Как составить вариационный ряд: пошаговое решение

Дано: число звонков за час в 20 наблюдениях: 4, 3, 5, 2, 4, 6, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 4, 5, 3, 4, 6, 3, 4, 5. Найти: вариационный ряд с частотами, относительными частотами (частостями) и накопленными частотами.

Ряд составляется в три хода: выборку упорядочивают по возрастанию, одинаковые значения сворачивают в варианту с частотой, затем частоты нормируют и накапливают. Ответ: варианты 2, 3, 4, 5, 6 с частотами 2, 5, 7, 4, 2, частости 0,10; 0,25; 0,35; 0,20; 0,10, накопленные частоты 2, 7, 14, 18, 20. Калькулятор сверху собирает такую таблицу для любой выборки, ниже разобран каждый шаг.

Решение по шагам

Дано. Выборка объёма $n = 20$, признак $X$ - число звонков за час. Значения записаны в порядке наблюдения, то есть вразнобой, и по такой записи пока ничего нельзя сказать о распределении.

Шаг 1. Объём выборки и крайние значения. Пересчитываем наблюдения: их 20, значит $n = 20$. Наименьшее значение $x_{\min} = 2$, наибольшее $x_{\max} = 6$, размах выборки:

$$R = x_{\max} - x_{\min} = 6 - 2 = 4.$$

Шаг 2. Ранжированный ряд. Переписываем все 20 чисел по возрастанию, не выбрасывая повторы:

$$2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 3,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 4,\ 4,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 5,\ 5,\ 6,\ 6.$$

Чтобы не сбиться, удобно идти по исходной записи слева направо и ставить чёрточку напротив каждого значения, а потом считать чёрточки. Проверка простая: в ранжированном ряду ровно столько чисел, сколько было в выборке.

Шаг 3. Выбираем вид ряда. Признак дискретный: звонков бывает целое число, а различных значений всего пять. Значит, составляем дискретный ряд. Каждое различное значение становится вариантой $x_i$, а число его повторений становится частотой $n_i$.

Шаг 4. Частоты. Считаем по ранжированному ряду: двойка встречается 2 раза, тройка 5 раз, четвёрка 7 раз, пятёрка 4 раза, шестёрка 2 раза. Сумма частот обязана дать объём выборки:

$$2 + 5 + 7 + 4 + 2 = 20 = n.$$

Шаг 5. Относительные частоты. Частость показывает долю наблюдений с данным значением, для неё частоту делят на объём выборки:

$$w_i = \frac{n_i}{n}: \quad \frac{2}{20} = 0{,}10, \quad \frac{5}{20} = 0{,}25, \quad \frac{7}{20} = 0{,}35, \quad \frac{4}{20} = 0{,}20, \quad \frac{2}{20} = 0{,}10.$$

Сумма частостей равна единице: $0{,}10 + 0{,}25 + 0{,}35 + 0{,}20 + 0{,}10 = 1$.

Шаг 6. Накопленные частоты. Накопленная частота $S_i$ показывает, сколько наблюдений не превосходят варианту $x_i$. Складываем частоты нарастающим итогом:

$$S_1 = 2, \quad S_2 = 2 + 5 = 7, \quad S_3 = 7 + 7 = 14, \quad S_4 = 14 + 4 = 18, \quad S_5 = 18 + 2 = 20.$$

Последняя накопленная частота совпала с $n$, это вторая проверка. Накопленные частости получаем делением на 20: 0,10; 0,35; 0,70; 0,90; 1,00.

Ответ. Вариационный ряд выборки:

По таблице сразу видна мода: наибольшая частота 7 у варианты 4, значит $Mo = 4$. Чаще всего за час поступает четыре звонка.

Формула и откуда она берётся

Вариационный ряд - это таблица «значение признака и сколько раз оно встретилось», где значения стоят по возрастанию. Название идёт от слова «вариация»: ряд показывает, как признак меняется от наблюдения к наблюдению и какие значения встречаются чаще других. Исходная запись из 20 чисел почти ничего не сообщает, а таблица из пяти столбцов сразу показывает центр и разброс.

Если $m$ - число различных вариант, то все величины ряда связаны четырьмя соотношениями:

$$\sum_{i=1}^{m} n_i = n, \qquad w_i = \frac{n_i}{n}, \qquad \sum_{i=1}^{m} w_i = 1, \qquad S_i = \sum_{j=1}^{i} n_j.$$

Первое и третье соотношения работают как встроенный контроль: если сумма частот не равна объёму выборки, значит, одно наблюдение потеряно или посчитано дважды. Частости нужны, чтобы сравнивать выборки разного объёма. Частота 7 из 20 и частота 35 из 100 выглядят по-разному, а частость у них одна и та же, 0,35. Кроме того, частость служит выборочной оценкой вероятности $P(X = x_i)$.

Накопленные частости - это значения эмпирической функции распределения в точках вариант: $F^*(x_i) = S_i / n$. Поэтому последняя строка таблицы уже наполовину готовый ответ на следующую типовую задачу, разобранную в статье про эмпирическую функцию распределения.

Ранжирование делают первым шагом не для красоты. По упорядоченной выборке частоты считаются без пропусков, крайние значения видны сразу, а медиана находится по номеру наблюдения.

Если значений много: интервальный ряд

Дискретный ряд хорош, пока различных значений немного. Для непрерывного признака (время, масса, доход) почти все значения разные, и дискретный ряд получается таким же длинным, как сама выборка, с частотой 1 у каждой варианты. Тогда значения группируют в интервалы.

