Как вычислить скользящую среднюю: пример расчёта

Дано: продажи по месяцам, млн руб.: 42, 48, 45, 51, 57, 54, 60, 66, 63, 69, 75, 72. Найти: сглаженный ряд трёхчленной скользящей средней и четырёхчленной центрированной.

Скользящая средняя усредняет уровни внутри интервала фиксированной длины и сдвигает этот интервал на один шаг вдоль ряда. Ответ: трёхчленная средняя даёт 45; 48; 51; 54; 57; 60; 63; 66; 69; 72, четырёхчленная центрированная - 48,375; 51; 53,625; 57,375; 60; 62,625; 66,375; 69. Тренд растёт на 3 млн руб. в месяц. Калькулятор сверху считает оба варианта для любого ряда и любой длины интервала.

Решение по шагам

Дано. Продажи по месяцам, млн руб.:

Найти: трёхчленную скользящую среднюю и четырёхчленную центрированную.

Шаг 1. Определяем длину интервала. Сначала смотрим на цепные приросты: $+6$, $-3$, $+6$, $+6$, $-3$, $+6$, $+6$, $-3$, $+6$, $+6$, $-3$. Картинка повторяется ровно через три месяца, значит в ряду сидит волна с периодом $p = 3$. Длину интервала сглаживания берём равной периоду колебаний: $m = 3$. Второй вариант из условия, $m = 4$, тоже посчитаем, чтобы увидеть, чем он хуже.

Шаг 2. Трёхчленная скользящая средняя. Интервал нечётный, поэтому средняя сразу относится к среднему месяцу интервала. Первое значение приходится на второй месяц, последнее - на одиннадцатый:

$$\begin{aligned} \bar{y}_2 &= \frac{42 + 48 + 45}{3} = \frac{135}{3} = 45, \\ \bar{y}_3 &= \frac{48 + 45 + 51}{3} = \frac{144}{3} = 48, \\ \bar{y}_4 &= \frac{45 + 51 + 57}{3} = \frac{153}{3} = 51. \end{aligned}$$

Дальше интервал сдвигается на месяц, и каждая новая сумма получается из предыдущей заменой одного слагаемого. Остальные значения: $\bar{y}_5 = 54$, $\bar{y}_6 = 57$, $\bar{y}_7 = 60$, $\bar{y}_8 = 63$, $\bar{y}_9 = 66$, $\bar{y}_{10} = 69$, $\bar{y}_{11} = 72$. Сглаженный ряд растёт строго на 3 млн руб. за месяц - волна погашена полностью.

Шаг 3. Четырёхчленная средняя и центрирование. Интервал чётный, поэтому его середина попадает между месяцами: первая средняя относится к точке между вторым и третьим месяцем. Сначала считаем простые четырёхчленные средние:

$$\begin{aligned} \bar{y}_{2{,}5} &= \frac{42 + 48 + 45 + 51}{4} = \frac{186}{4} = 46{,}5, \\ \bar{y}_{3{,}5} &= \frac{48 + 45 + 51 + 57}{4} = \frac{201}{4} = 50{,}25, \\ \bar{y}_{4{,}5} &= \frac{45 + 51 + 57 + 54}{4} = \frac{207}{4} = 51{,}75. \end{aligned}$$

Дальше по той же схеме: 55,5; 59,25; 60,75; 64,5; 68,25; 69,75. Чтобы привязать значения к месяцам, усредняем каждую пару соседних средних - это и есть центрирование:

$$\bar{y}_3^{\text{ц}} = \frac{46{,}5 + 50{,}25}{2} = 48{,}375, \qquad \bar{y}_4^{\text{ц}} = \frac{50{,}25 + 51{,}75}{2} = 51.$$

Остальные центрированные значения: $\bar{y}_5^{\text{ц}} = 53{,}625$, $\bar{y}_6^{\text{ц}} = 57{,}375$, $\bar{y}_7^{\text{ц}} = 60$, $\bar{y}_8^{\text{ц}} = 62{,}625$, $\bar{y}_9^{\text{ц}} = 66{,}375$, $\bar{y}_{10}^{\text{ц}} = 69$.

