Как найти нормальное распределение: разбор задачи

Дано: случайная величина $X$ распределена нормально, математическое ожидание $a = 30$, среднее квадратическое отклонение $\sigma = 10$. Найти: вероятность $P(10 < X < 50)$ и вероятность отклонения $P(|X - 30| < 15)$.

Нормальный закон полностью задаётся двумя числами, поэтому «найти нормальное распределение» на практике означает выписать плотность с этими параметрами и посчитать по ней нужные вероятности. Обе сводятся к табличной функции Лапласа $\Phi(x)$: ответы получаются 0,9544 для интервала и 0,8664 для отклонения. Калькулятор сверху закрашивает под колоколом ровно ту площадь, которая и равна искомой вероятности, а ниже разобран весь путь до этих чисел.

Решение по шагам

Шаг 1. Выписываем плотность с данными параметрами. Общая формула плотности нормального закона содержит два параметра, оба даны в условии, так что подстановка выполняется сразу:

$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{(x - a)^2}{2\sigma^2}} = \frac{1}{10\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{(x - 30)^2}{200}}.$$

Это и есть искомое распределение в явном виде. Центр колокола стоит в точке $a = 30$, а его ширину задаёт $\sigma = 10$: чем больше сигма, тем ниже и разлапистее кривая. Площадь под всей кривой при любых параметрах равна единице, потому что величина обязана принять хоть какое-то значение.

Шаг 2. Переводим вопрос о вероятности в площадь. Вероятность попадания в интервал равна площади под плотностью над этим интервалом, но первообразная у $e^{-x^2}$ не выражается через элементарные функции. Поэтому интеграл заранее посчитан и сведён в таблицу функции Лапласа:

$$P(\alpha < X < \beta) = \Phi\!\left(\frac{\beta - a}{\sigma}\right) - \Phi\!\left(\frac{\alpha - a}{\sigma}\right), \qquad \Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{x} e^{-t^2/2}\, dt.$$

Шаг 3. Нормируем границы интервала. В таблицу подставляют не сами числа 10 и 50, а их расстояния до центра, измеренные в сигмах. Эта операция называется нормировкой и превращает любую нормальную величину в стандартную:

$$t_1 = \frac{\alpha - a}{\sigma} = \frac{10 - 30}{10} = -2, \qquad t_2 = \frac{\beta - a}{\sigma} = \frac{50 - 30}{10} = 2.$$

Границы отстоят от среднего ровно на две сигмы влево и вправо, интервал симметричен.

Шаг 4. Берём значения по таблице и вычитаем. В таблице находим $\Phi(2{,}00) = 0{,}4772$. Отрицательный аргумент отдельной строки не имеет: функция Лапласа нечётна, поэтому $\Phi(-2) = -\Phi(2) = -0{,}4772$.

$$P(10 < X < 50) = \Phi(2) - \Phi(-2) = 0{,}4772 + 0{,}4772 = 0{,}9544.$$

Шаг 5. Считаем вероятность отклонения. Второй вопрос сформулирован через модуль: нужно, чтобы $X$ отличалась от среднего меньше чем на 15. Неравенство $|X - a| < \delta$ равносильно попаданию в симметричный интервал $(a - \delta;\ a + \delta)$, а для симметричного интервала формула сворачивается вдвое:

$$P(|X - a| < \delta) = 2\Phi\!\left(\frac{\delta}{\sigma}\right) \ \Longrightarrow \ P(|X - 30| < 15) = 2\Phi(1{,}5) = 2 \cdot 0{,}4332 = 0{,}8664.$$

Шаг 6. Проверяем ответ правилом трёх сигм. Подставив $\delta = 3\sigma = 30$, получаем $2\Phi(3) = 2 \cdot 0{,}49865 = 0{,}9973$: практически вся вероятность сосредоточена в интервале $(0;\ 60)$. Наш интервал $(10;\ 50)$ лежит внутри него и уже, значит, и вероятность обязана быть меньше 0,9973. Так и вышло: 0,9544 против 0,9973, а 0,8664 для более узкого интервала $(15;\ 45)$ ещё меньше. Порядок величин согласован, грубой ошибки нет.

Ответ: $P(10 < X < 50) = 0{,}9544$, $P(|X - 30| < 15) = 0{,}8664$.

