта разность на фоне разброса внутри партий.

Шаг 2. Исправленные выборочные дисперсии. Считаем суммы квадратов отклонений от своих средних и делим на $n - 1$, а не на $n$:

$$\begin{aligned} \sum (x_i - \bar{x})^2 &= 16 + 1 + 4 + 4 + 16 + 1 + 9 + 9 = 60, &\quad s_x^2 &= \frac{60}{7} \approx 8{,}571, \\ \sum (y_i - \bar{y})^2 &= 9 + 1 + 4 + 4 + 9 + 1 + 0 = 28, &\quad s_y^2 &= \frac{28}{6} \approx 4{,}667. \end{aligned}$$

Деление на $n - 1$ здесь принципиально: несмещённая оценка дисперсии нужна, чтобы статистика имела распределение Стьюдента. Подробный разбор этого шага с проверкой по другой формуле есть в разборе про то, как вычислить дисперсию.

Шаг 3. Проверка однородности дисперсий. Классический критерий Стьюдента предполагает, что генеральные дисперсии равны. Отношение большей исправленной дисперсии к меньшей:

$$F_{\text{набл}} = \frac{s_x^2}{s_y^2} = \frac{8{,}571}{4{,}667} \approx 1{,}84.$$

При $k_1 = 7$ и $k_2 = 6$ критическая точка $F_{\text{крит}}(0{,}05; 7; 6) = 4{,}21$. Раз $1{,}84 < 4{,}21$, различие дисперсий незначимо, и объединять их можно. Сам этот критерий разобран в статье про критерий Фишера.

Шаг 4. Объединённая дисперсия. Усредняем дисперсии с весами по числу степеней свободы каждой выборки:

$$s_{\text{об}}^2 = \frac{(n_1 - 1)s_x^2 + (n_2 - 1)s_y^2}{n_1 + n_2 - 2} = \frac{60 + 28}{8 + 7 - 2} = \frac{88}{13} \approx 6{,}769, \qquad s_{\text{об}} \approx 2{,}602.$$

Обрати внимание: в числителе стоят те же суммы квадратов отклонений, что и в шаге 2, поэтому промежуточное деление на $n - 1$ можно не делать вовсе, если сразу писать суммы.

Шаг 5. Наблюдаемое значение критерия. Разность средних делим на стандартную ошибку этой разности:

$$t_{\text{набл}} = \frac{\bar{x} - \bar{y}}{s_{\text{об}} \sqrt{\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}}} = \frac{56 - 52}{2{,}602 \cdot \sqrt{\dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{7}}} = \frac{4}{2{,}602 \cdot 0{,}5175} = \frac{4}{1{,}347} \approx 2{,}97.$$

Шаг 6. Степени свободы и критическая точка. Число степеней свободы равно суммарному объёму выборок минус два оценённых средних:

$$k = n_1 + n_2 - 2 = 8 + 7 - 2 = 13.$$

Гипотеза двусторонняя (заранее не известно, какая партия прочнее), поэтому по таблице критических точек Стьюдента для двусторонней области при $\alpha = 0{,}05$ и $k = 13$ находим $t_{\text{крит}} = 2{,}16$.

Шаг 7. Вывод. Сравниваем модуль наблюдаемого значения с критическим: $|t_{\text{набл}}| = 2{,}97 > 2{,}16 = t_{\text{крит}}$. Наблюдаемое значение попало в критическую область, значит нулевая гипотеза о равенстве генеральных средних отвергается. Достигнутый уровень значимости $p \approx 0{,}011$, что меньше 0,05 и подтверждает тот же вывод. Полезная деталь: при $\alpha = 0{,}01$ критическая точка равна 3,01, и то же самое значение 2,97 гипотезу уже не отвергло бы, поэтому уровень значимости всегда указывают в ответе.

Ответ. $t_{\text{набл}} \approx 2{,}97$, $k = 13$, $t_{\text{крит}} = 2{,}16$ при $\alpha = 0{,}05$; так как $|t_{\text{набл}}| > t_{\text{крит}}$, средняя прочность партий различается значимо, первая партия прочнее на $4 \pm 2{,}91$ МПа (95-процентный доверительный интервал разности от 1,09 до 6,91 МПа).