Шаг 4. Сводим результат.

Ответ: трёхчленная скользящая средняя равна 45; 48; 51; 54; 57; 60; 63; 66; 69; 72 (месяцы со 2-го по 11-й), четырёхчленная центрированная - 48,375; 51; 53,625; 57,375; 60; 62,625; 66,375; 69 (месяцы с 3-го по 10-й). Тренд линейный, прирост 3 млн руб. в месяц.

Формула и откуда она берётся

Простая скользящая средняя нечётной длины $m = 2h + 1$ считается так:

$$\bar{y}_t = \frac{1}{m} \sum_{k = t - h}^{t + h} y_k ,$$

где $y_k$ - уровни исходного ряда, $h$ - число уровней слева и справа от центра интервала. Для $m = 3$ получаем $h = 1$, то есть усредняются предыдущий, текущий и следующий месяцы.

Почему это работает, видно из разложения уровня на тренд и колебание: $y_t = T_t + \varepsilon_t$. Если тренд на коротком отрезке близок к прямой, то сумма трёх его соседних значений равна утроенному среднему, и деление на три возвращает сам тренд без искажения. А колебания за полный период дают в сумме нуль и после деления исчезают. Именно поэтому длину интервала подбирают под период волны, а не наугад.

В нашем ряду отклонения от прямой равны $0$, $+3$, $-3$ и повторяются каждые три месяца. Сумма по любым трём подряд идущим месяцам даёт $0 + 3 - 3 = 0$, поэтому трёхчленная средняя попала на тренд точно, без остатка. Если бы период был равен четырём, точно так же сработала бы четырёхчленная средняя.

Центрирование при чётной длине интервала

Чётный интервал не имеет среднего уровня: у четырёх месяцев середина лежит между вторым и третьим. Оставить значение в таком положении нельзя - сглаженный ряд сдвинется относительно исходного на полшага, и все дальнейшие сравнения уровней поедут. Поэтому делают второй проход: соседние простые средние усредняют между собой, и результат ложится уже на конкретный месяц.

Тот же результат даёт одна формула со взвешиванием, в которой крайние уровни входят с половинным весом:

$$\bar{y}_t^{\text{ц}} = \frac{y_{t-2} + 2y_{t-1} + 2y_t + 2y_{t+1} + y_{t+2}}{8}.$$

Проверим на третьем месяце: $(42 + 2 \cdot 48 + 2 \cdot 45 + 2 \cdot 51 + 57) / 8 = 387 / 8 = 48{,}375$ - совпало со значением из шага 3. Для двухчленной центрированной средней та же логика даёт знакомые веса 1 : 2 : 1, делённые на четыре.

Обратите внимание на цену центрирования: при $m = 4$ мы потеряли по два уровня с каждого края вместо одного, и сглаженный ряд стал короче на четыре месяца. Плюс он не идеально лёг на тренд: отклонения $\pm 0{,}375$ млн руб. остались, потому что интервал в четыре месяца не кратен трёхмесячной волне. Этот же приём разбирается как шаг выделения тренда в статье про мультипликативную модель временного ряда, где период сезонности равен четырём кварталам.

Как выбрать длину интервала

Правило одно: длина интервала должна быть кратна периоду колебаний, которые нужно убрать. Для месячных данных с годовой сезонностью это $m = 12$, для квартальных - $m = 4$, для недельных с недельным циклом - $m = 7$. В нашей задаче период равен трём месяцам, поэтому подошли $m = 3$ и $m = 6$, а $m = 4$ и $m = 5$ оставили остаточную волну. Переключите чипы длины интервала в калькуляторе сверху: показатель наибольшего отклонения от тренда обнуляется ровно тогда, когда $m$ кратно периоду.