Если считать не по таблице, а точно, получится 0,95450 и 0,86639: именно точные значения показывает калькулятор сверху. Расхождение в четвёртом знаке возникает потому, что табличные значения $\Phi$ округлены до четырёх знаков ещё до вычитания. Ошибкой это не считается: в контрольных работах принят табличный ответ.

Формула и откуда она берётся

Запись $X \sim N(a;\ \sigma)$ означает, что величина имеет плотность из первого шага. Параметр $a$ совпадает с математическим ожиданием и одновременно с медианой и модой: кривая симметрична относительно вертикали $x = a$. Параметр $\sigma$ равен среднему квадратическому отклонению, а его квадрат $\sigma^2$ и есть дисперсия. Способ считать эти характеристики по выборке разобран в задаче про то, как вычислить дисперсию.

Переход к таблице держится на одной замене переменной. В интеграле от плотности вводят $t = (x - a)/\sigma$, откуда $dx = \sigma\, dt$, и все параметры сокращаются:

$$\int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - a)^2}{2\sigma^2}} dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{t_1}^{t_2} e^{-t^2/2}\, dt .$$

Справа не осталось ни $a$, ни $\sigma$ - только новые пределы. Именно поэтому одной таблицы хватает на все задачи сразу: любая нормальная величина после нормировки превращается в стандартную $N(0;\ 1)$. Величина $t$ показывает, на сколько сигм точка отстоит от центра, и в этой шкале работает всё дальнейшее.

Сама $\Phi(x)$ определена как интеграл от нуля до $x$, поэтому её значения лежат в диапазоне от 0 до 0,5 и она нечётна. Связь с функцией распределения простая: $F(x) = 0{,}5 + \Phi\left(\frac{x - a}{\sigma}\right)$. Общие свойства $F(x)$ и разбор дискретного случая со ступенчатым графиком лежат в задаче про то, как найти функцию распределения, а работа с плотностью в общем виде - в разборе того, как найти плотность распределения.

Таблица функции Лапласа: как ей пользоваться

Фрагмент таблицы для опорных значений, которые чаще всего встречаются в задачах:

Три свойства избавляют от поиска лишних строк. Первое: $\Phi(0) = 0$, потому что интеграл по нулевому промежутку равен нулю. Второе: $\Phi(-x) = -\Phi(x)$, отрицательных аргументов в таблице нет и не нужно. Третье: при $x > 5$ значение считают равным 0,5 - дальше пятой сигмы прибавки уже нет.

Отсюда же берутся вероятности хвостов. Вероятность превысить порог равна $P(X > \beta) = 0{,}5 - \Phi(t_2)$, а вероятность оказаться левее порога равна $P(X < \alpha) = 0{,}5 + \Phi(t_1)$. Для нашей задачи каждый хвост даёт $0{,}5 - 0{,}4772 = 0{,}0228$, и вместе с 0,9544 они складываются в единицу - это ещё одна быстрая проверка решения.

Другие формы условия

Вместо сигмы дана дисперсия. Условие «$D(X) = 25$» означает $\sigma = \sqrt{25} = 5$. Подставлять дисперсию в формулу нормировки нельзя, там стоит именно среднее квадратическое отклонение. Это самая частая арифметическая ловушка варианта.

Интервал односторонний. Формулировки «не менее», «свыше», «до» дают одну конечную границу, вторая уходит в бесконечность. Тогда $\Phi(+\infty) = 0{,}5$, и вероятность считается как $0{,}5 \pm \Phi(t)$ в зависимости от стороны.

В таблице другая функция. Кроме $\Phi(x)$ со значениями до 0,5 встречается нормированная функция $\Phi_0(x)$ со значениями до 1: это уже готовая функция распределения стандартной величины, и связь между ними $\Phi_0(x) = 0{,}5 + \Phi(x)$. Перед подстановкой обязательно посмотрите, чему равно табличное значение при $x = 0$: если 0,5, таблица второго типа, и удваивать ничего не надо.

Спрашивают долю или процент. Ответ тот же, только умноженный на 100 % или на объём партии: при 500 деталях в интервал $(10;\ 50)$ попадёт около $500 \cdot 0{,}9544 \approx 477$ штук. Обратная задача - по выборке решить, нормален ли закон вообще, - решается критерием согласия и разобрана отдельно в задаче про то, как проверить нормальность распределения.

