Как проверить нормальность распределения: критерий Пирсона

Дано: 100 деталей, признак $X$ - толщина покрытия в мкм; ряд сгруппирован в семь интервалов шириной 2 с частотами 4, 14, 20, 25, 18, 15, 4. Найти: согласуются ли данные с нормальным законом при уровне значимости $\alpha = 0{,}05$.

Работаем критерием согласия хи-квадрат Пирсона: оцениваем параметры нормального закона по выборке, считаем теоретическую частоту каждого интервала и складываем взвешенные квадраты расхождений. Ответ: $\chi^2_{\text{набл}} = 3{,}12$ при критической точке $\chi^2_{\text{кр}} = 9{,}488$, то есть гипотезу о нормальном распределении отвергать нет оснований. Калькулятор сверху пересчитывает всю таблицу под другие частоты и уровень значимости.

Решение по шагам

Дано. Интервальный вариационный ряд толщины покрытия, объём выборки $n = 100$:

Найти: наблюдаемое значение статистики Пирсона, число степеней свободы, критическую точку и вывод о нормальности при $\alpha = 0{,}05$.

Шаг 1. Перейти к серединам интервалов и найти выборочные характеристики. Внутри интервала все наблюдения условно считаются сосредоточенными в его середине $x_i$: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13. Дальше это обычный дискретный ряд:

$$\bar{x}_{\text{в}} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{s} x_i n_i = \frac{4 \cdot 1 + 14 \cdot 3 + 20 \cdot 5 + 25 \cdot 7 + 18 \cdot 9 + 15 \cdot 11 + 4 \cdot 13}{100} = \frac{700}{100} = 7.$$

Дисперсию удобнее считать через вторые моменты, а не через отклонения:

$$D_{\text{в}} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{s} x_i^2 n_i - \bar{x}_{\text{в}}^2 = \frac{5804}{100} - 7^2 = 58{,}04 - 49 = 9{,}04, \qquad \sigma_{\text{в}} = \sqrt{9{,}04} \approx 3{,}01.$$

Параметры нормального закона неизвестны, поэтому вместо них берутся эти оценки: $a \approx \bar{x}_{\text{в}} = 7$, $\sigma \approx \sigma_{\text{в}} = 3{,}01$. Позже за такую замену придётся заплатить двумя степенями свободы.

Шаг 2. Нормировать границы интервалов. Каждая граница переводится в единицы стандартного отклонения:

$$z = \frac{x - \bar{x}_{\text{в}}}{\sigma_{\text{в}}}.$$

Крайние границы заменяются на бесконечности: левый конец первого интервала считается равным $-\infty$, правый конец последнего $+\infty$. Иначе сумма теоретических вероятностей окажется меньше единицы, и хвосты нормальной кривой просто потеряются.

Шаг 3. Найти теоретические вероятности. Вероятность попадания в интервал равна разности значений функции Лапласа на его границах:

$$p_i = \Phi(z_{i+1}) - \Phi(z_i), \qquad \Phi(-\infty) = -0{,}5, \quad \Phi(+\infty) = 0{,}5.$$

По таблице $\Phi(0{,}33) = 0{,}1293$, $\Phi(1{,}00) = 0{,}3413$, $\Phi(1{,}66) = 0{,}4515$; функция нечётна, поэтому для отрицательных аргументов значения берутся со знаком минус. Например, для интервала 6-8:

$$p_4 = \Phi(0{,}33) - \Phi(-0{,}33) = 2 \cdot 0{,}1293 = 0{,}2586,$$

а для первого интервала $p_1 = \Phi(-1{,}66) - \Phi(-\infty) = -0{,}4515 + 0{,}5 = 0{,}0485$.

Шаг 4. Найти теоретические частоты. Умножаем вероятности на объём выборки: $n_i^{\text{т}} = n p_i$.

Контроль здесь обязателен: сумма вероятностей должна дать единицу, а сумма теоретических частот - объём выборки. Расхождение в сотых допустимо, оно набегает от округления таблицы.