Пример: время решения контрольной 20 студентами, мин: 27, 31, 18, 34, 25, 30, 22, 40, 28, 33, 26, 30, 21, 36, 29, 24, 43, 32, 23, 37. Повторяется только значение 30, так что нужен интервальный ряд.

Число интервалов берём по формуле Стёрджесса:

$$k = 1 + 3{,}322 \lg n = 1 + 3{,}322 \lg 20 \approx 1 + 3{,}322 \cdot 1{,}301 \approx 5{,}32 \approx 5.$$

Ширина интервала. Крайние значения $x_{\min} = 18$ и $x_{\max} = 43$, размах $R = 25$, поэтому $h = R / k = 25 / 5 = 5$ минут.

Границы и частоты. Интервалы начинаются с 18 и идут с шагом 5. Значения 23, 28 и 33 попали ровно на границу, их относим к правому интервалу. Последний интервал закрыт справа, иначе максимум 43 выпадет из ряда.

Середины интервалов нужны для дальнейших расчётов: по ним считают среднее и дисперсию, заменяя каждое значение серединой его интервала. Если ширина интервала выходит дробной, её обычно округляют вверх до удобного числа, а начало первого интервала сдвигают немного левее минимума. Откуда берётся формула Стёрджесса и когда она ошибается, разобрано в статье про формулу Стёрджесса, а правила выбора границ и открытые интервалы описаны в материале о группировке статистических данных.

Проверить этот пример можно в калькуляторе: вставь 20 значений в поле выборки и переключи вид ряда на интервальный. Получится та же таблица с $k = 5$ и $h = 5$.

Что делать с готовым рядом

Вариационный ряд - заготовка почти для всех следующих действий с выборкой. Моду ты уже видел в таблице. Медиану удобно искать по накопленным частотам: половина выборки равна 10, первая накопленная частота, которая её достигает, равна 14 у варианты 4, значит $Me = 4$. Среднее считается как взвешенное по частотам:

$$\bar{x} = \frac{\sum x_i n_i}{n} = \frac{2 \cdot 2 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 + 5 \cdot 4 + 6 \cdot 2}{20} = \frac{79}{20} = 3{,}95.$$

Графики строятся тоже по готовой таблице, а не по сырым данным. Дискретный ряд изображают ломаной, это разобрано в задаче про полигон частот. Интервальный ряд изображают столбиками, как в разборе про гистограмму частот.

Частые ошибки

• Выбрасывают повторы при ранжировании. Ранжированный ряд содержит все $n$ значений, включая одинаковые. Если записать только 2, 3, 4, 5, 6, пропадёт информация о частотах.
• Сумма частот не равна объёму выборки. Это признак пропущенного или дважды посчитанного наблюдения. Счёт чёрточками по исходной записи и сверка суммы с $n$ ловят такую ошибку сразу.
• Путают частоту и частость. Частота - количество наблюдений (7), частость - доля (0,35). В ответе нужны обе строки, если задача просит относительные частоты.
• Накапливают не с начала ряда. Накопленная частота складывает все частоты от первой варианты до текущей. Если последняя $S_i$ не равна $n$, в сложении ошибка.
• Считают граничное значение дважды. Значение, попавшее на границу интервалов, относят только к одному, обычно правому интервалу. Последний интервал закрывают справа, чтобы в него попал максимум.
• Строят интервальный ряд для признака с парой значений. Для пяти различных вариант, как в нашей задаче, группировка только сотрёт информацию: оценки или число звонков оформляют дискретным рядом.

FAQ

Чем вариационный ряд отличается от ранжированного? Ранжированный ряд - это все значения выборки, записанные по возрастанию с повторами. Вариационный ряд сворачивает повторы: каждое различное значение записано один раз вместе с частотой. В части учебников вариационным называют и сам ранжированный ряд, поэтому в задаче лучше привести оба.

Как понять, какой ряд составлять: дискретный или интервальный? Смотри на число различных значений. Если их немного (до 10-15) и признак принимает отдельные значения, составляй дискретный ряд. Если признак непрерывный или почти все значения разные, нужен интервальный.

Как округлять результат формулы Стёрджесса? Обычно до ближайшего целого: 5,32 даёт 5 интервалов. Если задача задаёт число интервалов или ширину явно, формулу не применяют. На маленьких выборках часто берут 5-7 интервалов, чтобы ряд оставался читаемым.

Зачем нужны накопленные частоты? По ним находят медиану и квантили, строят кумуляту и эмпирическую функцию распределения. Накопленная частость $S_i / n$ показывает долю наблюдений, которые не больше варианты $x_i$.

Коротко

1. Посчитай объём выборки $n$, найди минимум, максимум и размах $R$.
2. Запиши ранжированный ряд: все значения по возрастанию, с повторами.
3. Выбери вид ряда: немного различных значений дают дискретный ряд, много разных дают интервальный с числом интервалов по Стёрджессу и шагом $h = R / k$.
4. Найди частоты $n_i$, частости $w_i = n_i / n$ и накопленные частоты $S_i$, проверь, что сумма частот равна $n$, а сумма частостей равна 1.
5. Ответ примера: варианты 2, 3, 4, 5, 6 с частотами 2, 5, 7, 4, 2, частостями 0,10; 0,25; 0,35; 0,20; 0,10 и накопленными частотами 2, 7, 14, 18, 20.