Как построить эмпирическую функцию распределения: пример

Дано: выборка объёма $n = 60$, признак $X$ - число отказов оборудования за смену; варианты $x_i$: 1, 3, 6, 10 с частотами $n_i$: 9, 21, 18, 12. Найти: эмпирическую функцию распределения $F^*(x)$, её график и значение $F^*(5)$.

Эмпирическая функция распределения - это доля наблюдений выборки, оказавшихся левее точки $x$. Строится она в три действия: частоты переводятся в частости, частости накапливаются слева направо, результат записывается по промежуткам между вариантами. Ответ: $F^*(x)$ принимает значения 0; 0,15; 0,50; 0,80 и 1 со скачками в точках 1, 3, 6 и 10, а $F^*(5) = 0{,}50$. Калькулятор сверху перестраивает ступеньки под любые частоты и снимает значение функции в выбранной точке.

Решение по шагам

Дано. Наблюдали 60 смен, признак $X$ - число отказов за смену. Дискретный вариационный ряд:

Найти: $F^*(x)$ в кусочном виде, её график и $F^*(5)$.

Шаг 1. Проверить объём выборки. Сумма частот обязана совпасть с числом наблюдений, иначе все частости уедут:

$$n = 9 + 21 + 18 + 12 = 60.$$

Совпало. Этот же контроль пригодится, если объём в условии не дан прямо, а его надо восстановить по ряду: как это делается, разобрано в задаче про объём выборки.

Шаг 2. Перейти к относительным частотам. Частость варианты - это её доля в выборке:

$$w_i = \frac{n_i}{n}.$$

Подставляем: $w_1 = 9/60 = 0{,}15$, $w_2 = 21/60 = 0{,}35$, $w_3 = 18/60 = 0{,}30$, $w_4 = 12/60 = 0{,}20$. Контроль: $0{,}15 + 0{,}35 + 0{,}30 + 0{,}20 = 1{,}00$. Именно частости, а не сами частоты, станут высотами будущих скачков.

Шаг 3. Накопить частости слева направо. Накопленная частость - сумма долей всех вариант, стоящих левее текущей точки и не превосходящих её:

Последнее число обязано равняться единице: вся выборка целиком лежит левее любой точки, взятой правее последней варианты.

Шаг 4. Записать функцию по промежуткам. Между соседними вариантами наблюдений нет, значит доля не меняется и функция там постоянна. Берём накопленные частости из шага 3 и раздаём их промежуткам:

$$F^*(x) = \begin{cases} 0, & x \le 1; \\ 0{,}15, & 1 < x \le 3; \\ 0{,}50, & 3 < x \le 6; \\ 0{,}80, & 6 < x \le 10; \\ 1, & x > 10. \end{cases}$$

Шаг 5. Построить график. Рисуем пять горизонтальных полок на уровнях 0; 0,15; 0,50; 0,80 и 1. В точках 1, 3, 6 и 10 полки соединяются вертикальными отрезками - скачками; высота каждого скачка равна частости своей варианты: 0,15; 0,35; 0,30 и 0,20. Левый конец графика уходит по оси абсцисс влево на нулевом уровне, правый тянется вправо на уровне единицы.

Кружки на скачках расставляются по определению. Мы считаем долю наблюдений, строго меньших $x$, поэтому в самой точке $x_i$ функция ещё не выросла: закрашенный кружок ставится на нижнем уровне, выколотый - на верхнем. Например, в точке $x = 3$ закрашена точка $(3;\ 0{,}15)$, а $(3;\ 0{,}50)$ выколота.

Шаг 6. Снять значение в точке $x = 5$. Точка 5 попадает в промежуток $3 < x \le 6$. Проверим по определению: меньше пяти оказались варианты 1 и 3, их суммарная частота $9 + 21 = 30$, значит

$$F^*(5) = \frac{30}{60} = 0{,}50.$$

Ответ: $F^*(x)$ равна 0 при $x \le 1$, затем 0,15; 0,50; 0,80 на промежутках до вариант 3, 6, 10 и единице правее десяти; $F^*(5) = 0{,}50$.

Формула и откуда она берётся

Общее определение записывается одной строкой. Пусть $n_x$ - число элементов выборки, меньших $x$, а $n$ - объём выборки. Тогда

$$F^*(x) = \frac{n_x}{n}.$$

Здесь нет ни одной вероятности: всё считается по имеющимся данным. Поэтому $F^*(x)$ и называют статистическим аналогом теоретической функции распределения, а её значение в точке - относительной частотой события «признак принял значение меньше $x$».

Из определения сразу следуют четыре свойства, по которым удобно себя проверять. Значения лежат в отрезке от нуля до единицы, потому что $n_x$ не может быть ни отрицательным, ни больше $n$. Функция не убывает: при движении вправо наблюдения только добавляются. Левее наименьшей варианты она равна нулю, правее наибольшей - единице. Наконец, она кусочно-постоянна и меняется только скачками в самих вариантах.

Скачок в точке $x_i$ ровно равен $w_i = n_i / n$, и это самый быстрый способ восстановить исходный ряд по готовому графику: измерил высоты ступенек, умножил на объём выборки - получил частоты. Обратная задача про теоретическую функцию распределения устроена так же, только там скачки равны вероятностям $p_i$ из закона распределения, а не долям из данных.

Если выборка задана списком чисел

В контрольных ряд часто не дают готовым, а высыпают сырые наблюдения. Пусть выборка такая: 5, 2, 5, 8, 2, 5, 8, 2. Порядок работы не меняется, добавляется нулевой шаг - ранжирование.