Шаг 5. Вычислить наблюдаемую статистику. Складываем взвешенные квадраты расхождений эмпирических и теоретических частот:

$$\chi^2_{\text{набл}} = \sum_{i=1}^{s} \frac{(n_i - n p_i)^2}{n p_i}.$$ $$\chi^2_{\text{набл}} = 0{,}149 + 0{,}806 + 0{,}068 + 0{,}029 + 0{,}483 + 1{,}437 + 0{,}149 = 3{,}12.$$

Основной вклад дал интервал 10-12: наблюдалось 15 деталей против ожидаемых 11, это видно и на графике в калькуляторе, если переключить его на слагаемые.

Шаг 6. Сравнить с критической точкой. Число степеней свободы равно числу интервалов минус единица и минус число оценённых параметров:

$$k = s - 1 - r = 7 - 1 - 2 = 4.$$

По таблице критических точек распределения хи-квадрат при $\alpha = 0{,}05$ и $k = 4$ получаем $\chi^2_{\text{кр}} = 9{,}488$. Наблюдаемое значение меньше: $3{,}12 < 9{,}488$.

Ответ. $\chi^2_{\text{набл}} = 3{,}12 < \chi^2_{\text{кр}}(0{,}05;\ 4) = 9{,}488$, значит расхождение эмпирических и теоретических частот незначимо и гипотеза о нормальном распределении толщины покрытия не отвергается.

Формула критерия и число степеней свободы

Смысл статистики Пирсона виден из её слагаемых. Разность $n_i - n p_i$ показывает, насколько реальная частота интервала отошла от предсказанной законом. Квадрат убирает знак, чтобы недоборы и переборы не гасили друг друга. Деление на $n p_i$ выравнивает вклад интервалов: расхождение в четыре наблюдения при ожидаемых пяти - это грубый промах, а при ожидаемых пятидесяти - мелочь.

Теорема Пирсона утверждает, что при $n \to \infty$ и верной нулевой гипотезе такая сумма распределена как хи-квадрат - независимо от того, какой именно закон проверяется. Именно поэтому один и тот же критерий годится и для нормального, и для показательного, и для равномерного распределения: меняется только способ расчёта $p_i$. Подробности о самой кривой и о том, как искать в таблице нужную ячейку, разобраны в статье про распределение хи-квадрат и таблицу его значений.

Число степеней свободы уменьшают две вещи. Первая единица уходит на условие $\sum n_i = n$: частоты не свободны, последняя восстанавливается по остальным. Ещё $r$ единиц отнимает оценивание параметров по той же выборке. Для нормального закона $r = 2$ (среднее и отклонение), поэтому $k = s - 3$; для показательного закона оценивается один параметр и $k = s - 2$; если параметры заданы условием заранее, вычитается только единица. Ошибка в $r$ смещает критическую точку и способна перевернуть вывод.

Если теоретическая частота меньше пяти

Распределение статистики приближается к хи-квадрат тем точнее, чем крупнее ожидаемые частоты. Практическое правило: каждая теоретическая частота должна быть не меньше 5. В нашей задаче крайние интервалы дали 4,85 - почти на грани, и строгий вариант решения объединяет их с соседями.

После объединения остаётся пять интервалов с частотами 18, 20, 25, 18, 19 и теоретическими 15,87; 21,20; 25,86; 21,20; 15,87. Тогда

$$\chi^2_{\text{набл}} = 0{,}286 + 0{,}068 + 0{,}029 + 0{,}483 + 0{,}617 = 1{,}48, \qquad k = 5 - 3 = 2,$$

а критическая точка при $\alpha = 0{,}05$ и двух степенях свободы равна 5,991. Вывод тот же: $1{,}48 < 5{,}991$, гипотеза не отвергается. Совпадение выводов - хороший признак устойчивости решения; если бы они разошлись, доверять следовало варианту с объединёнными интервалами.

Чем ещё проверяют нормальность

Перед формальным критерием полезна графическая прикидка: по интервальному ряду строят гистограмму, а по серединам интервалов - ломаную, и смотрят, похожа ли она на колокол. Техника построения разобрана в задаче про полигон частот; график не доказывает нормальность, но сразу выдаёт двугорбость, резкую скошенность или выбросы, после которых считать критерий уже нет смысла.