Правило трёх сигм и проверка ответа

Симметричные интервалы шириной в целое число сигм считаются один раз и запоминаются:

Вторая строка и есть наш интервал: $(10;\ 50)$ - это ровно $a \pm 2\sigma$, поэтому ответ можно было выписать сразу, не открывая таблицу. Третья строка формулирует правило трёх сигм: за границы $a \pm 3\sigma$ величина выходит меньше чем в трёх случаях из тысячи. На этом же основан контроль качества и отбраковка промахов при обработке измерений - практическая сторона правила разобрана в статье про нормальный закон распределения погрешности измерений.

Чтобы применить эти формулы к реальной выборке, сначала убеждаются, что данные вообще похожи на нормальные: строят эмпирическую функцию распределения и сравнивают её с теоретической.

Частые ошибки

• Подставили дисперсию вместо сигмы. В знаменателе нормировки стоит $\sigma$, а не $D(X)$. Если в условии дана дисперсия, из неё сначала извлекают корень.
• Не учли нечётность функции Лапласа. При отрицательном $t_1$ значение берут со знаком минус, а вычитание отрицательного превращается в сложение. Потерянный знак сразу занижает ответ вдвое.
• Перепутали таблицы $\Phi$ и $\Phi_0$. Одна даёт значения до 0,5, другая до 1. Подстановка $\Phi_0$ в формулу с разностью даёт правдоподобное, но неверное число.
• Удвоили вероятность для несимметричного интервала. Формула $2\Phi(\delta/\sigma)$ работает только тогда, когда интервал центрирован в точке $a$. Для $(10;\ 40)$ приходится честно считать разность двух значений.
• Вычли значения не в том порядке. Из значения для правой границы вычитают значение для левой; обратный порядок даёт отрицательную вероятность, что невозможно по определению.
• Забыли, что концы не влияют. У непрерывной величины $P(X = 10) = 0$, поэтому строгие и нестрогие неравенства дают один и тот же ответ, а искать «вероятность точки» бессмысленно.

FAQ

Что вообще значит «найти нормальное распределение»? В задачах это означает две вещи: выписать плотность с конкретными $a$ и $\sigma$ и научиться считать по ней вероятности. Если параметры не даны, а есть выборка, их оценивают выборочным средним и выборочным стандартным отклонением, после чего плотность считается найденной.

Чем функция Лапласа отличается от функции распределения? Функция Лапласа $\Phi(x)$ считает площадь от нуля до $x$ и меняется от 0 до 0,5, а функция распределения $F(x)$ считает площадь от минус бесконечности и меняется от 0 до 1. Связывает их равенство $F(x) = 0{,}5 + \Phi\left(\frac{x - a}{\sigma}\right)$.

Как быть, если аргумента нет в таблице? Для промежуточных значений применяют линейную интерполяцию между соседними строками либо округляют до ближайшего табличного аргумента: на втором знаке разница обычно не влияет на итоговый ответ. Калькулятор сверху считает $\Phi$ напрямую и интерполяция ему не нужна.

Почему нормальный закон встречается так часто? По центральной предельной теореме сумма большого числа независимых слагаемых, каждое из которых мало влияет на итог, распределена приблизительно нормально. Если же величина складывается не из суммы, а из произведения факторов и не бывает отрицательной, ближе оказывается логарифмически нормальное распределение.

Коротко

1. Выписать плотность, подставив параметры: $f(x) = \frac{1}{10\sqrt{2\pi}} e^{-(x - 30)^2/200}$.
2. Свести вероятность к функции Лапласа: $P(\alpha < X < \beta) = \Phi\left(\frac{\beta - a}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{\alpha - a}{\sigma}\right)$.
3. Нормировать границы: $t_1 = -2$, $t_2 = 2$, по таблице $\Phi(2) = 0{,}4772$, а $\Phi(-2) = -0{,}4772$.
4. Получить ответы: $P(10 < X < 50) = 0{,}9544$ и $P(|X - 30| < 15) = 2\Phi(1{,}5) = 0{,}8664$.
5. Проверить правилом трёх сигм: интервал $(0;\ 60)$ накрывает 0,9973 вероятности, оба ответа обязаны быть меньше.