Формула критерия Стьюдента и откуда она берётся

В числителе стоит разность выборочных средних, в знаменателе - её стандартная ошибка. Если бы генеральная дисперсия $\sigma^2$ была известна, ошибка разности равнялась бы $\sigma\sqrt{1/n_1 + 1/n_2}$, а статистика имела бы стандартное нормальное распределение. Но $\sigma$ неизвестна, вместо неё подставляют оценку $s_{\text{об}}$, и от этой замены распределение «расплывается»: у него более тяжёлые хвосты, чем у нормального.

Это и есть распределение Стьюдента с параметром $k$. Чем меньше выборки, тем осторожнее критерий: при $k = 5$ порог равен 2,571, при $k = 30$ уже 2,042, а при бесконечно больших выборках он сходится к нормальной квантили 1,96. Откуда берётся сам параметр и как он меняет форму кривой, разобрано в статье про распределение Стьюдента и степени свободы.

Число степеней свободы считается по простому правилу: из общего объёма данных вычитают число оценённых по этим же данным параметров. Здесь оценены два средних, $\bar{x}$ и $\bar{y}$, поэтому $k = n_1 + n_2 - 2$. В объединённой дисперсии каждая выборка приносит свои $n_i - 1$ степеней свободы, и в сумме получается то же самое число.

Таблица критических значений: как выбрать строку и столбец

Строку выбирают по числу степеней свободы, столбец - по уровню значимости и виду критической области. Фрагмент таблицы для двусторонней области:

Двусторонняя область нужна, когда проверяется гипотеза $H_1: a_1 \neq a_2$, то есть направление различия заранее не задано. Если по смыслу задачи важно только превышение ($H_1: a_1 > a_2$), критическая область односторонняя, и порог берут мягче: при $k = 13$ и $\alpha = 0{,}05$ это 1,771 - значение из столбца $\alpha = 0{,}10$ двусторонней таблицы. Отсюда практическое правило: односторонний порог при уровне $\alpha$ равен двустороннему при $2\alpha$.

Если таблицы под рукой нет, критическую точку даёт функция СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х в Excel: она принимает вероятность и число степеней свободы и возвращает ровно двустороннее значение. Значение $t_{\text{набл}}$ при этом всегда сравнивают по модулю: знак зависит лишь от того, какую выборку записали первой.

Одновыборочный и парный критерий Стьюдента

Под названием «критерий Стьюдента» скрываются три разные задачи, и путать их нельзя. Разобранный выше вариант - для двух независимых выборок. Второй вариант, одновыборочный, сравнивает среднее одной выборки с заданным числом $a_0$ (номиналом, нормой, паспортным значением):

$$t_{\text{набл}} = \frac{\bar{x} - a_0}{s / \sqrt{n}}, \qquad k = n - 1.$$

Третий вариант - парный, когда наблюдения связаны попарно: одни и те же объекты измерены до и после воздействия. Тогда считают разности $d_i = x_i - y_i$, и задача сводится к одновыборочной проверке гипотезы $H_0: a_d = 0$:

$$t_{\text{набл}} = \frac{\bar{d}}{s_d / \sqrt{n}}, \qquad k = n - 1,$$

где $n$ - число пар. Парный вариант чувствительнее независимого: он убирает разброс между объектами и оставляет только эффект воздействия. Применять к парным данным двухвыборочный критерий - грубая ошибка, которая обычно занижает $t_{\text{набл}}$ и «прячет» реальный эффект.

Условия применимости и что делать при их нарушении

Классический критерий Стьюдента требует трёх вещей: наблюдения независимы, выборки взяты из нормально распределённых совокупностей, генеральные дисперсии равны. Нормальность на малых выборках проверяют критерием согласия - как это делается по шагам, показано в разборе про то, как проверить нормальность распределения.

Если дисперсии заметно различаются (критерий Фишера отверг однородность), объединять их нельзя: вместо этого берут модификацию Уэлча со своей формулой степеней свободы. Разбор этого случая и сравнение двух подходов - в статье про проверку гипотезы о равенстве двух средних. Если же нарушена нормальность, переходят к непараметрическому критерию Манна-Уитни, который работает с рангами и не требует никакого закона распределения.