Второй быстрый признак - выборочные асимметрия и эксцесс: у нормального закона обе величины равны нулю, и если их модули не превышают своих стандартных ошибок, отклонение формы несущественно. Наконец, вместо Пирсона применяют критерий согласия Колмогорова-Смирнова: он работает с несгруппированными данными и потому точнее на малых выборках, где группировка съедает информацию. Проверка нормальности почти никогда не самоцель - она предшествует параметрическим процедурам вроде сравнения двух средних, законность которых держится на этом допущении.

Частые ошибки

• Считают частоты по границам, а не по серединам интервалов. Выборочные среднее и дисперсия интервального ряда находятся по серединам $x_i$; подстановка левых границ занижает среднее ровно на половину шага.
• Не уводят крайние границы в бесконечность. Если оставить 0 и 14, сумма вероятностей окажется около 0,98, теоретические частоты недоберут два наблюдения, а статистика вырастет на пустом месте.
• Забывают вычесть оценённые параметры из числа степеней свободы. Для нормального закона $k = s - 3$, а не $s - 1$: при $s = 7$ это разница между критическими точками 9,488 и 12,592.
• Путают функцию Лапласа с функцией распределения. Табличная $\Phi(z)$ отсчитывается от нуля и меняется в пределах от -0,5 до 0,5; если таблица даёт $F(z)$ от 0 до 1, вероятность интервала считается как разность значений $F$ без всяких добавок в 0,5.
• Оставляют интервалы с ожидаемой частотой меньше 5. Мелкий знаменатель раздувает слагаемое, и критерий начинает отвергать верную гипотезу; такие интервалы объединяют с соседними, не забывая пересчитать число степеней свободы.
• Делят на наблюдаемую частоту вместо теоретической. В знаменателе стоит именно $n p_i$; замена меняет и величину статистики, и её распределение.

FAQ

Что означает вывод, что гипотеза не отвергается? Только то, что расхождение частот объяснимо случайностью выборки. Это не доказательство нормальности: критерий не принимает нулевую гипотезу, а не находит оснований её отвергнуть. При другом объёме выборки или другой группировке вывод может измениться.

Сколько наблюдений нужно для критерия Пирсона? Практический минимум - около 50 наблюдений, комфортный объём - от 100. Причина не в самой формуле, а в требовании $n p_i \geqslant 5$: на маленькой выборке интервалы приходится объединять так грубо, что от формы распределения ничего не остаётся.

Сколько интервалов брать при группировке? Обычно от 7 до 12; ориентир даёт формула Стёрджеса $s \approx 1 + 3{,}322 \lg n$, для $n = 100$ она даёт около 8 интервалов. Слишком мелкое дробление роняет ожидаемые частоты ниже пяти, слишком крупное сглаживает любые отклонения от нормальности.

Что делать, если статистика попала в критическую область? Гипотеза о нормальности отвергается на выбранном уровне значимости, и параметрические методы к таким данным применять нельзя. Дальше либо ищут другой закон, либо преобразуют признак (логарифмирование часто выправляет правостороннюю скошенность), либо переходят к непараметрическим критериям.

Коротко

1. Перейти к серединам интервалов и найти $\bar{x}_{\text{в}}$ и $\sigma_{\text{в}}$: в примере 7 и 3,01 при объёме выборки 100.
2. Нормировать границы по формуле $z = (x - \bar{x}_{\text{в}}) / \sigma_{\text{в}}$, крайние заменить на $\pm\infty$.
3. Снять вероятности с таблицы функции Лапласа: $p_i = \Phi(z_{i+1}) - \Phi(z_i)$, проверить сумму на единицу; теоретические частоты равны $n p_i$.
4. Сложить слагаемые $(n_i - n p_i)^2 / (n p_i)$: получилось $\chi^2_{\text{набл}} = 3{,}12$.
5. Взять $k = s - 3 = 4$, найти $\chi^2_{\text{кр}}(0{,}05;\ 4) = 9{,}488$ и сравнить: $3{,}12 < 9{,}488$, гипотеза о нормальности не отвергается.