Если период неизвестен, длину подбирают компромиссом. Короткий интервал сохраняет детали и все локальные всплески, но плохо гасит шум. Длинный даёт гладкую линию, однако срезает реальные повороты тренда и съедает много уровней по краям: при интервале $m$ теряется $m - 1$ значение для нечётной длины и $m$ значений для чётной. На ряде из 12 месяцев интервал в 6 месяцев оставит всего шесть точек - половину исходной информации.

Полезно сравнить два-три варианта и посмотреть, с какого момента линия перестаёт заметно меняться. Альтернатива для тех же данных - экспоненциальное сглаживание: оно не теряет краевые уровни и позволяет управлять гладкостью одним параметром, но и реагирует на новые данные иначе. Если после сглаживания нужны показатели динамики, дальше считают темпы роста уже по сглаженному ряду.

Частые ошибки

• Первое значение записано в первый месяц. При $m = 3$ средняя первых трёх уровней относится ко второму месяцу, а не к первому. Сдвиг на один месяц портит весь дальнейший анализ, включая сезонные индексы.
• Чётный интервал без центрирования. Средняя по четырём месяцам повисает между месяцами. Если её записать просто в третий месяц, ряд сдвинется на полшага, и остатки при делении исходного ряда на тренд получатся несимметричными.
• Длина интервала не кратна периоду волны. Сглаживание в этом случае не убирает колебания, а лишь уменьшает их размах, и остаточная волна потом выдаётся за настоящий тренд.
• Края ряда достроены руками. Пустые ячейки в первых и последних месяцах - это нормальный результат метода, а не ошибка. Заполнять их копией соседнего значения или средней по неполному интервалу нельзя: в таких точках усреднение опирается на другое число уровней.
• Округление промежуточных средних. Если округлить четырёхчленные средние до целых, после центрирования разойдётся третий знак. Округляют только итог.
• Деление на число слагаемых на краю. При сдвиге интервала легко потерять одно слагаемое и всё равно разделить на $m$. Проверяйте, что в каждой сумме ровно $m$ уровней.

FAQ

Чем скользящая средняя отличается от обычной средней по ряду? Обычная средняя даёт одно число на весь период и никак не описывает динамику. Скользящая средняя даёт целый ряд значений: для каждого момента своё, усреднённое по его ближайшим соседям. Поэтому она показывает, как меняется уровень явления во времени.

Сколько уровней теряется при сглаживании? При нечётной длине интервала теряется $m - 1$ уровень: по $(m-1)/2$ с каждого края. При чётной длине с центрированием теряется $m$ уровней: по $m/2$ с каждой стороны. В нашей задаче это 2 уровня при $m = 3$ и 4 уровня при $m = 4$.

Можно ли сглаживать ряд, в котором нет сезонности? Да, тогда скользящая средняя гасит случайные колебания и делает тренд читаемым. Длину интервала в этом случае берут небольшой, 3 или 5 точек, чтобы не срезать реальные повороты.

Годится ли скользящая средняя для прогноза? Напрямую нет: она не определена в точках за концом ряда. По сглаженному ряду оценивают уравнение тренда, а прогноз строят уже по нему. Не путайте сглаживание с упорядочением наблюдений: построение вариационного ряда решает совсем другую задачу и с динамикой не связано.

Коротко

1. Определите период колебаний ряда по цепным приростам; в примере он равен трём месяцам.
2. Возьмите длину интервала $m$, кратную периоду: подошли $m = 3$ и $m = 6$.
3. Для нечётного $m$ усредните $m$ подряд идущих уровней и отнесите результат к среднему месяцу интервала.
4. Для чётного $m$ посчитайте простые средние, а затем усредните каждую пару соседних - это центрирование.
5. Ответ: трёхчленная средняя 45; 48; 51; 54; 57; 60; 63; 66; 69; 72, четырёхчленная центрированная 48,375; 51; 53,625; 57,375; 60; 62,625; 66,375; 69, прирост тренда 3 млн руб. в месяц.