Частые ошибки

• Делят сумму квадратов отклонений на $n$ вместо $n - 1$. Дисперсия получается смещённой и заниженной, знаменатель критерия уменьшается, а $t_{\text{набл}}$ раздувается. В критерии Стьюдента используются только исправленные дисперсии.
• Берут $k = n_1 + n_2$ или $k = n - 1$ по одной выборке. Для двух независимых выборок степеней свободы ровно $n_1 + n_2 - 2$; здесь это 13, а не 15 и не 7.
• Путают одностороннюю и двустороннюю критическую область. При $k = 13$ и $\alpha = 0{,}05$ пороги различаются почти на четверть: 2,160 против 1,771. Вид области определяется формулировкой $H_1$ и выбирается до расчётов, а не после.
• Сравнивают $t_{\text{набл}}$ с критической точкой по знаку, а не по модулю. Если первой записать вторую выборку, получится $-2{,}97$, и вывод обязан остаться прежним.
• Считают объединённую дисперсию как простое среднее $s_x^2$ и $s_y^2$. При разных объёмах выборок веса $n_i - 1$ обязательны, иначе меньшая выборка получает незаслуженно большой вклад.
• Трактуют «не отвергли $H_0$» как доказательство равенства средних. Это означает лишь, что данных не хватило: при $\alpha = 0{,}01$ та же выборка гипотезу не отвергает, хотя различие никуда не делось.

FAQ

Что делать, если в условии даны не сами числа, а средние и дисперсии? Шаги 1 и 2 просто пропускаются. Суммы квадратов отклонений восстанавливаются как $(n_i - 1)s_i^2$, дальше расчёт идёт с шага 4 без изменений. Если дана не исправленная, а обычная выборочная дисперсия $D_{\text{в}}$, её сначала пересчитывают: $s^2 = \dfrac{n}{n-1} D_{\text{в}}$.

Какой уровень значимости брать, если он не указан? Стандарт учебных задач - 0,05. В ответе уровень значимости указывают обязательно, потому что вывод от него зависит: наши 2,97 отвергают гипотезу при 0,05 и не отвергают при 0,01.

Можно ли применять критерий Стьюдента к выборкам разного объёма? Да, формула изначально рассчитана на разные $n_1$ и $n_2$ - именно поэтому в знаменателе стоит $\sqrt{1/n_1 + 1/n_2}$, а дисперсии усредняются с весами. Ограничение другое: при сильно разных объёмах и одновременно разных дисперсиях классический вариант становится ненадёжным, и лучше брать модификацию Уэлча.

Как связаны критерий Стьюдента и p-значение? Это два способа сформулировать один вывод. Критическая точка отвечает на вопрос «попало ли значение в критическую область», а $p$ показывает вероятность получить такое или большее отклонение при верной $H_0$. Условия $|t_{\text{набл}}| > t_{\text{крит}}$ и $p < \alpha$ эквивалентны: у нас $p \approx 0{,}011 < 0{,}05$.

Коротко

1. Посчитать выборочные средние $\bar{x}$ и $\bar{y}$ и исправленные дисперсии $s_x^2$, $s_y^2$ с делением на $n - 1$: получилось 56 и 52, 8,571 и 4,667.
2. Проверить однородность дисперсий критерием Фишера: $1{,}84 < 4{,}21$, объединять можно.
3. Найти объединённую дисперсию $s_{\text{об}}^2 = \dfrac{(n_1-1)s_x^2 + (n_2-1)s_y^2}{n_1+n_2-2} = 6{,}769$.
4. Вычислить $t_{\text{набл}} = \dfrac{\bar{x}-\bar{y}}{s_{\text{об}}\sqrt{1/n_1 + 1/n_2}} = 2{,}97$ и $k = n_1 + n_2 - 2 = 13$.
5. Сравнить с табличным $t_{\text{крит}}(0{,}05; 13) = 2{,}16$: модуль больше порога, гипотеза о равенстве средних отвергается, различие прочности партий значимо.