Выписываем различные значения по возрастанию и считаем, сколько раз каждое встретилось: варианта 2 встречается 3 раза, варианта 5 - тоже 3 раза, варианта 8 - 2 раза. Объём выборки $n = 3 + 3 + 2 = 8$. Частости: $3/8 = 0{,}375$, $3/8 = 0{,}375$, $2/8 = 0{,}250$; накопленные - 0,375; 0,750; 1,000. Функция получается такой:

$$F^*(x) = \begin{cases} 0, & x \le 2; \\ 0{,}375, & 2 < x \le 5; \\ 0{,}750, & 5 < x \le 8; \\ 1, & x > 8. \end{cases}$$

Число ступенек равно числу различных значений, а не числу наблюдений: восемь чисел дали три скачка. Если все наблюдения различны, каждый скачок равен $1/n$ и график выглядит как ровная лесенка.

Интервальный ряд и связь с теоретической функцией

Когда признак непрерывный, данные группируют по интервалам, и точных положений наблюдений внутри интервала мы уже не знаем. Тогда накопленные частости откладывают над правыми границами интервалов, а соседние точки соединяют отрезками - получается не ступенчатая, а ломаная линия, кумулятивная кривая. Промежуточные значения с неё снимают линейной интерполяцией: для интервалов 0-10, 10-20, 20-30, 30-40 с частотами 8, 22, 14, 6 накопленные частости равны 0,16; 0,60; 0,88; 1,00, и $F^*(25)$ читается как $0{,}60 + 0{,}28 \cdot 0{,}5 = 0{,}74$. Соседние графики того же ряда - полигон и кумулята - разобраны в задаче про полигон частот.

Зачем всё это нужно, объясняет теорема Гливенко: с ростом объёма выборки $F^*(x)$ равномерно приближается к настоящей функции распределения $F(x)$ признака. Отсюда и практический смысл графика - по нему на глаз видно, похожа ли выборка на предполагаемый закон. Строгая проверка того же самого сравнивает максимальное расхождение между $F^*(x)$ и теоретической кривой: так устроен критерий согласия Колмогорова-Смирнова, а альтернативный подход через частоты интервалов - в разборе про проверку нормальности.

Из $F^*(x)$ прямо снимается доля наблюдений, попавших в промежуток: она равна разности значений на концах. Для нашей выборки доля смен, где число отказов от 3 до 10, равна $F^*(10) - F^*(3) = 0{,}80 - 0{,}15 = 0{,}65$. Проверка по частотам: $21 + 18 = 39$, и $39/60 = 0{,}65$ - сошлось.

Эмпирическую функцию строят, чтобы сравнить её с теоретической. Чаще всего в качестве теоретической берут нормальный закон: как по нему считают вероятность попадания в интервал, разобрано в задаче про нормальное распределение.

Частые ошибки

• Скачки строят по частотам, а не по частостям. График тогда доходит до 60 вместо единицы. Это уже не $F^*(x)$, а кумулята накопленных частот: её ординаты надо разделить на объём выборки.
• Считают $F^*(10) = 1$. В точке последней варианты функция ещё равна 0,80, единицы она достигает только правее десяти. Ровно там же теряют и $F^*(1) = 0$: в первой варианте функция ещё нулевая.
• Путают строгое и нестрогое неравенство. По определению через «меньше $x$» функция непрерывна слева и закрашенный кружок сидит внизу скачка; по определению через «не больше $x$» - наоборот. Между вариантами ответы совпадают, расходятся они только в самих точках скачка, и на экзамене спрашивают именно их. Переключатель в калькуляторе сверху показывает обе версии на одних данных.
• Забывают отранжировать сырую выборку. Если варианты выписаны в порядке появления, накопление идёт не по возрастанию и функция получается убывающей на части промежутков, чего быть не может.
• Соединяют ступеньки наклонными линиями. Для дискретного ряда это ошибка: между вариантами наблюдений нет, функция там строго постоянна. Наклонные отрезки уместны только для интервального ряда.
• Не проверяют сумму частостей. Если она не равна единице, ошибка в частотах или объёме, и вся дальнейшая работа бессмысленна.

FAQ

Чем эмпирическая функция распределения отличается от теоретической? Теоретическая $F(x)$ описывает саму случайную величину и считается по вероятностям, эмпирическая $F^*(x)$ описывает конкретную выборку и считается по частотам. Первая одна и неизменна, вторая своя у каждой выборки и меняется от опыта к опыту. При больших $n$ вторая приближает первую.

Сколько ступенек будет на графике? Столько, сколько различных значений в выборке. Повторы не добавляют ступенек, они увеличивают высоту уже существующего скачка.

Обязательно ли рисовать выколотые кружки? В учебной работе - да, именно они показывают, какое из двух определений вы используете. Без кружков график не отличить от чужого, построенного по нестрогому неравенству.

Как по $F^*(x)$ найти медиану выборки? Провести горизонталь на уровне 0,5 и посмотреть, где она пересекает график. Если горизонталь попадает точно на полку, как в нашей задаче на уровне 0,50, медиана размазана по всему промежутку и её берут как середину или как ближайшую варианту - правило зависит от методички.

Коротко

1. Проверить объём выборки: сумма частот должна дать $n$. У нас $9 + 21 + 18 + 12 = 60$.
2. Перевести частоты в частости $w_i = n_i / n$: 0,15; 0,35; 0,30; 0,20, сумма равна единице.
3. Накопить частости слева направо: 0,15; 0,50; 0,80; 1,00.
4. Записать $F^*(x)$ по промежуткам между вариантами и построить ступенчатый график: полки на накопленных уровнях, скачки высотой $w_i$ в точках 1, 3, 6 и 10.
5. Ответ примера: $F^*(x)$ равна 0; 0,15; 0,50; 0,80 и 1 на пяти промежутках, $F^*(5) = 0{,}50$.